高考数学解三角形

考纲解读

解三角形是高考中的热点,以正、余弦定理为载体考查解三角形问题,命题呈现出如下几点:1.能利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题,解题时要在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式间的联系,会用方程与函数的思想解决三角形的最值问题.解三角形知识常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值大约为5分或12分.

答案:60°

解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,

即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180°-B),可得B=60°.

解法二:由余弦定理得2b·=a·+c·,即b·=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0°五年高考

考点一　用正、余弦定理解三角形

1.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　B　

2.(2016山东,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　C　

3.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且bA.3    B.2    C.2    D. 

答案　C　

4.(2014江西,5,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对边的分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 

A.-     B.     C.1    D. 

答案　D　

5.(2013安徽,9,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　B　

6.(2017课标全国Ⅲ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　. 

答案　75°

7.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=,a=c,则=　　　　. 

答案　1

8.(2015重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=　　　　. 

答案　4

9.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.

(1)证明:A=2B;

(2)若cos B=,求cos C的值.

解析　(1)证明:由正弦定理得

sin B+sin C=2sin Acos B,

故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,

于是sin B=sin(A-B).

又A,B∈(0,π),故0所以,B=π-(A-B)或B=A-B,

因此A=π(舍去)或A=2B,

所以,A=2B.

(2)由cos B=得sin B=,

cos 2B=2cos2B-1=-,

故cos A=-,sin A=,

cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.

10.(2016四川,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.

(1)证明:sin Asin B=sin C;

(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.

解析　(1)证明:根据正弦定理,

可设===k(k>0).

则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.

代入+=中,有

+=,变形可得

sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).

在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.

(2)由已知,b2+c2-a2=bc,

根据余弦定理,有cos A==.

所以sin A==.

由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,

所以sin B=cos B+sin B,

故tan B==4.

11.(2015山东,17,12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,sin(A+B)= ,ac=2,求sin A和c的值.

解析　在△ABC中,由cos B=,得sin B=,

因为A+B+C=π,

所以sin C=sin(A+B)= .

因为sin C所以cos C=.

因此sin A=sin(B+C)

=sin Bcos C+cos Bsin C

=×+×=.

由=,

可得a===2c,

又ac=2,所以c=1.

教师用书专用(12—23)

12.(2013辽宁,6,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　A　

13.(2013北京,5,5分)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=(　　)

A.     B.     C.     D.1

答案　B　

14.(2013湖南,5,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　A　

15.(2015福建,14,4分)若△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,则BC=　　　　. 

答案　

16.(2015安徽,12,5分)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=　　　　. 

答案　2

17.(2015北京,11,5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=　　　　. 

答案　

18.(2014山东,17,12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.

(1)求b的值;

(2)求△ABC的面积.

解析　(1)在△ABC中,

由题意知,sin A==,

因为B=A+,

所以sin B=sin=cos A=.

由正弦定理可得b===3.

(2)由B=A+得cos B=cos=-sin A=-.

由A+B+C=π,得C=π-(A+B).

所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)

=sin Acos B+cos Asin B

=×+×

=.

因此△ABC的面积S=absin C=×3×3×=.

19.(2014课标Ⅱ,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.

(1)求C和BD;

(2)求四边形ABCD的面积.

解析　(1)由题设及余弦定理得

BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C

=13-12cos C,①

BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A

=5+4cos C.②

由①,②得cos C=,故C=60°,BD=.

(2)四边形ABCD的面积

S=AB·DAsin A+BC·CDsin C

=sin 60°

=2.

20.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);

(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值.

解析　(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.

由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.

∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),

∴sin A+sin C=2sin(A+C).

(2)由题设有b2=ac,∵c=2a,∴b=a,

由余弦定理得cos B===.

21.(2014湖南,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.

(1)求sin∠CED的值;

(2)求BE的长.

解析　设∠CED=α.

(1)在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,得7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).

在△CDE中,由正弦定理得=,

得sin α===,即sin∠CED=.

(2)由题设知,0<α<,于是由(1)知,cos α===.

而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos=coscos α+sinsin α=-cos α+sin α=-×+×=.

在Rt△EAB中,cos∠AEB==,

故BE===4.

22.(2013湖北,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.

(1)求角A的大小;

(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.

解析　(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).

因为0(2)由S=bcsin A=bc·=bc=5,得bc=20.

又b=5,所以c=4.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,

故a=.

由正弦定理得sin Bsin C=sin A·sin A=sin2A=×=.

23.(2013天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=.

(1)求b的值;

(2)求sin的值.

解析　(1)在△ABC中,由=,可得bsin A=asin B,

又由bsin A=3csin B,可得a=3c,又a=3,故c=1.

由b2=a2+c2-2accos B,cos B=,可得b=.

(2)由cos B=,得sin B=,进而得

cos 2B=2cos2B-1=-,

sin 2B=2sin Bcos B=.

所以sin=sin 2Bcos-cos 2Bsin

=.

考点二　解三角形及其应用

1.(2016课标全国Ⅲ,9,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　D　

2.(2014四川,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于(　　)

A.240(-1)m    B.180(-1)m

C.120(-1)m    D.30(+1)m

答案　C　

3.(2013课标全国Ⅰ,10,5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=(　　)

A.10    B.9    C.8    D.5

答案　D　

4.(2013课标全国Ⅱ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为(　　)

A.2+2         B.  +1    C.2-2     D.  -1

答案　B　

5.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　,cos∠BDC=　　　　. 

答案　; 

6.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　. 

答案　

7.(2014课标Ⅰ,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　m. 

答案　150

8.(2017山东,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3, ·=-6,S△ABC=3,求A和a.

解析　因为·=-6,

所以bccos A=-6,

又S△ABC=3,

所以bcsin A=6,

因此tan A=-1,又0所以A=.

又b=3,所以c=2.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,

得a2=9+8-2×3×2×=29,

所以a=.

9.(2016天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.

(1)求B;

(2)若cos A=,求sin C的值.

解析　(1)在△ABC中,由=可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A得2asin Bcos B=bsin A=asin B,

所以cos B=,得B=.

(2)由cos A=可得sin A=,

则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin

=sin A+cos A=.

10.(2015课标Ⅰ,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.

(1)若a=b,求cos B;

(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.

解析　(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.

又a=b,所以b=2c,a=2c.

由余弦定理可得cos B==.(6分)

(2)由(1)知b2=2ac.

因为B=90°,所以由勾股定理得a2+c2=b2.

故a2+c2=2ac,故c=a=.

所以△ABC的面积为1.(12分)

11.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.

(1)求;

(2)若∠BAC=60°,求∠B.

解析　(1)由正弦定理得

=,  =.

因为AD平分∠BAC,BD=2DC,

所以==.

(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,

所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=  cos∠B+sin∠B.

由(1)知2sin∠B=sin∠C,

所以tan∠B=,即∠B=30°.

教师用书专用(12—25)

12.(2013山东,7,5分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c=(　　)

A.2    B.2

C.     D.1

答案　B　

13.(2013陕西,9,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　)

A.直角三角形    B.锐角三角形

C.钝角三角形    D.不确定

答案　A　

14.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)

(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;

(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.

解析　(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.

记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.

因为AC=10,AM=40,

所以MC==30,

从而sin∠MAC=.

记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,

则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,

从而AP1==16.

答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)

(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.

同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.

记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.

过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.

因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.

设∠EGG1=α,∠ENG=β,

则sin α=sin=cos∠KGG1=.

因为<α<π,所以cos α=-.

在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sin β=.

因为0<β<,所以cos β=.

于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)

=sin αcos β +cos αsin β=×+×=.

记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2==20.

答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)

15.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,  b)与n=(cos A,sin B)平行.

(1)求A;

(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.

解析　(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,

由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,

又sin B≠0,从而tan A=,

由于0所以A=.

(2)解法一:由余弦定理,得

a2=b2+c2-2bccos A,而a=,b=2,A=,

得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,

因为c>0,所以c=3.

故△ABC的面积为bcsin A=.

解法二:由正弦定理,得=,

从而sin B=,

又由a>b,知A>B,所以cos B=.

故sin C=sin(A+B)=sin

=sin Bcos +cos Bsin =.

所以△ABC的面积为absin C=.

16.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.

(1)求的值;

(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.

解析　(1)由tan=2,得tan A=,

所以==.

(2)由tan A=,A∈(0,π),得

sin A=,cos A=.

又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.

由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.

设△ABC的面积为S,则S=absin C=9.

17.(2015天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.

(1)求a和sin C的值;

(2)求cos的值.

解析　(1)在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=.

由S△ABC=bcsin A=3,得bc=24,结合b-c=2,

解得b=6,c=4.

由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.

由=,得sin C=.

(2)cos=cos 2A·cos-sin 2A·sin

= (2cos2A-1)- ×2sin A·cos A=.

18.(2015四川,19,12分)已知A,B,C为△ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x2+px-p+1=0(p∈R)的两个实根.

(1)求C的大小;

(2)若AB=3,AC=,求p的值.

解析　(1)由已知得,方程x2+px-p+1=0的判别式Δ=(p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0.

所以p≤-2,或p≥.

由韦达定理,有tan A+tan B=-p,tan Atan B=1-p.

于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0,

从而tan(A+B)=  =-=-.

所以tan C=-tan(A+B)= ,

所以C=60°.

(2)由正弦定理,得sin B===,

解得B=45°,或B=135°(舍去).

于是A=180°-B-C=75°.

则tan A=tan 75°=tan(45°+30°)= 

==2+.

所以p=- (tan A+tan B)=-  (2++1)=-1-.

19.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:

(1)a和c的值;

(2)cos(B-C)的值.

解析　(1)由·=2得c·acos B=2.

又cos B=,所以ac=6.

由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.

又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.

解得a=2,c=3或a=3,c=2.

因为a>c,所以a=3,c=2.

(2)在△ABC中,sin B===.

由正弦定理,得sin C=sin B=×=.

因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.

于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C

=×+×=.

20.(2014大纲全国,18,12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.

解析　由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.

故3tan Acos C=2sin C,

因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.

所以tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)

==-1,

所以B=135°.

21.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为,求cos A与a的值.

解析　由三角形面积公式,得×3×1·sin A=,

故sin A=.

因为sin2A+cos2A=1,

所以cos A=±=±=±.

①当cos A=时,由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×=8,

所以a=2.

②当cos A=-时,由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×=12,

所以a=2.

22.(2014重庆,18,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.

(1)若a=2,b=,求cos C的值;

(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且△ABC的面积S=sin C,求a和b的值.

解析　(1)由题意可知c=8-(a+b)= .

由余弦定理得cos C===-.

(2)由sin Acos2+sin Bcos2=2sin C可得

sin A·+sin B·=2sin C,

化简得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.

因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,

所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知a+b=3c.

又因为a+b+c=8,所以a+b=6.

由于S=absin C=sin C,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,

解得a=3,b=3.

23.(2013重庆,18,13分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.

(1)求A;

(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.

解析　(1)由余弦定理得cos A===-.

又因0(2)由(1)得sin A=,又由正弦定理及a=得

S=bcsin A=··asin C=3sin Bsin C,

因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C).

所以,当B=C,即B==时,S+3cos Bcos C取最大值3.

24.(2013浙江,18,14分)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=b.

(1)求角A的大小;

(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.

解析　(1)由2asin B=b及=,得

sin A=.因为A是锐角,所以A=.

(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.

又b+c=8,所以bc=.

由S=bcsin A,得△ABC的面积为.

25.(2013四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=- .

(1)求sin A的值;

(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.

解析　(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=- ,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.

则cos(A-B+B)=- ,即cos A=-.

又0(2)由正弦定理=,得

sin B==.

由题知a>b,则A>B,故B=.

根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,

解得c=1或c=-7(负值舍去).

故向量在方向上的投影为||cos B=.(12分)

三年模拟

A组　2016—2018年模拟·基础题组

考点一　用正、余弦定理解三角形

1.(2018河南中原名校第三次联考,7)△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若B=2A,a=1,b=,则c=(　　)

A.1    B.     C.2    D.2

答案　C　

2.(2017湖北黄冈3月质检,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=b,A=2B,则cos B=(　　)　　　 　　　　　　 　　　　　　 

A.     B.     C.     D. 

答案　B　

3.(2017福建厦门12月联考,6)在锐角△ABC中,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若向量m=(a-b,1)和n=(c-b,1)平行,

且sin B=,当△ABC的面积为时,b=(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 

A.     B. 

C.4    D.2+

答案　A　

考点二　解三角形及其应用

4.(2018江西师大附中10月模拟,7)已知△ABC中,满足b=2,B=60°的三角形有两解,则边长a的取值范围是(　　)

A.  C.2答案　C　

5.(2018河南许昌、平顶山联考,8)如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小张以D为观测点,测得A,B分别在D处的北偏西30°、北偏东30°方向,再往正东方向行驶40海里到C处,测得B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为(　　)

A.20海里    B.40海里

C.20(1+)海里    D.40海里

答案　B　

6.(2018河北衡水中学四调,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积S=c,则ab的最小值为(　　)

A.18    B.12    C.6    D.3

答案　B　

7.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cos A+cos B),则△ABC为(　　)

A.等腰直角三角形    B.直角三角形

C.等腰三角形        D.等腰三角形或直角三角形

答案　D　

8.(2016广东肇庆三模,10)在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　)

A.     B.     C.     D.3

答案　B　

9.(2017江西南昌十校二模,16)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若=,sin B=,S△ABC=,则b的值为　　　　. 

答案　

10.(2017江西六校联考,19)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,m=(sin B,5sin A+5sin C)与n=(5sin B-6sin C,

sin C-sin A)垂直.

(1)求sin A的值;

(2)若a=2,求△ABC的面积S的最大值.

解析　(1)因为m=(sin B,5sin A+5sin C)与n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直,

所以m·n=5sin2B-6sin Bsin C+5sin2C-5sin2A=0,

即sin2B+sin2C-sin2A=.

根据正弦定理得b2+c2-a2=.

由余弦定理得cos A==.

∵角A是△ABC的内角,∴sin A==.

(2)由(1)知b2+c2-a2=≥2bc-a2.

又∵a=2,

∴bc≤10.

∵△ABC的面积S==≤4,

∴△ABC的面积S的最大值为4.

B组　2016—2018年模拟·提升题组

(满分:70分　时间:60分钟)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,9)《数书九章》中对“已知三角形三边长求三角形面积”的求法,填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海式完全等价,由此可以看出我国古代具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减去斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”若把这段文字写成公式,即S=.现有周长为2+的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1),用上面给出的公式求得△ABC的面积为(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　B　

2.(2018湖北荆州中学11月模拟,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-,则角A的最大值为(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　A　

3.(2018四川成都摸底考试,11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A-csin C=(a-b)sin B,c=3,则△ABC的面积的最大值为(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　D　

4.(2017湖南长沙长郡中学12月模拟,6)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b=,∠A=,则∠B=(　　)

A.        B. 或                C. 或       D. 

答案　B　

5.(人教A必5,一,1,B2,变式)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足c=,acos C=csin A的三角形ABC有两个,则边BC的长度的取值范围是(　　)

A.(1, )    B.(1, )    C.( ,2)    D.( ,2)

答案　D　

6.(2016云南昆明三中月考,8)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于(　　)

A.     B.     C.-     D.- 

答案　C　

二、填空题(共5分)

7.(2017山西五校联考,15)已知△ABC的面积为S,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若4S+a2=b2+c2,则sin C-cos取最大值时,C=　　　　. 

答案　

三、解答题(共35分)

8.(2018湖北重点高中期中联考,21)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且=.

(1)求角B的大小;

(2)点D满足=3,且AD=2,求3a+c的取值范围.

解析　(1)∵=,∴由正弦定理得=,(2分)

∴c(a-c)=(a+b)(a-b),即a2+c2-b2=ac,

又∵a2+c2-b2=2accos B,

∴cos B=.(4分)

∵B∈(0,π),(5分)

∴B=.(6分)

(2)∵=3,∴BD=3a.

在△ABD中,由余弦定理知c2+(3a)2-2·3a·c·cos =22,

∴(3a+c)2-4=3·3ac.(7分)

∵a>0,c>0,∴3ac≤,

∴(3a+c)2-4≤ (3a+c)2,即(3a+c)2≤16,

当且仅当3a=c,即a=,c=2时取等号,

所以3a+c的最大值为4.(10分)

又在△ABD中,3a+c>2,(11分)

故3a+c的取值范围是(2,4].(12分)

9.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=,∠BAE=,DE=3BC=3CD= km.

(1)求道路BE的长度;

(2)求生活区△ABE的面积的最大值.

解析　(1)如图,连接BD,在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=,∴BD= km.

∵BC=CD,∠BCD=,

∴∠CBD=∠CDB==,

又∠CDE=,∴∠BDE=.

∴在Rt△BDE中,BE=== (km).

故道路BE的长度为km.(6分)

(2)设∠ABE=α,∵∠BAE=,∴∠AEB=-α.

在△ABE中,  ====,

∴AB=sinkm,AE=sin α km.(8分)

∴S△ABE=AB·AEsin =sinsin α=·km2,∵0<α<,

∴-<2α-<.

∴当2α-=,即α=时,S△ABE取得最大值,最大值为×= km2,

故生活区△ABE面积的最大值为km2.(12分)

10.(2017山西、河南、河北三省12月联考,17)如图,在△ABC中,sin C=,且(1)求△ABC的面积;

(2)已知D在线段BC上,且∠BAD=∠CAD,求sin∠CAD的值以及AD的长.

解析　(1)记AC=b,BC=a,AB=c,因为sin C=,且因为12sin∠BAC=AB·sin B,且AB=8,

所以12sin∠BAC=8sin B,由正弦定理得3a=2b.

在△ABC中,c2=a2+b2-2abcos C=a2++2·a··⇒=4a2,解得a=4,

又3a=2b,故b=6.

故△ABC的面积S=absin C=×4×6×=3.

(2)依(1)得cos∠BAC==,

又由已知得cos∠BAC=1-2sin2∠CAD,

所以sin∠CAD=,

故sin∠ADC=sin(∠DAC+∠C)= ×+×=,

故=⇒=⇒AD=.

C组　2016—2018年模拟·方法题组

方法1　正弦定理和余弦定理的应用方法

1.(2017广东七校第一次联考,7)在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,若a,b,c成等比数列,A=45°,则=(　　)

A.     B.     C.     D. 

答案　C　

2.(2018豫北、豫南精英对抗赛,16)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,其外接圆半径为,b=2,则△ABC的周长的取值范围是　　　　. 

答案　(2+2,6]

3.(2018河南信阳第一次质检,20)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A+cos A=2.

(1)求角A的大小;

(2)现给出三个条件:①a=2;②B=45°;③c=b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的选择,并以此为依据求△ABC的面积.(只写出一个方案即可)

解析　(1)sin A+cos A=2可化为2sin=2,

所以sin=1.

因为0(2)方案一:选择①②.

在△ABC中,由正弦定理得b===2.

因为sin C=sin(A+B)= ×+×=,

所以△ABC的面积为absin C=×2×2×=+1.

方案二:选择①③.

在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+3b2-2·b2cos=b2=4,

所以b=2,所以c=2.

所以△ABC的面积为bcsin A=×2×2×sin =.

说明:若选择②③,则由c=b可得sin C=sin B=>1,故这样的△ABC不存在.

4.(2017河北唐山一模,17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.

(1)若B=,求A,C;

(2)若C=,c=14,求S△ABC.

解析　(1)由已知B=,a2-ab-2b2=0结合正弦定理化简整理得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=- (舍).

因为0又A+B+C=π,所以C=π--=.

(2)由题意及余弦定理可知a2+b2+ab=196,①

由a2-ab-2b2=0得(a+b)(a-2b)=0,

因为a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b,②

联立①②解得b=2,a=4.

所以S△ABC=absin C=14.

方法2　三角形形状的判断方法

5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在△ABC中,若=,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形    B.直角三角形

C.等腰直角三角形    D.等腰三角形或直角三角形

答案　D　

6.(2017湖北荆州中学12月模拟,9)a,b,c为△ABC三边长,a≠1,bA.锐角三角形    B.直角三角形

C.钝角三角形    D.无法确定

答案　B　

7.(2016江西丰城中学月考,10)在△ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B·(2-cos C)=sin2+,则△ABC为(　　)

A.等边三角形    B.钝角三角形

C.锐角非等边三角形    D.等腰直角三角形

答案　D　

方法3　解三角形应用题的方法

8.(2017湖北七校联考,16)三国魏人刘徽自撰《海岛算经》,专论测高望远.其中有一题:今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?译文如下:要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高均为3丈的标杆BC和DE,前后标杆相距1 000步,使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上,从前标杆杆脚B退行123步到F,人眼著地观测到岛峰,A、C、F三点共线,从后标杆杆脚D退行127步到G,人眼著地观测到岛峰,A、E、G三点也共线,则岛峰的高度AH=　　　　步.(古制:1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步) 

答案　1 255

9.(2016吉林五校第一次联考,14)2015年8月6日凌晨,马来西亚总理纳吉布在吉隆坡确认,7月29日在法属留尼汪岛发现的飞机残骸来自515天前失联的马航MH370.若一架侦察机以500米/秒的速度在留尼汪岛上空平行于地面匀速飞行时,发现飞机残骸在侦察机前方且俯角为30°的地面上,半分钟后,侦察机发现飞机残骸仍在其前方且俯角为75°的地面上,则侦察机的飞行高度是　　　　米.(保留根号) 

答案　3 750(+1)

10.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°,当地拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°.

(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;

(2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使△OMN的面积最小,并求出最小面积.

解析　(1)在△OAB中,因为OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°.

在△OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cos A=7,

所以OM=,所以cos∠AOM==,

在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=.

在△OMN中,由=得MN=×=.

故点M,N之间的距离为km.

(2)设∠AOM=θ,0<θ<.

在△OAM中,由=得OM=.

在△OAN中,由=得ON==.

所以S△OMN=OM·ON·sin∠MON

=···

==

=

=,

因为0<θ<,所以2θ+∈,

所以当2θ+=,即θ=时,S△OMN取最小值.

所以应设计∠AOM=,可使△OMN的面积最小,

最小面积是km2.