高中数学-正弦型函数y=Asin(ωx+φ)练习

课时过关·能力提升

1.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象(　　)

A.关于点对称    B.关于直线x=对称

C.关于点对称    D.关于直线x=对称

解析:由已知得=π,所以ω=2,

即f(x) =sin.

又f=0,所以f(x)的图象关于点对称.

答案:A

2.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

解析:y=siny=sin=sin.

答案:B

3.函数y=2sin的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案:B

4.已知正弦函数在一个周期内的图象如图所示,则它的表达式应为(　　)

A.y=sin

B.y=sin

C.y=sin

D.y=sin

答案:A

5.先将函数y=f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,再将整个图象沿x轴向左平移个单位长度,得到的曲线与y=sin x的图象相同,则y=f(x)的表达式为(　　)

A.y=sin

B.y=sin

C.y=sin

D.y=sin

解析:根据题意,将y=sin x的图象沿x轴向右平移个单位长度后得到y=sin的图象,再将此函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象,即得y=f(x)的解析式.

答案:D

6.对于函数f(x)=sin,有下列命题:

①函数的图象关于直线x=-对称;

②函数的图象关于点对称;

③函数的图象可看作是把y=sin 2x的图象向左平移个单位长度而得到;

④函数的图象可看作是把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)而得到.

其中正确命题的个数是(　　)

A.0    B.1    C.2    D.3

答案:C

★7.已知函数f(x)=sin,其中k≠0,当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时,至少含有1个周期,则最小的正整数k是(　　)

A.60    B.61    C.62    D.63

解析:∵k≠0,∴函数f(x)=sin的周期T=.又T≤1,∴|k|≥20π>62.8.

∴最小的正整数k=63.

答案:D

8.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象中最高点(距原点最近)的坐标是(2,),由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点(6,0),则此函数的解析式应为　　　　　. 

答案:y=sin

★9.设ω>0,且函数f(x)=sin ωx在上单调递增,则ω的取值范围是　　　　　. 

解析:因为x∈,ω>0,ωx∈,∴∴0<ω≤.

答案:

10.关于函数f(x)=4sin(x∈R)有下列命题:

①由f(x1)=f(x2)=0,可得x1-x2必是π的整数倍;

②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos;

③y=f(x)的图象关于点对称;

④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.

其中真命题的序号是　　　　　(注:把你认为正确的命题的序号都填上). 

解析:如图所示为y=4sin的图象.

函数图象与x轴的交点均匀分布,相邻的两个交点的距离为,故命题①不是真命题;函数f(x)的图象与x轴的每一个交点,都是函数图象的一个对称中心,所以③是真命题;函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点,所以直线x=-不是对称轴,故④不是真命题;由诱导公式可知4cos=4sin=4sin,所以命题②是真命题.所以应填②③.

答案:②③

11.已知函数f(x)=2sin.

(1)求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T;

(2)写出函数f(x)图象的对称轴和对称中心.

解:(1)M=2,N=-2,T==π.

(2)令2x+=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z),即对称轴是直线x=(k∈Z).

令2x+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),

即对称中心是(k∈Z).

★12.已知f(x)=-2asin+2a+b,x∈,是否存在常数a,b∈Q,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤-1}?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

解:因为≤x≤,所以≤2x+,

所以-1≤sin.

若存在这样的有理数a,b,则

当a>0时,

所以

当a<0时,所以

综上,a,b存在,且a=-1,b=1.