2000届上海高考数学理科卷(含答案)

考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分

一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果， 个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向 OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m=。

2．函数，x

x y --=31

2log 2的定义域为。

3．圆锥曲线⎩⎨

⎧=+=θθtg y x 31

sec 4的焦点坐标是

。

4．计算：n

n n )2

(

lim +=。

5．已知b x f x

+=2)(的反函数为)(),(1

1

x f

y x f --=若的图象 过点)2,5(Q ，则b =

。

6．根据上海市十一届三次会议上的市工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，、市府提出本市常住人口 年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人

口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需

年。（按：1999年本市常住人口总数约1300）

7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f =

。

9．在二项式11

)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为

，（结果用数值表示）

10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在 种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们

的颜色与号码均不相同的概率是

。11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=

AB 。

12．在等差数列{}n a 中，若0=z a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++≺⋯⋯成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若10=b ，则有等式

成立。

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题， 题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个

结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13．复数的三角形式是是虚数单位))(5

sin 5(cos

3i i z π

π

--=

).56sin 56(cos 3)( 54sin 5

4(cos

3)().

5

sin 5(cos 3)( 5sin()5[cos(3)(ππππ

π

πππi D i C i B i A -++-+-14．设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题：

（1）若a a //，a b //，则b a //（2）若a a //，β//a ，则β//a 。（3）若γ⋯a ,γβ⋯，则β//a 。其中正确的个数是

（A）0．

（B）1．

（C）2．（D）3．

15．若集合{}{

}

T s R x x y y T R x y y S x

∩则.,1| ..3|2

∈-==∈==是：

(D) (C) T. (B) S. )(有限集φA .

16．下列命题中正确的命题是

（A）若点)0)(2,(≠a a a P 为角a 终边上一点，则5

5

2sin =

a 。（B）同时满足2

3

cos ,21sin =

=

a a 的角a 有且只有一个。（C）当{}1≺a 时，)(arcsin a tg 的值恒正。（D）三角方程33

(=+

π

x tg 的解集为{}Z k k x x ∈=,|π。

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17．（本题满分12分）

已知椭圆C 的焦点分别为)0,22()0,22(21F F 和-，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

18．（本题满分12分）

如图所示四面体ABCD 中，AB、BC、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为10

10

arccos

，求四面体ABCD 的体积。19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数

],1[,2)(2+∞∈++=

x x

a

x x x f 。（1）当2

1

=

a 时，求函数)(x f 的最小值：（2）若对任意0)(],,1[≻x f x +∞∈恒成立，试求实数a 的取值范围。20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

根据指令),(θr )180180,0(

≺≤-≥θr ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

在XOY 平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111⋯⋯n n n b a P b a P b a P 对 个自然数n ，点P ，位于函数（0＜a＜10）的图象上，且点n P ，点)0.1()0,(+n n 与点构成一个以n P 为顶点的等腰三角形。（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式。

（2）若对 个自然数n ，以n b ，21,++n n b b 为边长能构成一个三角形，求a 取值范围。

（3）设(). 21N n b b b B n n ∈=⋯，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}n B 的最大项的项数。

22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知复数y x y x i y x w yi x z m mi z '''+'=+=-=,,,,),0(10其中和≻均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数

||2||,,0z w z z w z =⋅=有。

（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x 、y 表示的关系式；

（2）将(x 、y )作为点P 的坐标，(x '、y ')作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点 上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

一、（第1题至第12题） 一题正确的给4分，否则一律得零分。1．4．

2．)

3,2

1(3．(－4，0)，(6，0)。

4．2

-e 。5．1．

6．9．

7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……8．X．

9．－462。

10．

14

111．3

212．)

,17(172121N n n b b b b b b n n ∈=-≺⋯⋯二、（第13题至第16题）第一题正确的给4分。

三、（第17题至第22题）

17．[解]设椭圆C 的方程为)

(2 122

22分⋯=+b

y a x 由题意 1,22,3===b c a 于是)

(4 192

2分的方程为椭圆⋯=+∴y x C ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,027361019

222

2x x y x x y 得由因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同交点，

…（8分）

设)

(12 )5

1

,59(,5

18

),

,(),,(212211分的中点坐标为故线段则设⋯--

=+AB x x y x B y x A 18．[解法一]如图建立空间直角坐标系

…（2分）

由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设D 点的坐标为(0，0，z))0(≻z ，则

{}{})

10( ,4,4,101

42cos ,10

10

arccos ,2cos 42,BE )(6 ,,2,0,0,1,12

22分的长度是故得所成的角的大小为与且则所成的角为与设分⋯⋯BD z z

BE AD z BE AD AD z AD BE ==+=

∴+⋅=⋅-==θθθ又

)

(4 ,3

8

,6

1

分的体积是因此四面体⋯ABCD BD BC AB V ABCD ⨯⨯=

[解法二]过A 引BE 的平行线，交与CB 的延长线于F，∠DAF 是异面直线BE 与AD 所成的角，

题号13141516代号

C

A

A

D

∴∠DAF=10

10arccos

…（4分）

∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，AF=2BE=22。

…（6分）

又BF，BA 分别是DF，DA 的射影，且BF=BC=BA。∴DF=DA。

…（8分）

三角形ADF 是等腰三角形，20cos 1

2=∠⋅=DAF

AF AD ，故422=-=AB AD BD ，

…（10分）

又BD BC AB V ABCD ⨯⨯=

6

1

，因此四面体ABCD 的体积是38

，

…（12分）

19．[解]（1）当221

)(,21++==x x x f a 时，

)(x f ∵在区间),1(+∞上为增函数，…（3分）

)(x f ∵地区间),1(+∞上最小值为2

7

)1(=

f ，…（6分）

（2）[解法一]在区让),1(+∞上，

0202)(22≻≻a x x x

a x x x f ++⇔++=恒成立恒成立，

…（8分）

设),1(,22

+∞∈++=x a x x y ，1)1(22

2

-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ，…（12

分）

于是当且仅当03min ≻a y +=时，函数0)(≻x f 恒成立，故3-≻a 。

…（14分）

（2）[解法二]],1[,2)(+∞∈++

=x x

a

x x f ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正，…（8分）当0≺a 时，函数)(x f 递增，故当a x f x +==3)(,1min 时，

…（12分）于是当且仅当03)(min ≻a x f +=时，函数0)(≻x f 恒成立，故3-≻a 。…（14分）

20．[解]（1）

45,24==θr ，得指令为

4524(，

…（4分）

（2）设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球

…（6分）

则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有2

2

)40()4(|17|-+-==x x x ，…（8分）。即01611232

=+-+x x ，得3

23

-

=x 或7=x ，∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ，故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球，

（10分）

所给的指令为)13.98,5( -，（14分）21．[解]（1）由题意，21+=n a n ，∴2110

(2000+=n n a b ，…（4分）[解]（2）∵函数)100()10

(2000≺≺a a y n =递 ，∴对 个自然数n，有21++n n n b b b ≻≻，则以21,,++n n n b b b 为边长能构成一个三角形的充要条件是n n n b b b 12++，即01)10(10(2≻-+a

a

…（7分）解得)51(5+-≺a 或)15(5-≻a ∴10)15(5≺≺a -，…（10分）[解]（3）∴10)15(5≺≺a -∴7=a 2

1

107(2000+

=n n b …（12分）

数列{}n b 是一个递 的正数数列，对 个自然数1,2-=≥n n n B b B n ，

于是当1≥n b 时，1-≥n n B B ，当1≺n b 时，1-n n B B ≺，

因此，数列{}n B 的最大项的项数n 满足不等式1≥n b 且11≺+n b 。

)

16(20,

8.20,

1)107(200021

分得由⋯=∴≤≥=+

n n b n n 22．[解]（1）由题设，2,2000=∴==⋅=z z z z z z w ，于是由3,0,412==+m m m 得且≻，…（3分）因此由i y x y x yi x i i y x )3(3)()31(-++=+⋅-='+'，得关系式⎩⎨⎧-='+='y x y y

x x 33…（5分）

[解]（2）设点),(y x P 在直线1+=x y 上，则其 变换后的点),(y x Q ''满足

⎩⎨⎧--='++='1

)13(3)31(x x y x x ，…（7分）

消去x ，得232)32(+-'-='x y ，故点Q 的轨迹方程为2

32)32(+--=x y …

（10分）

[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，

∴所求直线可设为)0(≠+=k b kx y ，…（12分）

[解法一]∵该直线上的任一点),(y x P ，其 变换后得到的点)3,3(y x y x Q -+仍在该直线上，

∴b y x k y x ++=-)3(3，即b x k y k +-=+-)3()13(，

当

0≠b 时，方程组⎩⎨⎧=-=+-k k k 31)13(无解，故这样的直线不存在。…（16分）

当0=b 时，由,31)13(k k k -=+-得03232=-+k k ，解得3

3=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或x y 3-=，…（18分）[解法二]取直线上一点)0,(k b P -，其 变换后的点)3,(k

b k b Q --仍在该直线上，∴b k

b k k b +-=-)(3，得0=b ，…（14分）故所求直线为kx y =，取直线上一点),0(k P ，其 变换后得到的点)3,31(k k Q -+仍在该直线上。∴)31(3k k k +

=-，…（16分）即03232=-+k k ，得33=

k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 3

3=或x y 3-=，…（18分）