高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》基础测试题及答案

一、选择题

1．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≥⎩

，则24x y --的最小值为（ ）

A

．

85

5

B ．8

C ．

165

15

D ．

163

【答案】D 【解析】 【分析】

2

2

24

24512

x y x y ----=⨯

+，而

2

2

24

12

x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距

离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】

因为2

2

2424512

x y x y ----=⨯

+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线

240x y --=的距离的5倍，如图所示，

点44(,)33

A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时

22

44243335

12d -⨯-=

=

+

所以24x y --1653

d =. 故选：D. 【点睛】

本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.

2．设a b c ，为非零实数，且a c b c >>，则（ ）

B ．2ab c >

C ．

a b

2

c +> D ．

112a b c

+> 【答案】C 【解析】 【分析】

取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】

,a c b c >>，故2a b c +>，

2

a b

c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】

本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.

3．若直线过点

，则

的最小值等于（ ）

A ．5

B ．

C ．6

D ．

【答案】C 【解析】∵直线过点

，∴

，∴

，

∵

，∴

，

，

，

当且仅当

时，等号成立，故选C.

点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

4．若33

log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）

A ．6

B ．83

C ．

163

D ．

173

【答案】C 【解析】 【分析】

由33

log (2)1log

a b ab +=+21

3b a

+=，且0,0a b >>，又由

12142(42)3a b a b b a ⎛⎫

+=++ ⎪⎝⎭

，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.

【详解】

因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，

所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21

3b a

+=，且0,0a b >>，

所以121182112(42)()(8)(83333

a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a

=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.

5．若实数,x y 满足不等式组2,

36,0,x y x y x y +≥⎧⎪

-≤⎨⎪-≥⎩

则3x y +的最小值等于（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【答案】A 【解析】 【分析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】

解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪

-≤⎨⎪-≥⎩

表示的平面区域（如图示：阴影部分）

由200

x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ， 由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小，

所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．

【点睛】

本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．

6．设x ，y 满足约束条件21210

x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩

，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80

C ．90

D ．120

【答案】B 【解析】 【分析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

32z x y =-+，即322

z

y x =

+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.

52x x ⎛ ⎝展开式的通项为：()()35552155221r

r r r r r r r T C x C x

x ---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝， 取2r =得到2x 项的系数为：()2

2

5252180C -⋅⋅-=.

故选：B .

【点睛】

本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

7．若,x y 满足约束条件360601

x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩

，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )

A ．

116

B ．

18

C ．1

D ．2

【答案】A 【解析】 【分析】

画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】

由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≥⎩

所表示的可行域，如图所示，

其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，

因为1222y

x

x y -⎛⎫

⋅= ⎪⎝⎭

，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，

所以z 的最小值为min 314z =--=-，

则1222y

x x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭

的最小值为4

1216-=. 故选：A ．

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．

8．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足

15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）

A ．[3,3]；

B ．(,3]-∞

C ．3,)

+∞

D ．(,3]3,)-∞-⋃+∞

【答案】D 【解析】 【分析】

由等差数列的前n 项和公式转化条件得1

1322

a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】

Q 数列{}n a 为等差数列，

∴15154

55102

a d d S a ⨯=+

=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得1

1322

a d a =--， 当10a >时，111

11133323222222a a a d a a a ⎛⎫=--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭

13a 时等号成立； 当10a <时，1

1113332222a a d a a ⎛⎫⎛⎫=--≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭13a =-立；

∴实数d 的取值范围为(,3]3,)-∞⋃+∞.

故选：D. 【点睛】

本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档

题.

9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪

≥-⎨⎪≤⎩

表示的平面区域的面积为9，若点

， 则

的最大值为（ ）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：

则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1

292

S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，

由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.

10．已知函数(

))

2

log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足

()()310f a f b +-=，则31

a b

+的最小值为（ ）

A ．6

B ．8

C ．12

D ．24

【答案】C 【解析】 【分析】

先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】

0,x x x x ≥-=所以定义域为R ，

因为(

)2log f x =，所以()f x 为减函数 因为(

)2

log f x =，(

))

2

log f x x -=,所以

()()()f x f x f x =--，为奇函数，

因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，即31a b +=， 所以

()3131936b a a b a b a b a b

⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，

因为

96b a a b +≥=， 所以

3112a b +≥（当且仅当12a =，1

6b =时，等号成立），选C. 【点睛】

本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

11．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则26

3

n n S a ++的最小值为（ ）

A ．4

B ．3

C

．2

D ．2

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意得2

(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，

从而可得26

3

n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．

【详解】

解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，

2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），

21n a n ∴=-，

2(121)

2

n n n S n +-∴=

=， ∴()()2

2211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则

24

22223n n S t t a t t

+=+-≥⋅-=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴26

3

n n S a ++的最小值为2．

故选：D ． 【点睛】

本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．

12．若，

，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：用特殊值法，令

，

，

得

，选项A 错误，

，选项B 错误，

，选项D 错误，

因为

选

项C 正确，故选C ． 【考点】

指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】

比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

13．抛物线

的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满

足23

AFB π

∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）

A 3

B 3

C 3

D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M

是AB 中点，所以111

()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中

222

AB AF BF =+22cos

3

AF BF π-22

AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2

AF BF +-2

3()4AF BF =+，所以

2

2

()43AF BF AB

+≤

，即23AF BF AB +≤，所以3

MN AB ≤，故选B ．

考点：抛物线的性质． 【名师点晴】

在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．

14．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11

122x y x y

+=-+，则x y +的最小值为

（ ）.

A ．

33

5+ B ．

423

5

+ C ．243

5

+ D ．

343

5

+ 【答案】B

【解析】 【分析】

令22x y m x y n

-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本

不等式即可得x y +的最小值. 【详解】

20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，

令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得25

25m n x n m

y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=，

223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫

⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

13113(455n m m n ⎛⎫=⨯+++≥⨯+ ⎪⎝⎭

45

+=当且仅当3n m

m n

=

，即m =

，即22)x y x y -=+

即x y =

=

. 故选：B . 【点睛】

本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.

15．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有

()()

1212

0f x f x x x -<-，且函数

(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式

()()222323f s s f s s -+--+…，则s 的取值范围是（ ）

A ．13,2⎡⎫--

⎪⎢⎣⎭

B ．[3,2]--

C ．[2,3)-

D ．[3,2]-

【答案】D 【解析】 【分析】

由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于

()()222323f s s f s s -+-+-…，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求

出s 的取值范围. 【详解】

解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有

()()

1

212

0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；

又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则(

)(

)(

)

2

2

2

232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以

222323s s s s -+≥-+-，

整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】

本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.

16．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ） A ．

18

B ．

17

C ．

16

D ．

15

【答案】A 【解析】 【分析】

根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】

若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.

如图，40

0101

n m m n -≥⎧⎪

≤≤⎨⎪≤≤⎩

表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，

即111124118

S P S ⨯⨯==

=⨯阴影

正方形

.

故选：A .

【点睛】

本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.

17．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ）

A ．log 3log 3a b >

B ．336a b +>

C ．133ab a b ++>

D ．b a a b > 【答案】B

【解析】

【分析】

举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立.

【详解】

当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =;

因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，

综上选B.

【点睛】

本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.

18．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ）

A ．1(1,)2-

B ．1(,1)(,)2-∞-+∞U

C ．1(,1)2-

D ．1(,)(1,)2

-∞-⋃+∞ 【答案】B

【解析】

【分析】

判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()

()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．

【详解】

解：函数()sin2x x f x e e x -=-+，定义域为R ，

且满足()()sin 2x x f x e e x --=-+- ()()sin2x x e e x f x -=--+=-，

∴()f x 为R 上的奇函数；

又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立，

∴()f x 为R 上的单调增函数；

又(

)()2210f x f x -+>， 得()()()221f x f x f x ->-=-，

∴221x x ->-，

即2210x x +->，

解得1x <-或12x >， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭

． 故选B ．

【点睛】

本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．

19．设集合{}20,201x M x

N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<

B ．{}01x x <<

C ．{}02x x ≤<

D ．{}

02x x << 【答案】B

【解析】

【分析】

根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合{}

20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}

01M N x x ⋂=<<.

故选：B .

【点睛】

本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.

20．设实数满足条件则

的最大值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

，即，表示直线在轴的截距加上1，

根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.