分块矩阵的若干应用

摘 要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式. 

关键词： 分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组， 

Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix.

Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank

目  录

1  引言………………………………………………………………………………………………………4

2  分块矩阵的应用……………………………………………………………………………………4

2.1   利用分块矩阵求阶行列式………………………………………………………………4

2.2   利用分块矩阵求矩阵的逆…………………………………………………………………6

2.3   利用分块矩阵解非齐次线性方程组…………………………………………………10

2.4   利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质…………………………………………………11

结论…………………………………………………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………………………………………14

致谢…………………………………………………………………………………………………………15

1 引言

矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块.分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.

矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用.

2  分块矩阵的应用

行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.级行列式一共有项,计算它就需要做个乘法.当较大时,是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法.

2.1  利用分块矩阵求阶行列式

    各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算阶行列式.常用的技巧有递推法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算级行列式的一种方法,该方法使阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以分块矩阵为例.

命题1 设阶行列式分块为,则

（1）当为阶可逆矩阵时,;

（2）当为阶可逆矩阵时,.

证明 （1）由=,

得.

（2）由=,

得.

推论1 设都是阶方阵,且可逆,则,. 

推论2 设都是阶方阵,则有.

证明 .

推论3 设都是阶方阵,则当时,有, 

当时,有.

例1 计算行列式,其中.

解 设, , , .

则,故为可逆矩阵,且,

得.

注 这里并不需要的条件.在使用定理来计算阶行列式时,关键是对矩阵进行分块,构造出可逆矩阵或.

例2 求矩阵的行列式.

解 设,则,且,故可逆.

得 16.

当我们看到这道题时,首先想到的是消去法,用这种方法解级数较高的矩阵计算量很大.但当我们观察到矩阵是有若干相同的矩阵构成时,用分块矩阵的方法是很简单的.

例3 计算行列式.

解 设,.

得.

这道题看似简单,但是如果方法选择不当,做起来并不简单.这里对矩阵进行分块,大大降低了计算量.在利用分块矩阵计算阶行列式时,需要根据具体情况把原行列式的元素组成的矩阵分成若干项,它需要学生具有较强的观察能力,这种方法特别能锻炼学生的思维,提高学生分析问题和解决问题的能力,增强其探究意识.

2.2  利用分块矩阵求矩阵的逆

阶可逆矩阵的逆矩阵求解普遍采取初等变换的方法.除此之外,用分块矩阵来求逆矩阵也是很简单的方法.

命题1  是一个分块矩阵,其中分别是阶可逆矩阵,则的逆矩阵为.

证明 由

得=.

推论1是一个分块矩阵,其中分别是阶可逆矩阵,则=.

命题2是一个分块矩阵, 其中分别是阶可逆矩阵,则=.

证明 由,

得=.

推论2是一个分块矩阵,其中分别是阶可逆矩阵,则.

推论3是一个分块矩阵,其中分别是阶可逆矩阵,则.

推论4是一个分块矩阵,其中分别是阶可逆矩阵,则.

例4 已知,求.

解 令,则,

得 .

例5 已知,求．

解 设, , ,

则,且, , ,

所以．

求矩阵的逆可以用伴随矩阵,初等变换等方法来解决,而这些方法对级数较高的矩阵运算量较大,对某此矩阵进行适当的分块再进行运算,可起到事半功倍的作用.

定理3阶方阵,其中分别是阶矩阵,则有

（1）当可逆时,则;

（2）当可逆时,则;

（3）当可逆时,则;

（4）当可逆时,则.

证明 （1）由题意可知分块矩阵可逆,且方阵可逆.

因为,且上式的右端仍可逆,故存在.

由定理2的推论2知,

所以有

          .

例6 求矩阵的逆矩阵,其中.

解 设,则.

又有

,故.

由,得.

    有些矩阵阶数较高,而且形如:, , , , ,的分块矩阵,用分块矩阵来求逆较方便,可简化计算.

2.3  利用分块矩阵解非齐次线性方程组

设非齐次线性方程组为（1）,将（1）式写成矩阵方程为,其中为系数矩阵, ,.若是非奇异阵,即,则方程组有唯一确定的解.将矩阵分块,得,且是非奇异矩阵.同时将及进行相应的分块,令, ,的行数等于的行数,的行数等于的行数.则（1）可写成（2）,将（2）式两端分别左乘上三角分块矩阵,其中分别为的行数,则得由于的逆矩阵存在,故.再将代入,得,由此得.

例7 求解方程组

解 将方程写成矩阵方程的形式,并进行分块.令

, , , ,

, , 得.

且易得, , ,

, ,即得原方程组有唯一解.

    我们看到,采用分块矩阵解法后,非齐次线性方程组的解向量的求得、基础解系的构成以及通解的表示都显得更加直观,解题步骤更加简练,从而有利于学生从更高起点去理解线性方程组的结构及存在性,也有利于加深对矩阵理论及其应用的认识.

2.4  利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质

关于矩阵的秩的一些性质的证明,一般有联系到齐次线性方程组的基础解系来证明的,有用矩阵的初等变换或高阶矩阵来证明.下面我们将充分利用分块矩阵来证明这些性质.这种方法带有一定的技能性,但并不难掌握.特别的是这种证法与其他方法比较,不仅证明本身显得非常简洁,而且也很统一,具有较大的优越性.

定理1 设是阶矩阵,则.

证明设,,

则

所以.

易见,当时,等号成立,即.

定理2 设是矩阵,是矩阵.若,则有.

证明

.

定理3 设分别是,阶矩阵,则.

    证明 对矩阵进行广义初等变换, 

则.

而,所以.

综上可知,利用分块矩阵来证明矩阵秩的不等式,思路清晰流畅,充分展示了分块矩阵的优越性,因此是一种值得重视的好方法.

结论

矩阵是高等代数中的一个重要内容,也是高等数学的很多分支研究问题的工具.有时,为了研究问题的需要,适当地对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的,这样可以使矩阵的结构看的更清楚,使大量的高等代数的习题变得容易.分块矩阵是矩阵的一种推广,一般矩阵的元素是数量,而分块矩阵的元素可以是数量,也可以是矩阵.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利,解决问题的作用更强有力,其应用也就更广泛.本文主要研究分块矩阵在计算行列式、求矩阵的秩、求可逆矩阵的逆矩阵、证明矩阵的秩的一些性质等方面的应用.

本文是对分块矩阵几个应用方面的说明及例子,可以让人对分块矩阵这一工具的实用价值的有所认识和了解,它既是一种解题的方法又是一种解题技巧,但它的应用并不仅仅是所列举的几个方面,它还有更宽更广的应用还有待于我们去深入的探索与深究.

参考文献

[1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003:46-47.

[2] 廖军.分块矩阵求阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校学报,2004,17(2):1-168.

[3] 王丽霞.逆矩阵的几种求法[J].雁北师范学报,2007,23(2):82-84.

[4] 刘红旭.利用分块矩阵解非齐次线性方程组[J].辽宁师专学报,2003,5(2):9-10.

[5] 常训.用分块矩阵证明矩阵秩的不等式[J].菏泽师专学报,1995,2(2):7-11.

致 谢

本学位论文是在我的指导老师何梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的,在这里请接受我诚挚的谢意！