2021-2022学年河北省石高一上学期第一次月考(10月)数学试卷及解析

（时间120分，满分150分）

1.已知集合A={x|log（x+1）≥-2}，B={x|≥2}，则 A∩B=（　　）

A. （-1，1）    B. [0，1）    C. [0，3]    D. ∅

2.给出下列说法：

（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；

（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；

（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．

那么其中正确的说法有（　　）

A. 0个    B. 1个    C. 2个    D. 3个

3.下列命题为真命题的是

A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件

B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件

C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且∥，∥，则∥

D. ，使成立

4.下列各组中的M、P表示同一个集合的是(    )

①M={3,-1},P={(3,-1)}.

②M={(3,1)},P={(1,3)}.

③M={y|y=-1},P={t|t=-1}.

​​​​​​​④M={y|y=-1},P={(x,y)|y=-1}.

A. ①    B. ②    C. ③    D. ④

5.若a>1,b>1且ab,则a+b,2,+，2ab中的最大值的是(    )

A.     B. ​​​​​​​

C. ​​​​​​​    D. ​​​​​​​

6.设集合P＝{ m|－1＜m＜0}，Q＝{ m∈R| mx2＋4 mx－4＜0对任意实数，则下列关系中成立的是(     )

A. P  Q    B. Q  P    C. P＝Q    D. 

7.已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5},那么集合M的个数为(    )

A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

8.已知，若是的充分非必要条件，则的取值范围是（   ）

A.     B. 

C.     D. 

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.若集合M⊆N，则下列结论正确的是（　　）

A. M∩N=M    B. M∪N=N    C. M⊆（M∩N）    D. （M∪N）⊆N

10.设a＞b，c＜0，则下列结论正确的是（　　）

A.     B. ac＜bc    C.     D. ac2＞bc2

11.已知集合,则有(    )

A.     B. ​​​​​​​

C. ​​​​​​​    D. 

12.已知a＞0，b＞0，a+b=1，则（　　）

A.     B. 

C. log2a+log2b≥-2    D. 

三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.命题“R,4-+1<0”为假命题,则实数a的取值范围是          .

14.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，则A∩（∁UB）等于______ ．

15.已知集合A={x|x<2}，B={-1，0，2，3}，则A∩B=   ．

四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）

16.已知a＞0，b＞0，且2a+b=ab，则当且仅当a=   (1)   时，ab取得最小值   (2)   

五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知函数f（x）=；

（1）判断并证明f（x）的奇偶性；

（2）求不等式≤f（x）的解集．

18.已知集合

(1)若，求实数m的值；

(2)若​​​​​​​，求实数m的取值范围。

19.已知集合A={x|2-ax2+a},B={-5x+40}.

(1)当a=3时,求AB与A(B);

(2)若AB为空集,求实数a的取值范围.

20.运货卡车计划从A地运输货物到距A地1300千米外的B地，卡车的速度为x千米/小时（50≤x≤100）．假设柴油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时24元，不考虑卡车保养等其它费用．

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（行车总费用=油费+司机工资）

（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

21.(1)设x< y<0,试比较(+)(x-y)与(-)(x+y)的大小;

(2)已知a,b,x,y(0,+)且>,x>y,求证:.

22.我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数a的范围;

（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵集合A={x|log（x+1）≥-2}={x|-1＜x≤3}，

B={x|≥2}={x|0≤x＜1}，

∴A∩B={x|0≤x＜1}=[0，1）．

故选：B．

先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．

本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．

2.【答案】C

【解析】解：对于（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；不满足否命题的形式，应该为：若a、b不都是奇数，则a+b不是偶数．所以（1）不正确；

对于（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；满足集合的交集与并集的关系，正确；

对于（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．

根据逆否命题的等价性可知，条件可转化为x+y=3是x=1且y=2的条件关系，

当x=1且y=2，有x+y=3成立．

但x+y=3时，比如x=2，y=1时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2不成立．

∴x+y=3是x=1且y=2成立的必要不充分条件．

即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．正确．

故选：C．

利用否命题的形式判断（1）的正误；集合关系判断（2）的正误；充要条件判断（3）的正误；

本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及集合的关系四种命题的关系，考查基本知识的应用，是基础题．

3.【答案】C

【解析】 

故答案为C.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查集合相等的条件，是基础题．

​​​​​​​由集合相等的定义依次判断各选项即可,要注意区分集合是点集还是数集．

【解答】

解：对于①,两个集合研究的对象不相同,故不是同一个集合；

对于②,两个集合中元素对应的坐标不相同,故不是同一个集合；

对于③,两个集合表示同一集合；

对于④,集合M研究对象是函数值,集合P研究对象是点的坐标,故不是同一个集合.

​​​​​​​故答案为：C.​​​​​​​

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的性质和基本不等式，属于基础题.

由基本不等式可排除B和D，利用不等式的性质作差法比较大小可得答案.

【解答】

解：由题意,实数a>1,b>1且ab,可得a+b>2,+>2ab,

又由+-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),

因为a>1,b>1,可得a-1>0,b-1>0,

所以+-(a+b)>0,

所以+>a+b,

所以最大值为+.

故选:C.

6.【答案】A

【解析】解：Q={m∈R|mx2+4mx-4＜0}对任意实数x恒成立，

对m分类：①m=0时，-4＜0恒成立；

②m＜0时，需△=(4m)2-4×m×(-4)＜0，解得-1＜m＜0。

综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|-1＜m≤0}，

P={m|-1＜m＜0}，

故选A。

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查集合的关系，属于基础题.

由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集, 由此可得答案.

【解答】

解：由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集,

因为{3,4,5}的真子集有-1=7个,所以集合 M的个数为7个.

故选:C.

8.【答案】C

【解析】解：由题意得，A={x|x＜0或x＞1}，因为”x∈B”是”x∈A”的充分条件，所以B⊆A，

则m+1＜0，解得m＜-1，或者m≥1，所以m的取值范围是： ，

​故答案选C.

9.【答案】ABCD

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查子集、并集、交集定义等基础知识，是基础题．

利用子集、并集、交集的定义直接求解．

【解答】

解：∵集合M⊆N，

∴在A中，M∩N=M，故A正确；

在B中，M∪N=N，故B正确；

在C中，M⊆(M∩N)，故C正确；

在D中，(M∪N)⊆N，故D正确．

故选：ABCD．

10.【答案】BD

【解析】解：对于A：令a=1，b=-1，c=-1，显然错误；

对于B：∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故B正确；

对于C：令a=1，b=-1，c=-1，显然错误；

对于D：a＞b，c＜0，则c2＞0，故ac2＞bc2，故D正确；

故选：BD．

根据特殊值法判断A，C，根据不等式的基本性质判断B，D即可．

本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，属基础题.

根据一元二次方程解得A={0,2}, 根据元素与集合的关系、集合与集合的关系逐一判断即可.

【解答】

解：由题得集合,

由于空集是任何集合的子集,故A正确:

因为 A={0,2},所以CD正确,B错误.

故选：ACD.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用．

由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．

【解答】

解：因为a＞0，b＞0，a+b=1，

所以ab=，

当且仅当a=b=时取等号，A正确；

由a＞0，b＞0，a+b=1可得a=1-b＞0，

所以1-b＞b-1，

所以a＞b-1，

所以a-b＞-1，

故2a-b＞2-1=，B正确；

log2a+log2b=log2ab=-2，C错误；

​​​​​​​=2+=4，

当且仅当且a+b=1即a=b=时取等号，D正确．

故选：ABD．

13.【答案】[-4,4]

【解析】

【分析】

本题考查特称命题与全称命之间互化、二次不等式的解法，属于基础题.

根据题意得到“R,4-+10”为真命题,所以-160,即可得解.

【解答】

解：由题得“R, 4-+10”为真命题,

所以-160,

所以-4a4.

故答案为[-4,4].

14.【答案】{4，5}

【解析】解：∁UB={2，4，5，7}；

∴A∩（∁UB）={4，5}．

故答案为：{4，5}．

进行交集、补集的运算即可．

考查交集、补集的定义以及运算．

15.【答案】

【解析】试题分析：求就是求集合与集合中相同的元素的集合，集合是有限集，集合是无限集，因此用代入验证集合中元素是否符合集合中条件，即可得出 

考点：集合的运算.

16.【答案】2

8

【解析】

【分析】

本题主要是考查了基本不等式的应用，属于基础题．

利用基本不等式将左边缩小成，就得到了关于ab的不等式，解出来即可．

【解答】

解：因为a＞0，b＞0

∴（当且仅当2a=b时取等号）

所以，所以．

由得a=2．

故a=2时，ab取得最小值8．

故答案为：2，8  

17.【答案】解：（1）f（x）=是奇函数．

证明如下：

∵函数f（x）=，∴x∈R，

且f（-x）==-=-f（x），

∴f（x）是奇函数．

（2）f（x）====1-，

∵22x+1是单调递增，∴单调递减，

∴f（x）==1-是单调递增函数，

∵≤f（x），∴≤1-，

∴-，∴，

∴5≤22x+1≤17，解得1≤x≤2．

∴不等式≤f（x）的解集为[1，2]．

【解析】（1）f（x）=是奇函数，利用定义法能证明f（x）是奇函数．

（2）f（x）====1-，由≤f（x），得5≤22x+1≤17，由此能耱出不等式≤f（x）的解集．

本题考查函数的奇偶性的判断与证明，考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

18.【答案】解：

(1)∵，∴,

(2)

∵，∴或,

∴，或.

【解析】主要是对于含有参数的集合与已知集合的关系以及计算的求解，属于中档题.

本题主要考查集合的关系和集合的运算.

19.【答案】解：(1)当a=3时,A={x|-1x5},B={x|x4或x1},

∴AB={x|-1x1或4x5}，B={x|1x4},

则A(B)={x|-1x5};

(2)由AB=,当A=,即2-a>2+a,即a<0

当A，则有,,解得0a<1.∴实数a的取值范围为a<1.

​​​​​​​即a的取值范围为(-,1).

【解析】本题考查集合的运算，属于中档题.

（1）分别求出集合A和B，然后可求交集和补集运算；

（2）分情况讨论A为空集和不是空集，即可求解

20.【答案】（本小题满分16分）

解：（1）行车所用时间为t=（小时），

所以y=×24，x∈[50，100]…（6分）

∴y=，x∈[50，100] 

或写成y=x，x∈[50，100]…（8分）

（2）y=≥2=2600…（12分）

当且仅当=即x=60时，取“=”…（14分）

答：当x=60千米/小时时，这次行车的总费用最低，最低费用为2600元．…（16分）

【解析】（1）利用已知条件求出时间，然后求这次行车总费用y关于x的表达式；（行车总费用=油费+司机工资）

（2）利用基本不等式直接当x为何值时，这次行车的总费用最低，即可得到最低费用的值．

本题考查函数的综合应用，考查函数的选择与应用，考查分析问题解决问题的能力．

21.【答案】(1)解：(+)(x-y)-(-)(x+y)

=(x-y)[(+)-]

=-2xy(x-y)，

因为x< y<0,

所以-2xy(x-y)>0,

所以(+)(x-y)>(-)(x+y)；

(2)证明:-=,

因为>​​​​​​​且a,b(0,+),

所以b>a>0，

又因为x>y>0,

所以bx>ay>0,所以，

​​​​​​​所以>.

【解析】本题考查利用作差法进行比较大小,属于基础题.

(1)本题考查不等式的证明，利用作差法进行比较即可；

(2)同（1），利用作差法进行比较即可；

22.【答案】（1）证明：∵ ， 

∴ ，

  ∴数列是等比数列；

（2）∵ ，

∴ ， ，  

不等式化为：对任意正整数恒成立．  

设．  

又 ， 

∴ 数列单调递增，，  

要使不等式恒成立，只要，

  ，

得 

∴ 使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是:;

（3）∵，

∴ ，  

假设中的第  项最小，由  ，，

∴， 

当时，有，

由可得，

即，

∴ ，，或（舍），

  ∴ ，即有， 

由，得，  

  又，∴ ； 

  故数列中存在最小项，最小项是

【解析】

【分析】

本题考查用定义证明数列是等比数列，数列的单调性与恒成立问题的转化，存在性问题．

【解答】第一问利用等比数列的定义证明，第二问只需证明不等式左边的最小值大于a（a+2）,接下来研究左边和式的单调性，最后转化为求解​，第三问假设存在第n项最小满足，求解关于n的不等式得第5项最小．