湖北省宜昌十六中九年级(上)期中数学试卷(解析版)

一、选择题（本大题共15小题，每题3分，计45分）

1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x+1=0    B．y2+x=1    C．x2+1=0    D． x2=1

2．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　）

A．1    B．﹣1    C．0    D．无法确定

3．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．如图，△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=30°，则∠α的度数是（　　）

A．20°    B．30°    C．40°    D．50°

5．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a＞﹣5    B．a＞﹣5且a≠﹣1    C．a＜﹣5    D．a≥﹣5且a≠﹣1

6．在平面直角坐标系内，点P（﹣5，2）关于原点的对称点Q的坐标为（　　）

A．（5，﹣2）    B．（5，2）    C．（2，﹣5）    D．（﹣5，﹣2）

7．把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（　　）

A．是中心对称图形，不是轴对称图形

B．是轴对称图形，不是中心对称图形

C．既是中心对称图形，又是轴对称图形

D．以上都不正确

8．如图的图案是由一个菱形通过旋转得到的，每次旋转角度是（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

9．抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为 y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（　　）

A．b=2，c=2    B．b=﹣3，c=2    C．b=﹣2，c=﹣1    D．b=2，c=0

10．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　）

A．30，2    B．60，2    C．60，    D．60，

11．已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）

A．13    B．11或13    C．11    D．12

12．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）

A．2014    B．2015    C．2016    D．2017

13．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

14．制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为（　　）

A．2 0%    B．15%    C．10%    D．5%

15．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0②b2=4ac③4a﹣2b+c＞0④3a+c＞0⑤ax2+bx＜a+b其中正确的结论有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

二、解答题（本大题共有9小题，计75分）

16．用合适的方法解一元二次方程：（x+1）（x﹣2）=4．

17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（5，2）．将△ABC绕着点A按逆时针方向旋转90度得到△A1B1C1

（1）请画出△A1B1C1；

（2）写出点B1、C1的坐标．

18．已知二次函数y=x2﹣2mx+m﹣1

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．

19．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．

（1）若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

（2）能围成面积比45m2更大的花圃吗？若能，请求出最大面积，并说明围法，若不能，请说明理由．

20．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示．

（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？

（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？

21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，

（1）求∠BAE的值（用α表示）；

（2）若∠BCD=150°，∠ABD=60°，判断△ABD的形状并加以证明．

22．宜昌市一中因扩招学生人数持续增加，2016年学生人数比2015年增加了a%，预计2017年学生人数比2016年多了400人，这样2017年学生人数就比2015年增加了2a%；

（1）求2016年学生人数比2015年多多少人？

（2）由于教学楼新建，2017年的教室总面积比2015年增加了2.5a%，因而2017年每个学生人平均面积比2015年增加了，达到了a平方米，求该校2017的教室总面积．

23．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的关系并证明．

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角，（0＜β＜180），如图2，连接AG，CE相交于点M，连接BM，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化，若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM和BN的数量关系　　．

24．已知抛物线y=2x2﹣4x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N．

（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（　　，　　），N（　　，　　）；

（2）如图1，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

（3）在抛物线y=2x2﹣4x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

2017-2018学年湖北省宜昌十六中九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共15小题，每题3分，计45分）

1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x+1=0    B．y2+x=1    C．x2+1=0    D． x2=1

【考点】A1：一元二次方程的定义．

【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．

【解答】解：A、2x+1=0未知数的最高次数是1，故错误；

B、y2+x=1含有两个未知数，故错误；

C、x2+1=0是一元二次方程，正确；

D、是分式方程，故错误．

故选C．

2．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　）

A．1    B．﹣1    C．0    D．无法确定

【考点】A3：一元二次方程的解；A1：一元二次方程的定义．

【分析】把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．

【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，

解得：m=﹣1．

故选B．

3．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】R1：生活中的旋转现象；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和图形特点求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．

故选：B．

4．如图，△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=30°，则∠α的度数是（　　）

A．20°    B．30°    C．40°    D．50°

【考点】R2：旋转的性质．

【分析】由旋转的性质可知：∠D=∠A=110°，在△COD中依据三角形内角和定理可求得∠COD的度数，最后依据∠α=70°﹣∠COD求解即可．

【解答】解：由旋转的性质可知：∠D=∠A=110．

在△COD中，∠COD=180°﹣∠C﹣∠D=40°．

∠α=70°﹣∠COD=70°﹣40°=30°．

故选：B．

5．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a＞﹣5    B．a＞﹣5且a≠﹣1    C．a＜﹣5    D．a≥﹣5且a≠﹣1

【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．

【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，方程x2﹣x+a=0有两个不相等的实数根，方程必须满足△=b2﹣4ac＞0，即可求得．

【解答】解：x的一元二次方程（a+1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=16+4a+4＞0，

解得a＞﹣5

∵a+1≠0

∴a≠﹣1．

故选B．

6．在平面直角坐标系内，点P（﹣5，2）关于原点的对称点Q的坐标为（　　）

A．（5，﹣2）    B．（5，2）    C．（2，﹣5）    D．（﹣5，﹣2）

【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．

【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

【解答】解：由题意，得

P（﹣5，2）关于原点的对称点Q的坐标为（5，﹣2），

故选：A．

7．把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（　　）

A．是中心对称图形，不是轴对称图形

B．是轴对称图形，不是中心对称图形

C．既是中心对称图形，又是轴对称图形

D．以上都不正确

【考点】R5：中心对称图形；KH：等腰三角形的性质；P3：轴对称图形；PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】先判断出四边形ABDC是菱形，然后根据菱形的对称性解答．

【解答】解：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，

∴四边形ABDC是菱形，

∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，

∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．

故选C．

8．如图的图案是由一个菱形通过旋转得到的，每次旋转角度是（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

【考点】R9：利用旋转设计图案．

【分析】根据所给出的图，6个角正好构成一个周角，且6个角都相等，则每次旋转60°．

【解答】解：设每次旋转角度x°，

则6x=360，解得x=60，

每次旋转角度是60°．

故选：C．

9．抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为 y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（　　）

A．b=2，c=2    B．b=﹣3，c=2    C．b=﹣2，c=﹣1    D．b=2，c=0

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．

【解答】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4），

∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），

设原抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x，

∴b=2，c=0．

故选D．

10．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　）

A．30，2    B．60，2    C．60，    D．60，

【考点】R2：旋转的性质；KO：含30度角的直角三角形．

【分析】先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，

∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，

∵△EDC是△ABC旋转而成，

∴BC=CD=BD=AB=2，

∵∠B=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BCD=60°，

∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∵BD=AB=2，

∴DF是△ABC的中位线，

∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，

∴S阴影=DF×CF=×=．

故选C．

11．已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）

A．13    B．11或13    C．11    D．12

【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．

【分析】由一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案．

【解答】解：∵x2﹣8x+15=0，

∴（x﹣3）（x﹣5）=0，

∴x﹣3=0或x﹣5=0，

即x1=3，x2=5，

∵一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，

∴当底边长和腰长分别为3和5时，3+3＞5，

∴△ABC的周长为：3+3+5=11；

∴当底边长和腰长分别为5和3时，3+5＞5，

∴△ABC的周长为：3+5+5=13；

∴△ABC的周长为：11或13．

故选B．

12．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）

A．2014    B．2015    C．2016    D．2017

【考点】AB：根与系数的关系．

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2016=0，即a2=﹣a+2016，则a2+2a+b可化简为a+b+2016，再根据根与系数的关系得a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的实数根，

∴a2+a﹣2016=0，

∴a2=﹣a+2016，

∴a2+2a+b=﹣a+2016+2a+b=a+b+2016，

∵a、b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，

∴a+b=﹣1，

∴a2+2a+b=﹣1+2016=2015．

故选B．

13．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】H2：二次函数的图象；F3：一次函数的图象．

【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．

【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），

∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；

当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；

当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；

故选：D．

14．制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为（　　）

A．2 0%    B．15%    C．10%    D．5%

【考点】AD：一元二次方程的应用．

【分析】设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1﹣x）元，再经过一次下降后成本变为100（1﹣x）（1﹣x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．

【解答】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得：

100（1﹣x）（1﹣x）=81，

解得：x=0.1或1.9（不合题意，舍去）

即：x=10%

故选：C．

15．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0②b2=4ac③4a﹣2b+c＞0④3a+c＞0⑤ax2+bx＜a+b其中正确的结论有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=1计算2a+b与偶的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：∵从图象可知：a＞0，c=0，﹣=1，b=﹣2a＜0，

∴abc=0，∴①错误；

∵图象和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴b2＞4ac，∴②错误；

∵把x=﹣2代入y=ax2+bx+c得：y=4a﹣2b+c＞0，

∴③正确；

∵x=﹣1时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确；

∵对称轴为x=1，

∴当x=1时，抛物线有最小值，

∴a+b+c≤ax2+bx+c，

∴ax2+bx＞a+b，∴⑤错误；

故选A．

二、解答题（本大题共有9小题，计75分）

16．用合适的方法解一元二次方程：（x+1）（x﹣2）=4．

【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】整理成一般式后利用因式分解法求解可得．

【解答】解：原方程整理可得：x2﹣x﹣6=0，

左边因式分解可得（x+2）（x﹣3）=0，

则x+2=0或x﹣3=0，

解得：x=﹣2或x=3．

17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（5，2）．将△ABC绕着点A按逆时针方向旋转90度得到△A1B1C1

（1）请画出△A1B1C1；

（2）写出点B1、C1的坐标．

【考点】R8：作图﹣旋转变换．

【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C1即可；

（2）根据各点在坐标系中的位置写出点B1、C1的坐标即可．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）由图可知，B1（1，3），C1（﹣1，3）．

18．已知二次函数y=x2﹣2mx+m﹣1

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．

【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；

（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．

【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），

∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m﹣1，得出：m﹣1=0，

解得：m=1，

∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x；

（2）∵m=2，

∴二次函数y=x2﹣2mx+m﹣1得：y=x2﹣4x+1=（x﹣4）2﹣7，

∴抛物线的顶点为：D（4，﹣7），

当x=0时，y=1，

∴C点坐标为：（0，1），

∴C（0，1）、D（4，﹣7）．

19．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．

（1）若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

（2）能围成面积比45m2更大的花圃吗？若能，请求出最大面积，并说明围法，若不能，请说明理由．

【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．

【分析】（1）设花圃的宽AB为xm，长就为（24﹣3x）m，根据矩形的面积公式列出方程，解方程得出x的值后根据墙的最大可用长度为10m取舍可得；

（2）设矩形花圃的面积为y，根据矩形的面积公式列出函数解析式，利用二次函数的性质结合自变量x的范围求出最大值即可得．

【解答】解：（1）设花圃的宽AB为xm，长就为（24﹣3x）m，由题意得

（24﹣3x）x=45，

解得：x=3或x=5，

当x=3时，24﹣3x=15＞10，舍去，

当x=5时，24﹣3x=9＜10，符合题意，

答：若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是5米；

（2）设矩形花圃的面积为y，

则y=x（24﹣3x）=﹣3x2+24x=﹣3（x﹣4）2+48，

∵24﹣3x≤10，

解得x≥，

∴当x＞4时，y随x的增大而减小，

∴当x=时，ymax=46，

答：能围成面积比45m2更大的花圃，当AB的长为时，面积最大，最大面积为46m2．

20．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示．

（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？

（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？

【考点】HE：二次函数的应用．

【分析】（1）可把y=2代入抛物线解析式，求得x的值，进而求得可通过隧道的物体的宽度，与汽车的宽比较，若大于则能通过；

（2）利用（1）得到的x的值，与汽车的宽度2比较，若大于则能通过．

【解答】解：（1）把y=4﹣2=2代入得：

2=﹣x2+4，

解得x=±2，

∴此时可通过物体的宽度为2﹣（﹣2）=4＞2，

∴能通过；

（2）∵一辆货运卡车高4m，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，

∴货车上面有2m，在矩形上面，当y=2时，

2=﹣x2+4，

解得x=±2，

∵2＞2，

∴能通过．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，

（1）求∠BAE的值（用α表示）；

（2）若∠BCD=150°，∠ABD=60°，判断△ABD的形状并加以证明．

【考点】R2：旋转的性质；KH：等腰三角形的性质；KM：等边三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接AE、CE，根据旋转可得出∠CBE=60°、BC=BE，结合等边三角形的判定即可得出△BCE为等边三角形，进而可得出BE=CE，由AB=AC和AE=AE利用全等三角形的判定定理SSS即可证出△ABE≌△ACE，再根据全等三角形的性质即可得出∠BAE=∠CAE=∠BAC，代入数据此题得解；

（2）△ABD为等边三角形．由等边三角形的性质可得出∠BEC=60°，由（1）△ABE≌△ACE结合角的计算可得出∠BEA=150°=∠BCD，再由∠CBE=60°=∠ABD即可得出∠ABE=∠DBC，利用全等三角形的判定定理ASA即可证出△ABE≌△DBC，即找出AB=DB，结合∠ABD=60°即可证出△ABD为等边三角形．

【解答】解：（1）连接AE、CE，如图1所示．

∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，

∴∠CBE=60°，BC=BE，

∴△BCE为等边三角形，

∴BE=CE．

在△ABE和△ACE中，，

∴△ABE≌△ACE（SSS），

∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=α．

（2）△ABD为等边三角形．

证明：∵△BCE为等边三角形，

∴∠BEC=60°．

∵△ABE≌△ACE，

∴∠BEA=∠CEA==150°，

又∵∠BCD=150°，

∴∠BEA=∠BCD．

∵∠CBE=60°，∠ABD=60°，

∴∠ABE+∠EBD=60°，∠EBD+∠DBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC．

在△ABE和△DBC中，，

∴△ABE≌△DBC（ASA），

∴AB=DB．

∵∠ABD=60°，

∴△ABD为等边三角形．

22．宜昌市一中因扩招学生人数持续增加，2016年学生人数比2015年增加了a%，预计2017年学生人数比2016年多了400人，这样2017年学生人数就比2015年增加了2a%；

（1）求2016年学生人数比2015年多多少人？

（2）由于教学楼新建，2017年的教室总面积比2015年增加了2.5a%，因而2017年每个学生人平均面积比2015年增加了，达到了a平方米，求该校2017的教室总面积．

【考点】AD：一元二次方程的应用．

【分析】（1）设2015年学生人数为x人，则2016年学生数为x（1+a%），则2017年学生数为x（1+2a%），根据2017年学生数比2016年多了400人建立方程求出其解即可；

（2）设2015年教室总面积为m平方米，则2017年的教室总面积为m（1+2.5a%）平方米，根据2017年每个学生人平均教室面积比2015年增加了、达到了a平方米，建立方程组求出其解即可．

【解答】解：（1）设2015年学生人数为x人，则2016年学生数为x（1+a%），则2017年学生数为x（1+2a%），

由题意，得：x（1+2a%）﹣x（1+a%）=400，

∴a%x=400．

∵2016年学生人数比2015年多的人数为：x（1+a%）﹣x=a%x=400，

答：2016年学生数比2015年多400人；

（2）设2015年教室总面积为m平方米，则2017年的教室总面积为m（1+2.5a%）平方米，

由题意，得，

解得：．

经检验，a=10，x=1000，m=1200都是原方程组的解．

∴该校2017年的教室总面积为：1200（1+2.5%×10）=1500平方米．

答：该校2013年的教室总面积为1500平方米．

23．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的关系并证明．

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角，（0＜β＜180），如图2，连接AG，CE相交于点M，连接BM，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化，若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM和BN的数量关系　CM=BN　．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；

（2）∠EMB的度数为45°，理由为：过B作BP⊥EC，BH⊥AM，利用SAS得出三角形ABG与三角形BEC全等，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线，再由∠BAG=∠BCE，及一对对顶角相等，得到∠AMC为直角，即∠AME为直角，利用角平分线定义即可得证；

（3）CM=BN，在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到BQ=BN，接下来证明BQ=CM，即要证明三角形ABQ与三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性质得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．

【解答】解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：

如图1，

∵正方形BEFG，正方形ABCD，

∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，

在△ABG和△BEC中，，

∴△ABG≌△BEC（SAS），

∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，

延长CE交AG于点M，

∴∠BEC=∠AEM，

∴∠ABC=∠AME=90°，

∴AG=EC，AG⊥EC；

（2）∠EMB的度数不发生变化，∠EMB的度数为45°，

理由为：

如图2，

过B作BP⊥EC，BH⊥AM，

在△ABG和△CEB中，

，

∴△ABG≌△CEB（SAS），

∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，

∴EC•BP=AG•BH，

∴BP=BH，

∴MB为∠EMG的平分线，

∵∠AMC=∠ABC=90°，

∴∠EMB=∠EMG=×90°=45°；

（3）CM=BN，

理由为：

如图3，

在NA上截取NQ=NB，连接BQ，

∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=BN，

∵∠AMN=45°，∠N=90°，

∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，

∴MN﹣BN=AN﹣NQ，即AQ=BM，

∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，

∴∠MBC=∠BAN，

在△ABQ和△BCM中，，

∴△ABQ≌△BCM（SAS），

∴CM=BQ，

则CM=BN．

故答案为：CM=BN．

24．已知抛物线y=2x2﹣4x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N．

（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（　1　，　a﹣2　），N（　a　，　﹣a　）；

（2）如图1，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

（3）在抛物线y=2x2﹣4x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）已知了抛物线的解析式，不难用公式法求出M的坐标为（1，a﹣1）．由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，a）．根据A，M的坐标，用待定系数法可得出直线AM的解析式为y=﹣2x+a．直线AM和y=x﹣a联立方程组即可求出N的坐标为（a，﹣a）．

（2）根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称，因此N′的坐标为（a，﹣a）．由于N′在抛物线上，因此将N′的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值．也就能确定N，C的坐标．求四边形ADCN的面积，可分成△ANC和△ADC两部分来求．已经求得了A，C，N的坐标，可求出AC的长以及N，D到y轴的距离．也就能求出△ANC和△ADC的面积，进而可求出四边形ADCN的面积．

（3）分两种情况进行讨论：

①当P在y轴左侧时，如果使以P，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形，那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC，也就是说，如果N点向上平移AC个单位即﹣2a后得到的点就是P点．然后将此时P的坐标代入抛物线中，如果没有解说明不存在这样的点P，如果能求出a的值，那么即可求出此时P的坐标．

②当P在y轴右侧时，P需要满足的条件是PN与AC应互相平分（平行四边形的对角线互相平分），那么NP必过原点，且关于原点对称．那么可得出此时P的坐标，然后代入抛物线的解析式中按①的方法求解即可

【解答】解：（1）∵抛物线y=2x2﹣4x+a=2（x﹣1）2+a﹣2，

∴M（1，a﹣2），A（0，a），

∴直线AM的解析式为y=﹣2x+a①，

∵直线y=x﹣a②与直线AM相交于点N．

联立①②得，N（a，﹣a）；

故答案为：1，a﹣2； a，﹣a；

（2）∵由题意得点N与点N′关于y轴对称，

∴N′（﹣a，﹣a）．

将N′的坐标代入y=2x2﹣4x+a得：

﹣a=2×a2﹣4×（﹣a）+a，

∴a1=0（不合题意，舍去），a2=﹣．

∴N（﹣3，），

∴点N到y轴的距离为3．

∵A（0，﹣），N'（3，），

∴直线AN'的解析式为y=2x﹣，它与x轴的交点为D（，0）

∴点D到y轴的距离为．

∴S四边形ADCN=S△ACN+S△ACD=××3+××=；

（3）存在，理由如下：

如图，

①当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PNAC，

∵AC=﹣2a，

∴把N向上平移﹣2a个单位得到P，坐标为（（a，﹣a），代入抛物线的解析式y=2x2﹣4x+a，

得：﹣a=a2﹣a+a，

解得a1=0（不舍题意，舍去），a2=﹣，

则P（﹣，）；

②当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，

则OA=OC，OP=ON．

则P与N关于原点对称，

则P（﹣a， a）；

将P点坐标代入抛物线解析式y=2x2﹣4x+a，

得： a=a2+a+a，

解得a1=0（不合题意，舍去），a2=﹣，

则P（，﹣）．

故存在这样的点P（﹣，）或（，﹣）．能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．