构造函数法证明不等式的八种方法冷世平整理

1．利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2．解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：

【题型1】移项法构造函数

【例1】已知函数，求证：当时，恒有。

【分析】本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。

【解析】当时，，即在上为增函数；当时，，即在上为减函数，故函数的单调递增区间为，单调递减区间，于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即（右面得证），现证左面，令，则，当时，当时，，即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，∴当时，，即，综上可知，当时，有。

【警示启迪】如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过就可得证。

【题型2】作差法构造函数证明

【例2】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。

【分析】函数的图象在函数的图象的下方不等式问题，即，只需证明在区间上，恒有成立，设，考虑到，要证不等式转化变为：当时，，这只要证明在区间是增函数即可。

【解析】设，即，则，

当时，，从而在上为增函数，，∴当时，即，故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。

【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方法。

【题型3】换元法构造函数证明

【例3】证明：对任意的正整数，不等式都成立。

【分析】本题是年山东卷的第⑵问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。

【解析】令，则在上恒正，所以函数在上单调递增，时，恒有 即，∴，对任意正整数，取，则有。

【警示启迪】我们知道，当在上单调递增，则时，有。如果，要证明当时，，那么，只要令，就可以利用的单调增性来推导，也就是说，在可导的前提下，只要证明即可。

【题型4】从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，求证：。        

【解析】由已知构造函数，则在上为增函数，，即 。

【警示启迪】由条件移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数，求导即可完成证明。若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

【题型5】主元法构造函数

【例5】已知函数

⑴求函数的最大值；

⑵设,证明 ：.

【分析】对于⑵绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上。如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：

【证明】对求导,则。在中以为主变元构造函数,设,则。

①当时，,因此在内为减函数；②当时,,因此在上为增函数。从而当时, 有极小值。因为所以,即。又设，则.

当时,，因此在上为减函数，因为所以,即。

【题型6】构造二阶导数函数证明导数的单调性

【例6】已知函数

⑴若在上为增函数,求的取值范围;⑵若,求证:时,。

【解析】⑴在上为增函数，对恒成立，即对恒成立，记，则，当时，；当时，，知在上为增函数,在上为减函数, 在时,取得最大值，即，即的取值范围是。

⑵记，则，令,则。当时, 在上为增函数,又在处连续, ，即在上为增函数,又在处连续, ,即。

【小结】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为(或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。

【题型7】对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）

【例7】证明当时。

【证明】对不等式两边同时取对数得，化简得，设辅助函数，又，则可知在上严格单调增加，从而

又由在上连续，且得在上严格单调增加，所以，即，故。

【题型8】构造形似函数

【例8】证明当，证明。

【解析】要证，只需证，即。设

，易知在上是减函数，又，所以结论得证。

【例9】已知都是正整数，且证明：

【证明】原不等式等价于，令，则，即在上严格递减，所以，即。

【练习题】

1.设，求证：当时，恒有。

【证明】，当时，不难证明，即在内单调递增，故当时，当时，恒有。

2.已知定义在正实数集上的函数

其中，且，求证：。

【证明】设则

当时，，故在上为减函数，在上为增函数，于是函数 在上的最小值是，故当时，有，即。

3.已知函数，求证：对任意的正数，恒有。

【证明】函数的定义域为当时，，即在上为减函数；当时，，即在上为增函数，因此在时取得极小值，而且是最小值，于是，从而，即，令，则，于是，因此。

4.函数是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有                           （        ）

【解析】，故在上是减函数，由有。