函数的周期性

知识梳理

1.周期函数的定义

对于函数，如果存在一个常数，能使得当取定义域内的一切值时，都有，则函数叫做以为周期的周期函数。

2.与周期相关的结论

(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；

(2)周期函数的定义域是无界的；

(3)若为的周期，则也是的周期

(4)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期； 

(5)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；

推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；

（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即型

(6)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期； 

推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；

(7)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；

推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；

（6）（7）可概括为：“乘积为型”即型

(8)若函数是偶函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期； 

推论：若函数关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；

(9)若函数是奇函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；

推论：若函数关于点、直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；

(10)若函数是奇函数，且关于点对称，则是周期函数，是它的一个周期；

推论：若函数关于点、对称，则是周期函数，是它的一个周期。

（8）（9）（10）可概括为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一条对称轴”型

（11）分式递推型：即函数满足

由得，进而得

，由前面的结论得的周期是

经典习题 （提示：本知识点常考小题，因此练习为主）

一. 选择题

1.设是上的奇函数，，当时，，则（    ）

A.0.5                  B.－0.5                C.1.5                  D.－1.5

2.是定义在上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间内解的个数的最小值是（    ）                

    A．5    B．4    C．3    D．2

3. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）

A.   

4. 设函数为奇函数，且，则等于（ ）

A. 0                 B. 1                 C. 

5. 设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且 的图像关于直线对称，则下面正确的结论是（    ）        

6.定义在上的函数满足，则的值为(    ) 

A. -1               B. 0              C. 1              D. 2

7.已知定义在上的函数满足且,,则（    ）

A.                      B.                   C.                      D.

8.定义在上的函数是奇函数，又是以为周期的周期函数,则 (    )

A.-1                  B.0                   C.1                     D.4

9．定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设， ，，则大小关系是(    )

A．          B．          C．         D．

10. 设函数（）是以为周期的奇函数，且，则(    )

11. 函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在 上是减函数，那么在上是(    )

增函数          减函数          先增后减函数        先减后增函数

12. 设偶函数对任意，都有，且当时，，则(     )

13. 定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程 在闭区间上的根的个数记为，则可能为(    )

14. 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当 时，，则的值为(    )

15.已知是定义在上的函数，且满足，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的 (    )    

A．充分不必要条件；                        B．必要不充分条件；   

C．充要条件；                              D．既不充分也不必要条件

16.设是定义在上的正值函数,且满足.若是周期函数,则它的一个周期是（    ）

    .               .                 .                  .

17.在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（    ）

A.在区间上是增函数，区间上是增函数

B.在区间上是增函数，区间上是减函数

C.在区间上是减函数，区间上是增函数

D.在区间上是减函数，区间上是减函数

二. 填空题

18.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则        

19. 函数对于任意实数满足条件若，则 __________

20.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则                

21. 若存在常数，使得函数满足，的一个正周期为

22. 设，记，则              

23．已知函数满足，则                 

三. 解答题

24. 设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立

（1）证明：是周期函数，并指出周期；

（2）若，求的值

25. 已知函数的图象关于点对称，且满足，又，求的值.

26.已知函数是定义为上的奇函数，且它的图像关于直线对称

（1）求证：是周期为4的周期函数；

（2）若，求时，函数的解析式。

27. 已知函数的定义域为，且满足

（1）求证：是周期函数；

（2）若为奇函数，且当时，，求使在上的所有 的个数。

28. 设函数在上满足，，且在闭区间 上，只有．

(1)试判断函数的奇偶性；

(2)试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.

29.定义在上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式

参

（一）选择题

1～5  BBBCB      6～10  CABDD      11～15  ADDDC      16～17  CC

4、特取      13、特取      

16、由是定义在上的正值函数及得

，，

，所以，即的一个周期是6

（二）填空题

18、 1       19、       20、0       21、   

22、，可见，       

23、令得

同理

两式相加得，由此可得

（三）解答题

24、解：（1）；

（2）因为函数是定义域上的奇函数，且，所以

在中，令得

25、解：由

在中，令得

在中，令得

所以，而，所以

又，

所以，

26、解：（1）

（2）时，

时，，从而

又当时，，

从而（）

又因为也满足上式，

（）

27、解：（1）

（2）时，

时，，从而

故

又当时，

从而

由图象可知在上使的所有的个数为502。

28、解:（1）由

,从而知函数的周期为

又 

而，故函数是非奇非偶函数；

(2)  又

故在和上均有两个解,从而可知函数在上有403个解,

在上有402个解,所以函数在上有805个解.

29.解：

⑴当时，

又为奇函数，，

当时，由  

是最小正周期4的奇函数，

综上，