2021年高考数学三角函数与解三角形大题精做

例题一：在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ．

（1）求角A 的大小；

（2）若5b c +=，ABC △a ．

例题二：如图，在ABC △中，π

4A ∠=，4AB =，BC =点D 在AC 边上，且1cos 3

ADB ∠=-．

（1）求BD 的长；

（2）求BCD △的面积．

例题三：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=．

（1）求B ；

（2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积．

例题四：已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-．

（1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间；

（2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．

例题一：【答案】（1）π3

A =；（2

）a =【解析】（1）由⊥m n ，可得0⋅=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+，即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+，∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=，∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2

A =

，∵0πA <<，∴π3A =．（2

）由ABC S =△

，可得1sin 2

ABC S bc A ==△，∴4bc =，又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=，

∴a =例题二：【答案】（1）3；（2

）【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3

ADB ∠=-，

∴sin ADB ∠=，由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，

∴4sin 3sin 22

3AB BAD BD ADB ∠==∠．（2）∵πADB CDB ∠+∠=，

∴()1cos cos πcos 3CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=

．∴(

)sin sin πsin 3CDB ADB ADB ∠=-∠=∠=

，sin 3CDB ∠=，在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，得21179233

CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）．∴BCD △

的面积1122sin 34223

S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯．例题三：【答案】（1）2π3B =

；（2）334ABC S =△．【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=，

∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=，

()sin 2cos sin 0A B B C ++=，

∵()sin sin A B C +=．∴1cos 2

B =-

，∵0πB <<，∴2π3B =．（2）由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭

，229a c ac ++=，∴()29a c ac +-=，

∵3a b c ++=+3b =，∴a c +=，∴3ac =，∴11333sin 32224

ABC S ac B ==⨯⨯=△．例题四：【答案】（1）函数最小正周期为π，单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦Z ；（2）

3

ABC S =△．【解析】（1）()22πcos cos sin 2cos 22sin 2

6f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝

⎭，2ππ2

T ==，即函数最小正周期为π，由πππ2π22π262k x k -

≤+≤+得ππππ36k x k -≤≤+，故所求单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦Z ．（2）由()1f C =，得π2sin 216C ⎛⎫+= ⎪⎝

⎭，∴ππ22π66C k +=+或π5π22π66C k +=+，∴πC k =或ππ3

C k =+，∵()0,πC ∈，∴π3C =

，又∵()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=，∴2sin cos 2sin 2B A A =，即sin cos 2sin cos B A A A =，①当cos 0A =时，即π2A =，则由π3

C =，2c =，可得233ABC S =△，②当cos 0A ≠时，则sin 2sin B A =，即2b a =，则由2221cos 22a b c C ab +-==，解得233a =，433

b =，

∴1sin 23

ABC S ab C ==△．

综上：ABC S =△．