北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定重难点题型总结

【题型1  菱形的性质（求角度）】

【例1】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（　　）

A．20°    B．25°    C．30°    D．35°

【变式1-1】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC的大小为（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．75°

【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC为　    　°．

【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的大小是　  　．

【题型2  菱形的性质（求长度）】

【例2】如图，在菱形ABCD中，BC＝10，点E在BD上，F为AD的中点，FE⊥BD，垂足为E，EF＝4，则BD长为（　　）

A．8    B．10    C．12    D．16

【变式2-1】如图四边形ABCD为菱形，点E为BC的中点，点F在CD上，若∠DAB＝60°，∠DFA＝2∠EAB，AD＝4，则CF的长为（　　）

A．    B．    C．    D．

【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，AB＝13cm，AC＝24cm，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为　  　cm．

【变式2-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE＝DF，BF与DE交于点G，若BG＝3，DG＝5，则CD＝　  　．

【题型3  菱形的性质（等积法）】

【例3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（　　）

A．5    B．    C．    D．

【变式3-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为　  　．

【变式3-3】如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AB＝3，点E在BC上，且BE＝2EC，BF⊥AE，垂足为F，则BF的值为　   　．

【题型4  菱形的判定（选择条件）】

【例4】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（　　）

A．∠AOB＝60°    B．AC⊥BD    C．AC＝BD    D．AB⊥BC

【变式4-1】已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（　　）

A．①③    B．②③    C．③④    D．①②③

【变式4-2】如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（　　）

A．OMAC    B．MB＝MO    C．BD⊥AC    D．∠AMB＝∠CND

【变式4-3】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；

②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；

③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；

④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．

其中，正确的有　   　．（只填写序号）

【题型5  菱形的判定（证明题）】

【例5】如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．

【变式5-2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．

（1）求证：OEAC；

（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．

【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．

（1）求证△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．

【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝　  　°时，四边形BECD是菱形．

【题型6  菱形的判定与性质综合（最值问题）】

【例6】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）

A．    B．3+3    C．6    D．

【变式6-1】如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（　　）

A．4    B．4    C．2+2    D．6

【变式6-2】如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于　   　．

【变式6-3】如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

【题型7  菱形的判定与性质综合（多结论问题）】

【例7】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，ADAC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：

①CN⊥BD；

②MN＝NP；

③四边形MNCP是菱形；

④ND平分∠PNM．

其中正确的有（　　）

A．1 个    B．2 个    C．3 个    D．4 个

【变式7-1】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（　　）

①EG＝EF；

②△EFG≌△GBE；

③FB平分∠EFG；

④EA平分∠GEF；

⑤四边形BEFG是菱形．

A．③⑤    B．①②④    C．①②③④    D．①②③④⑤

【变式7-2】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DEDC；⑥BF＝BC，正确结论的有（　　）个．

A．1    B．2    C．3    D．4

【变式7-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE的大小为定值．其中结论正确的是（　　）

A．①②③    B．①②④    C．①③④    D．②③④

【题型8  菱形的判定与性质综合（动点问题）】

【例8】如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【变式8-1】如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，E是线段OC上一动点，F是射线AD上一动点，若∠BEF＝120°，则在点E运动的过程中，EF长度为整数的个数有（　　）

A．6个    B．5个    C．4个    D．3个

【变式8-2】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．

（1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【变式8-3】如图1，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的动点．

（1）当AD＝AE时，OE＝1，OD＝5，求菱形ABCD的面积；

（2）如图2，当OE＝OD时，过点A作CD的垂线，垂足为F，交ED延长线于点G，求证：GEAO．