(文章)用角平分线构造全等三角形

   几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.

1．显“距离”, 用性质

  很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）

　　例1　三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？

    分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．

    已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在∠ACB的平分线上．

    证明：过点I作IH⊥AB,IG⊥AC,IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．

    ∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC

    ∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）

    同理  IH=IF    ∴IG=IF（等量代换）

    又IG⊥AC、IF⊥BC

    ∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．

例2 已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F．

求证：BP为∠MBN的平分线．

    【分析】要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线，故可过P作PE⊥AC于E．根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证．

    【证明】过P作PE⊥AC于E．

    ∵PA，PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线．且PD⊥BM，PF⊥BN

    ∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF

    又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上，

    即BP是∠MBN的平分线．

2.构距离,造全等

有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．

例3 △ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．

    解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．

    因为∠C=90°，AC=BC， 又DE⊥AB，∴DE=EB．

    ∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB， ∴CD=DE．

    由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED． ∴AC=AE．

    ∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB  =AE+EB  =AB．

例4 如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．

求证：AD=CD+AB．

    证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．

    ∵DM平分∠ADC，∠C=90°．

    MC=ME． 根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．

    同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD． 即AD=CD+AB．

3.巧翻折, 造全等

以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．

例5 如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．

    分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．

    证明：延长BA、CD交于点F

    ∵BD⊥CF（已知） ∴∠BDC=∠BDF=90°

    ∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠1=∠2

    在△BCD和△BFD中

    ∴△BCD≌△BFD（ASA）

    ∴CD=FD，  即CF=2CD

    ∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。∴∠1=∠3。

    在△ABE和△ACF中

    ∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF， ∴BE=2CD。

例6 如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由．

   【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法．

    1．可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等．（割）

    2．把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等．（补）

    证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF．在△ACE和△AFE中

    ∴△ACE≌△AFE（SAS）

∵,∴,又,∴∠6=∠D

在△EFB和△BDE中

    ∴△EFB≌△EDB（AAS） ∴FB=DB  ∴AC+BD=AF+FB=AB

    证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F

    ∠F=∠3

    在△AEF和△AEB中

    ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE

    在△BED和△FEC中

   ∴△BED≌△FEC（ASA） ∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．