自适应信号处理

自适应信号处理:是研究一类结构可变或可以调整的系统，它通过自身与外界环境的接触来改善自身对信号处理的性能。通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传送变化的环境和要求。            自适应系统和一般系统类似，可以分为开环系统（闭环：计算量小，收敛慢；开环：计算量大，收敛快）和闭环系统两种类型。开环系统仅由输入确定，而闭环不仅取决于输入，还依赖于系统输出的结果。自适应信号处理所研究的信号既可以是随机平稳信号，也可以是局部平稳随机信号，也可以是窄带或者是宽带信号。

2、信号相关矩阵及其性质，梯度运算:    

输入信号的相关矩阵：RE[X*XT]=，相关矩阵R是厄米特矩阵，即满足R* = RT。作为厄米特矩阵，它具有以下性质：

对应于R的不同特征值的特征向量都是正交的。

R是正定（或半正定）矩阵，它所有的特征值都为实数，且大于或等于零。

所有特征值之和等于矩阵R的迹，即为输入信号的功率。

【定义一个幺向量：1=[1 1 … 1]T，于是，R的特征值之和为

1T∧1=1TQHRQ1= =            上式等号右边的求和即为矩阵R的迹（矩阵主对角线所有元素之和），亦即系统输入信号的功率。】

信号相关矩阵R可以被分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵，即：R=Ra+jRb ，其中，实矩阵Ra、Rb分别满足条件：Ra T=Ra和RbT =- Rb

若W为L+1维的权向量，则对相关矩阵R，存在关于W的一个瑞利商，且对于所有W的瑞利商均为实数。    瑞利商Ray(W)=

R可分解为R=QQT   where Q [q0,q1,… ql],

信号子空间：Rs非零特征值对应的特征向量张成的子空间。Span{q0,q1,… qs}

噪声子空间：信号子空间的正交补空间零特征值→特征向量。Span{ qs+1,qs+2,… ql+1}

梯度运算：=[]T

式中分别是向量W的第l个元素的实部和虚部，即；ε即为。

实标量函数的梯度是一个向量，其方向代表该函数最陡下降时W变化方向的负向。

               （）=2RW

3、性能测量方法。（代价函数）

最小均方误差（MSE）：准则--误差信号功率最小： 

ε(W)=E[]= E[]+ -  2Re(WTP)，（代价函数）       →Wopt=Rx-1P*.   

 ( ε(Wopt)=E[]- WoptTP       ---(  P)     )

εmin=E[]+PTR-1RWopt  - 2WToptP   =   E[] – PTWopt

最大信噪比：  SNR=  ,   SINR= 

SNR= Wopt =argRs’最大特征值对应特征向量。  Rs’ Wopt’= λmaxWopt’

最大似然准则(ML)： =arg  ，高斯噪声，干扰背景

最小噪声方差(MV)：

Wopt=λ1   ,   λ =

评价自适应系统性能的指标：收敛速度，跟踪能力，稳健性，计算量，算法结构，数值稳定性，稳态性能。

4、权向量求解方法：

最陡下降法： - μ▽

牛顿法：     - μ▽

适用范围：代价函数是凸函数，不存在局部极值点。

【 最速下降法：0<μ<；优点：计算量小；缺点：收敛慢；受特征值的散度影响        

牛顿法：0<μ<1；优点：收敛快；不受特征值的影响；缺点：计算量大     

在初始值位于椭圆族主轴上时，它两个收敛特性相同。                】

收敛条件会证明！

最陡下降法： - μ▽ 

梯度：▽=|ω= =2λ（）

于是： - 2μλ（）

即：=(1-2μλ)

      则可将第k次权偏差值迭代递推表示为：=(1-2μλ)k

     而将第k次权值表示成： + (1-2μλ)k（） 

相继两次权偏差值迭代的比值均为公比：(1-2μλ)=γ，则上述迭代过程“稳定”的充要条件是|γ|=|1-2μλ|<1，  即：0<μ<1/λ。

则算法收敛于最佳解：= 。

牛顿法：R-1P*      、▽=2R-2 P*

▽=2R-2 P*  → +2μ

              →= (1-2μ) = (1-2μ)k+1 .

       所以，收敛条件：0<μ<1 . 

5、自适应实现算法：（最陡下降法，牛顿法，仅给出迭代公式）

微商法：梯度估计： =     

β（因权微扰而不停留在所引起的均方误差平均增量β为“性能损失”，即β=1/2[ε(-σ)+ ε(+σ)]- ε(). 对于单个实权的二次型性能函数，β=λσ2）；

P（扰动，即P = =,此式给出了用最小均方误差归一化的均方误差平均增量。），

excMSE （超量均方误差：excMSE=E[,自适应过程中权值噪声将引起稳态权向量解围绕最佳点随机地变化，即系统输出均方误差在“碗底”附近“徘徊”，结果就产生了“超量”均方误差，于是会使稳态均方误差输出值大于）,  

M（失调，M=,它是超量均方误差和最小均方误差的相对比值，且是一个无量纲的量。它是自适应能力所付代价的归一化量度。失调M并不包括人为将权偏离（而不是由噪声）所引起的扰动P。）         

总失调：Mtot=M+P .      Popt≈A/Popt≈Mtot  - Popt  ≈ Mtot /2  。也就是说，当扰动等于总失调的一半时，总失调量达到最小值。    ------性能损失

参数选择对性能影响：σ，N(样本数),μ

                P+M  最小选择   σ （扰动）

性能评估：N越大，估计方法越小，β↓，excMSE↑，稳定性能好，但收敛慢，μ越大，（满足收敛条件）。

收敛速度快，excMSE变大，稳定性能变差。

性能分析：N 越大，δ越大，μ越小，超量均方误差就越小；

N 越大，δ越大，μ越小，失调量就越小

时间常数：权向量收敛：γn=1-2μλn  ,τn==

学习曲线（）:           τmse==

        自适应算法：（τmse）n=（τmse）n

      收敛时间常数：,  (迭代次数)， ----（物理时间）

LMS最小均方差：基于最陡下降法。  最陡下降法+瞬时梯度估计

→  

优点：计算量小

缺点：瞬时梯度估计

收敛条件：0<μ<1/λmax  (   0<μ<1/tr(R)    )，k→∞,E[Vk+1’] →0 ,  Vk+1’ →0

时间常数：a.权向量收敛：γn=1-2μλn  ,τn==

     b. 学习曲线（）:           τmse==

          c.自适应算法：（τmse）n=（τmse）n

收敛性分析（会推导）。K→∞,E[Vk]→0.

                            0<μ< 1/λmax

0<μ< 1/trR

τmse和TMSE关系：τmse=TMSE

 LMS/Newton（最小均方牛顿算法）：

→  

SER（序贯回归算法）SER是基于牛顿法梯度搜索算法。以迭代方式求解R-1，降低了运算量。由于使用牛顿梯度搜索算法，所以收敛速度快，快于LMS算法。遗忘因子α的选择要考虑信号的平稳时间长度，α越大，估计方差越小。

→  

a.R的估计：=

b.P的估计：P=E[] → =

c.迭代公式：R=  (隐含牛顿法，一步收敛)

d.求解：（矩阵求逆引理）

=

牛顿法（收敛快）+瞬时梯度估计（计算量小）

SER：解决主要问题  迭代求解。

迭代求解：=f(,).

（针对短时平稳）  遗忘因子 （标量，起到加重现时刻分量的贡献及“消退”记忆的作用。  ）：  

                            选择准则方法，对性能影响

                     0<

条件内，赶大，ecxMSE↓，稳态性能好。

RLS（递归最小二乘）。代价函数，→一段时间内误差信号功率最小min（无步长因子，原因，每步均满足误差信号功率最小）。min E[] ,    min 

a.初值：α、窗长、P

b.()

=f(,).

需μ参数； 窗长：窗长越长，稳态性能越好。

梯度类方法适用范围

代价函数为凸函数，▽=0  →.     仅全局最优点

非凸，     随机携带法：遗传算法       （无局部极值点）

DMI（直接矩阵求逆）开环算法：       (开环算法)

计算量大，样本数N，同分布。

                     L为信号维数，统计量

【影响性能的参数有：输入采样数N，输入信号Xk，初始dk的值的选择；

1、性能与N有关，N越大，超量均方误差就越小，N2L

2、样本选择问题，样本统计

3、数值稳定性，矩阵求逆的精度与矩阵的条件数有关，条件数越大，相同精度，要求计算机的位数越高，可以通过对角加载技术提高性能】

约束LMS：          (以瞬时值代替平均值约束的最小方差算法)。

a.约束条件会消耗系统自由度。

b.算法要素：最陡下降、约束条件、瞬时梯度→约束LMS

c.应用：自适应单脉冲测角。存在指向误差。

超分辨和高分辨的不同：天线和天线阵列的分辨力会受到瑞利准则的，即分辨力与波束宽度有关，波束宽度越宽，分辨力越低，高分辨根据波束主瓣的宽度，或者天线孔径的宽度来调整分辨力；超分辨通过自适应的加权处理，偏离主方向的信号容易被波束形成器调零，形成的波束变窄，获得超分辨效果。

6、自适应IIR

优点：可用很小阶数（运算量小）来追近未知系统

缺点：存在稳定性问题

      输出误差方法：代价函数非凸（递归引起），存在局部极值（不能保证全局收敛，梯度方法不适用）。    迭代过程可能不稳定。

方程误差方法：将递归部分化为非递归 → 解决全局收敛问题。

                      变换，相位补偿解决。

相对于FIR，IIR的频响特性要好，但是存在极点，存在稳定性问题。

自适应综合的问题：代价函数存在局部极值点，不能保证全局最优，另外还有稳定性问题。

采用方程误差方法的出发点是输出误差方法的代价函数存在着局部极值，不能保证全局收敛，且有极值点，自适应过程不稳定；

采用方程误差方法，使得从递归滤波到非递归滤波，把一个IIR转化成了求解俩个FIR的问题；解决了收敛性的问题，自适应过程是稳定的；

但是，不能保证IIR滤波器是稳定的，因为，H(z)=A(z)/(1-B(z))的极点并不保证在单位圆内；

7、应用

自适应模拟：a.期望信号是未知系统输出、b.自适应滤波器与未知系统并联。

逆模拟：a.期望信号是未知系统输入、b.自适应滤波器与未知系统串联。

 .

会解决工作原理 通信中信道均衡：自适应均衡，盲均衡

                 雷达中：通道一致性问题。

              两个通道相关性越强，对消越好。两个接收机不一致，使两个通道信号去相关，两个通道不一致，不去相关。

a.目标：保证通道一致性

b.应用注意问题：馈入信号形式：带内覆盖一致性。馈入信号在某个频点能量大，则噪声对结果影响也大。

c.滤波器阶数的收敛性：除数↑，收敛慢。并不是阶数越大越好，应根据实际情况确定阶数。

   一个FIR实滤波器的自适应综合方案

待设计的滤波器指标由一个“伪滤波器”给出，由于严格满足这样一组指标要求的滤波器可能物理不可实现，因而伪滤波器也可能并不存在，仅是一个想象的滤波器。但在数字实现时，可以直接给出它的输出信号，以完成FIR滤波器综合的自适应模拟。

假定待设计滤波器的指标是以频率响应形式给出的，即要求滤波器在N个离散频率（一般可设为均匀间隔的）f1.f2,…,fN上有规定的幅度增益和相位特性。通常情况下，数字滤波器的权数预先被确定，从而，自适应滤波器的除数L也就定了。自适应过程就是得到一个最好拟合性能指标的解。

输入为x(t),期待响应：d(t),自适应收敛于最小均方解，其形式为：R-1P

自适应模拟应用：

a.扩谱信号：低截获 

b.抗干扰：滤波器结构【（FIR：稳定（无极点），阶数多，计算量大）（IIR：存在不稳定性（有极点），可以有很陡的下降沿，阶数少，计算量小。）】。

自适应算法【LMS算法：计算量小，收敛慢； 序贯回归（SER）算法：计算量大，收敛快】。

自适应逆模拟应用：

a.电话信道均衡

目的：将恢复到。信道变化很慢时，均衡器可以固定，基本不变。

变化很快，则训练信号发送频率↑，降低通信效率。

b.盲均衡

自适应干扰对消（时域、空域）

【自适应旁瓣相消】最优权矢量为：，其中Wopt=R-1P*,其中R-1为参考输入信号的自相关矩阵，P为参考输入信号和原始输入信号的互相关矢量。

提高相消比的措施为：提高参考输入端的干噪比，尽量减少信号进入参考输入端。

        权向量求解方法。性能分析 参考输入端：INR =, (通道一致必)   序号相关性

                   信号泄漏（引起相消）影响，  信号畸变

自适应预测器：宽带、窄带混合信号分离，   延迟线△作用（对宽带去相关，对窄带相关）。

自适应旁瓣相消：辅通道，INR，无线匹配

图中原始输入采用L个直线排列的全向天线单元输入叠加，而参考输入取自其中的某一个全向单元。假设空间同时存在一个信号源和一个干扰源（可以是人为干扰），且到达线阵天线输入端的信号为主瓣方向（即阵面的法线方向）的平面波，干扰则为旁瓣方向进入的平面波。当干扰功率比信号功率强时，图中的自适应噪声对消器（虚线框部分）就可将干扰从原始输入中消除，而信号则被保留下来。

广义旁瓣相消结构：（GSLC）

静态方向图→不具备抗干扰能力        降维后自由度大于干扰个数           M取决于空间干扰个数（A-N×M）

【从干扰中分离出宽带信号】没有外部参考输入的周期干扰对消器原理图： 图中△必须选得足够长，以使参考输入中的宽带信号分量和原始输入中的宽带信号分量去相关。而干扰分量则因其周期性，将仍然是彼此相关的。  在系统输出中被去掉了原始输入中的可预测分量而留下了其中的不可预测分量。

【--】【从宽带信号中分离提取周期信号】用作自调谐滤波器的自适应噪声对消器 ：此时系统输出是自适应滤波器的输出端。如果原始输入为单一频率正弦波周期信号加相关高斯噪声，则 ，可以得到和原始输入信号十分近似的正弦波输出，其误差是一个具有很小振幅的随机过程。