第11讲正方形专题(2)

一、利用正方形边角关系寻找全等三角形

1.如图，正方形ABCD和正方形CEFG,连BE, M为BE的中点。O、O分别为BD、EG的中点，连OM、OM.

⑴OM=OM;

⑵OM⊥OM.

2.如图正方形ABCD中，P为CD中点，连PA、PB, PA于BD交于E点，求证：CE⊥PB.

3.已知正方形ABCD，点P在CD上，以BP为边长作正方形BPEF,连DF交BC于M点。

⑴如图1，若PD=2CP,求证：CM=CP;

⑵如图2，若正方形BPEF在线段BC的左侧，求证：DE⊥BD(用多种方法证明)。

二、二倍角的常规处理方法

4.如图，正方形ABCD，边长为2，BF平分∠CBE.

⑴E为AD的中点，求CF的长；

⑵若点E为AD上动点，求.

5.如图，正方形ABCD，E点为CD的中点，点F在边AD上， DE=2DF.求证：∠BFD=2∠BEC.

6.如图，正方形ABCD，E、F分别为DC、BC的中点，连BE、AF交于M点，连DM.

⑴求证：AF⊥BE;

⑵求证：∠CAF=∠CDM.

三、“”图形的处理方法

7.如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°,交BC于E, CD于F. AE、AF交正方形对角线于M、N.求证：①AN⊥E②AN=EN.

8.如图，正方形ABCD，过A作直线AE, 过D作DG⊥AE, AG=GE,连接DE.

⑴求证：DE=DC;

⑵若∠CDE的平分线交EA的延长线于F点，连接BF. 求证：DF=FA=FB.

9.如图，在正方形ABCD中，P为CD上一动点，过C作CM⊥AP于M并延长AP, 使AM=MN,连接BD交AN于E,连接CN.

⑴求证：CN=BD;

⑵连接BM、BM, 试探究边BM、DM与MN之间的数量关系。

10.如图，P为正方形ABCD边AD上一点，以BP为腰作等腰Rt△BPQ, M为BD延长线上一点，PB=PM.

⑴求证：PD平分∠MPQ;

⑵连接DQ,试求的值；

⑶若正方形的边长为4，P为AD中点，请直接写出线段BM的长度为            。

11.如图，P是边长为4的正方形ABCD的边BC上任一点，过B作BG⊥AP于G, 过C作CE⊥AP于E, 连BE.

⑴若P是BC的中点，求CE的长；

⑵当P在BC上运动时，（不与B、C重合），求的值；

⑶当P时，△BCE是等腰三角形。

四、“”图形与“勾股”相结合进行计算

12. 如图，正方形ABCD，沿EF折叠，使B点正好落在CD上G处，若EF=13，AB=12，求BE的长。

13. 如图，正方形ABCD，点E在AD上，以BE为边作等腰直角三角形BEF, FM⊥BC,垂足为M.

⑴若AB=4，AE=1，求FM的长；

⑵连BD、DF,问BD、DF、DE三者之间存在怎样的关系并证明。

14，如图，正方形ABCD,点E在正方形外侧且DE=CD, DH⊥AE,垂足为H交CE于M.

⑴求证：∠CMD=45°;

⑵求证：AM+CM=BM;

⑶若正方形的边长为2，P点为AD的中点，求DM的长。

15.如图，正方形ABCD,点P为BC上一动点，将AP绕P点顺时针旋转90°至PE,过E点作EF⊥BC垂足为F点。

⑴求证：BP=CF;

⑵求证：线段AE的中点一定在直线BD上；

⑶若P点在CB的延长线，试证明上述两结论是否成立，画图证明。