S算子的物理含义与连续过程的数学分析方法

若将实变量t的函数f(t),乘以指数函数（其中，是一个复变量)，对其在区间进行积分，就得到一个新函数F(s)，即

拉普拉斯变换定义成立条件是等号右边的积分存在（收敛）。拉普拉斯变换的结果F（s）是复变量s的函数。可见，拉普拉斯变换是将实变量函数f（t）转变为复变量函数F（s）。 拉普拉斯变换是一种单值变换。即f（t）和F（s）之间具有一一对应的关系。通常称f（t）为原函数,F(s)为象函数。 由拉普拉斯变换的定义式可以从已知的原函数求取对应的象函数。

f（t）的拉普拉斯变换为F（s），它把f（t）变换为复变函数F(s)，t是实数，而s是复数，在中s称为“复频率”，s不仅能够给出震荡的频率，还可以表示震荡幅度的增长或衰减的速率。

连续过程的数学分析方法

拉普拉斯变换是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时频域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解。

利用拉普拉斯变换球线性系统的响应是，需要首先描述系统的输入输出关系的微分方程进行拉普拉斯变换，得到一个复频域的代数方程，再经过拉普拉斯逆变换可以方便求得输入响应，零状态响应和全响应的时域解。