数学与应用数学专业《近世代数》教学大纲

（课程编号：06162085）

一、课程说明

　　　课程总学时72节，周学时4， 学分4，开课学期：7

1、 课程性质：

《近世代数》课是数学与应用数学专业必修基础课，是现代数学的基本内容，是培养合格中学数学教师与高级专门人才所必备的基础理论知识，是了解现代数学精神、思想和方法最基本的知识。

2、 课程教学目的与要求：

通过本课程的教学，使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象、严格的代数方法，进一步熟悉和掌握代数处理问题的方法；进一步提高抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系。能应用所学理论指导中学数学教学以及其它工作，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学基本素质，同时为今后继续学习奠定基础。

3、 教学内容与学时安排：

第一章  基本概念                                      10课时

第二章  群论                                          22课时

第三章  环与域                                        20课时

第四章  整环里的因子分解                              12课时

第五章  扩域                                           8课时

4、 使用教材与参考书：

使用教材：张禾瑞，《近世代数》，人民教育出版社，1978年。

参考书目：

(1)  吴品三，《近世代数》，人民教育出版社，1979年。

(2)  刘绍学编著，《近世代数基础》，高等教育出版社1999年10月出版，“面向21世纪课程教材”，

　　“普通高等教育‘九五’国家级重点教材”。

(3)  邓方安主编，《近世代数》，2001年西安地图出版社出版。

(4)  丁石孙、聂灵绍编，《代数学引论》，2002年北京大学出版社出版。

(5)  中国大百科全书·数学， 1988年中国大百科全书科学出版社出版。

(6)  Shafarevich I R Basic Notions of Algebra, Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 

　　　Berlin: Spring-Verlag, 1990.

(7)  Artin M.Algebra.Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1999.

 (8) Nikulin V V, Shafarevich I R. Geometries and Groups. Beijing: Spring-Verlag, World 

　　　Publishing Corporation, 19. 

 (9) T. W. Hungerford著，冯克勤译，代数学，1998年湖南出版社出版。

 (10) Nathan Jacobson. Basic Algebra (I).New York: W. H. Freeman and Company,1985.

5、 课程教学重点与难点

重点：群、正规子群、商群、循环群、环、理想、商环、同态基本原理等。 

难点：商群、理想、商环等。 

6、课程教学方法与要求

本课程以课堂讲授为主，学生必须完成一定的作业量。

群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。

7、课程考核方法与要求

本课程考核也以笔试为主，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。平时成绩占30%，期末成绩占70%。

二、教学内容纲要

    第一章  基本概念

    1、集合与映射：集合的概念及例子，集合的交运算、并运算、差运算、余运算的概念，各种运算满足的算律；幂集合，集合的笛卡尔积概念。映射的概念及例子，映射相等的概念，单射、满射和双射的概念及判断方法；映射的象、映射合成的概念及性质；可逆映射的概念，可逆映射与双射的关系定理；置换的概念及表示，置换的运算。

    2、代数系统：代数系统的概念，交换律的定义及性质，结合律的定义及性质，分配律的定义及性质，恒等元素及可逆元素的定义，代数系统的同态、同构定义及性质，单一同态和满同态的概念。

    3、等价关系及集合的分类：代数运算的概念及例子，结合法、二元关系的定义及例子；等价关系的定义及例子；集合分类的概念，等价关系及集合分类的关系定理；用等价关系进行集合分类的例子。

    第二章  群论

    1、群定义及其基本性质：半群定义及例子，半群中乘法运算基本性质，左(右)单位元及左(右)可逆元的定义，子半群概念，群的定义，群的等价定义及群的例子，子群概念，子群的判别法，生成子群概念，子群的例子，元素周期的定义及其基本性质，有限群  与无限群的定义，群的阶的概念。

    2、循环群与变换群、群的同构：循环群的概念及例子，群同构概念及例子，循环群的子群也是循环群的定  理，由已知群判断一个带有运算的集合为群的定理，变换群的概念，置换群及其运算。

    3、不变子群与商群：陪集的概念及例子，左(右)陪集的关系，子群关于群的指数的定义，Lagrange定理，不变子群的定义及例子，商群，不变子群的判别法。

    4、群的同态、同态基本定理：群同态的概念，单同态、满同态的例子，群同态映射的基本性质，同态映射的核的定义，群同态基本定理，一个群与其商群的子群对应关系定理。

    第三章  环与域

    1、环的定义及基本性质：环的定义，常见环的例子，环的简单运算性质，零因子的概念，消去律，几种特殊类型的环的概念，域的四则运算性质，四元数除环，子环的概念，生成子环的元素构成。

    2、理想与商环：理想子环概念，主理想子环，生成理想，商环(剩余类环)的定义及例子环同构的定义及例子，左(右)理想概念，域上n阶方阵环是单环定理，有单位元的环是除环的判别定理。

3、环的同态、同态基本定理：环的同态映射概念，单同态与满同态介绍，环的同态基本定理，环的三个同构定理，一个环与其商环的子环之间的对应关系定理。

第四章  整环里的因子分解

    1、分式环：整环的分式环的构造，挖补定理，分式环的定义，整环含于域中的定理。

    2、素理想与极大理想：素理想的概念及例子，交换环关于素理想的商环是整环的定理，极大理想的概念及例子，有单位元的可换环关于极大理想的商环是域的定理。

    3、单一分解环：因子、相伴、既约元的概念，相伴分解的概念，单一分解整环的概念，有单位元的环是单一分解环的充分必要条件，主理想整环与欧氏环的概念，主理想整环是单一分解环定理。

    4、单一分解环上的多项式环：本原多项式的概念，高斯引理，单一分解环上的多项式环也是单一分解环的定理。

        第五章  域的扩张

        最小子域的概念及其结构，域的特征概念，添加子集到域P产生的子域概念，单纯代数扩域和单纯超越扩域的定义，单纯扩域的结构定理，多项式的域的存在定理，有限扩域与代数扩域概念，代数闭域的存在定理介绍。