2021年中考数学 几何专题训练：矩形、菱形(含答案)

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是(　　)

2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(　　)

A. AB＝AD  B. AC⊥BD

C. AC＝BD  D. ∠BAC＝∠DAC

3. （2020·抚顺本溪辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（　　）

A．2                 B．               C．3              D．4

4. （2020·毕节）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF的长是（    ）

A．2.2 cm      B．2.3 cm      C．2.4 cm      D．2.5 cm

5. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．72    B．24    C．48    D．96

6. （2020·乐山）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于E，连接OA，则四边形AOED的周长为（     ）

    A．9＋2            B．9＋                C．7＋2            D．8

7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为(　　)

A. 2  B. 3  C.   D. 2

8. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（　　）

A．4∶1    B．5∶1    C．6∶1    D．7∶1

9. 如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为(　　)

A.      B. 2    C.     D. 4 

10. （2020·邵阳）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：

(1)将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处,

(2)将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于占M.

若P1M⊥AB,则∠DP1M的大小是（    ）

A.135°     B. 120°      C. 112.5°      D.115°

二、填空题（本大题共8道小题）

11. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是　　　　.(写出一个即可) 

12. 如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若MN=4，则AC的长为　　　　. 

13. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．

14. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为　　　　. 

图K24-8 

15. 如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为________cm.

16. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．

17. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 

18. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．

三、解答题（本大题共4道小题）

19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.

(1)求tan∠DBC的值；

(2)求证：四边形OBEC是矩形．

20. 如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．

21. 矩形中，将矩形沿对折，使点与重合，如图，求折痕的长

22. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AG＝6，EG＝2，求BE的长．

2021中考数学 几何专题训练：矩形、菱形-答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 【答案】C　【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质.  解题思路：设AC、BD交于点O，由于点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，所以0＜x＜2.当0＜x＜1时，△AMN∽△ABD⇒＝⇒＝⇒MN＝x⇒y＝x2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x＝0，此时y随x的增大而增大. 所以B和D均不符合条件．当1＜x＜2时，△CMN∽△CBD⇒＝⇒＝⇒MN＝2－x⇒y＝x(2－x)＝－x2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x＝1，此时y随x的增大而减小. 所以A不符合条件．综上所述，只有C是符合条件的． 

2. 【答案】C　【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C错误；由∠BAC＝∠DAC可得对角线是角平分线，所以D正确． 

3. 【答案】B

【解析】根据菱形对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再结合等腰三角形的性质及判定得出OE＝CE＝DE，从而求出．∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝AC＝4， OD＝BD＝3， AC⊥DB．∵OE＝CE，∴∠EOC＝OE∠DCO．∵∠DOE＋∠EOC＝∠ODC＋∠ECO＝90°，∴∠DOE＝∠ODC，∴OE＝DE，∴OE＝DC．在Rt△DOC中，CD＝＝5，∴OE＝DC＝．故选项B正确．

4. 【答案】D，

【解析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理．

解：矩形ABCD中，∵AB＝6cm，∴DC＝6cm，∵∠BCD＝90°，BC＝8cm，∴BD＝10． 

∵对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝BD＝5．∵点E，F分别是AO，AD的中点，∴EF＝2.5．故选D．

5. 【答案】 C

【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，

∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，

∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积．故选：C．

6. 【答案】B

【解析】由已知及菱形的性质求得∠ABD＝∠CDB＝30º，AO⊥BD，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形AOED的周长．∵四边形ABCD是菱形，O是对角线AC的中点，∴AO⊥BD，AD＝AB＝4，AB∥DC；∵∠BAD＝120º，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝30º；∵OE⊥DC，∴在Rt△AOD中，AD＝4，AO＝AD＝2，DO＝＝2；在Rt△DEO中，OE＝OD＝，DE＝＝3，∴四边形AOED的周长为AO＋OE＋DE＋AD＝2＋＋3＋4＝9＋．

7. 【答案】D　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝AC＝1，∴BO＝＝，∴BD＝2OB＝2. 

8. 【答案】B

【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sinα=，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B．

9. 【答案】A　【解析】如解图，由折叠的对称性可知，∠A＝∠J，∠C＝∠M，四边形MNJK和四边形BENF都是菱形，则BE＝NE，AE＝JE，∵菱形MNJK与菱形ABCD相似，且菱形MNJK的面积是菱形ABCD面积的，∴＝，∴＝，设JN＝a，EN＝b，则AB＝4a，∵AB＝AE＋EB＝EJ＋EN＝JN＋EN＋EN＝JN＋2EN＝a＋2b，∴a＋2b＝4a，∴a＝b，＝＝.

10. 【答案】 C

【解析】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、矩形的性质，由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解．

解：由折叠知，，

∴，即，

由折叠可得，

∴，

∴在中，，因此本题选C．

二、填空题（本大题共8道小题）

11. 【答案】AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等 

12. 【答案】16 

13. 【答案】3　【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD＝x，由题知，AB＝x＋2，又∵矩形ABCD的面积为15，则x(x＋2)＝15，得到x2＋2x－15＝0，解得，x1＝－5(舍) ,  x2＝3，∴AD＝3. 

14. 【答案】12　[解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a，b(b>a)，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12. 

15. 【答案】13　【解析】如解图，连接AC、BD交于O，则有AC·BD＝120，∴AC·BD＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA·2OB＝240，∴ OA·OB＝60，∵AE2＝50, OA2＋OE2＝ AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝＝＝13.

解图 

16. 【答案】(＋2，1)　【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于G，DF⊥x轴于F，∵在菱形BDCE中，BD＝CD，∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DF＝CG＝BC＝1，CF＝DG＝，∴OF＝＋2，∴D(＋2，1)．

解图 

17. 【答案】15　【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AC＝BD，又∵AB＝BA，∴△DAB≌△CBA(SSS)，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝15°.

解图 

18. 【答案】．思路如下：如图，等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长为．

三、解答题（本大题共4道小题）

19. 【答案】

(1)【思路分析】根据四边形ABCD是菱形，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，可求出∠DBC的度数，其正切值可求出．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∠DBC＝∠ABC，

∴∠ABC＋∠BAD＝180°，

又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，

∴∠ABC＝60°，(2分)

∴∠DBC＝∠ABC＝30°，

∴tan∠DBC＝tan30°＝.(3分)

(2)【思路分析】由BE∥AC，CE∥BD可知四边形BOCE是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE是矩形．

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，(4分)

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴BE∥OC，CE∥OB，

∴四边形OBEC是平行四边形，且∠BOC＝90°，

∴四边形OBEC是矩形．(5分)

(1)要求一个角的正切值，可通过相关计算先求得角的度数，再求其正切值，这种情况往往所求角度为特殊值；或者将该角置于直角三角形中，通过求直角三角形边长来，求其正切值．(2)矩形的判定：①平行四边形＋有一个角是直角；②平行四边形＋对角线相等；③四边形的三个角是直角． 

20. 【答案】

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，

在△ADF和△CDE中，，

∴△ADF≌△CDE(SAS)，

∴∠1=∠2．

21. 【答案】

【解析】设与交于点，根据条件，易求得，且是中点，由

        ，得，即，求得，所以

22. 【答案】

(1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF＝EF，DG＝EG，∠AFD＝∠AFE，再由EG∥DC，可得∠EGF＝∠AFD，从而得出EG＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；

证明：由折叠的性质可得，EF＝FD，∠AEF＝∠ADF＝90°，

解图

∠EFA＝∠DFA，EG＝GD.(1分)

∵EG∥DC，

∴∠DFA＝∠EGF，

∴∠EFA＝∠EGF，(2分)

∴EF＝EG＝FD＝GD，

∴四边形EFDG是菱形．(3分)

(2)【思路分析】由(1)可知EG＝EF，连接DE，则DE与GF相互垂直平分，证得Rt△FHE∽Rt△FEA，列比例式，结合FH＝GF得到EG、GF、AF的关系；

解：如解图，连接ED，交AF于点H，

∵四边形EFDG是菱形，

∴DE⊥AF，FH＝GH＝GF，EH＝DH＝DE.(4分)

∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，

∴Rt△FEH∽Rt△FAE，

∴＝，即EF2＝FH·AF，

∴EG2＝GF·AF.(5分)

(3)【思路分析】把AG，EG代入(2)中的关系式，求得GF，AF的值，根据勾股定理求得AD，DE，再证Rt△ADF∽Rt△DCE，可求出EC，从而可求出BE的值．

解：∵AG＝6，EG＝2，EG2＝GF·AF，

∴(2)2＝(6＋GF)·GF，

∴GF＝4，

∴AF＝10.(6分)

∵DF＝EG＝2，

∴AD＝BC＝＝4，

DE＝2EH＝2＝8.(7分)

∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，

∴∠CDE＝∠DAF，

∴Rt△ADF∽Rt△DCE，(8分)

∴＝，

即＝，

∴EC＝，

∴BE＝BC－EC＝AD－EC＝4－＝.(9分)