2022-2023学年北京市海淀区北京第一零一中学高二上学期期中考试数学试卷含详解

高二数学

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

命题：高二数学备课组审稿：贺丽珍

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.直线0x y +=的倾斜角为（）

A.45︒

B.60︒

C.90︒

D.135︒

2.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）

A.22(2)5x y ++=

B.22(2)5

x y +-=C.22(2)5x y -+= D.22(2)5

x y ++=3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,DA a DC b DD c === ，则与向量1D B

相等的是（）

A.a b c +-

B.a b c ++

C.a b c -+

D.a b c

-- 4.已知直线:20l x ay ++=，点()1,1A --和点()2,2B ，若//l AB ，则实数a 的值为（）

A.1

B.1-

C.2

D.2

-5.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）

A.20x y --=

B.20

x y +-=C .0x y -= D.0

x y +=6.如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E ，F ，G ，H 分别是棱A 1B 1，BB 1，CC 1，C 1D 1的中点，则必有（）

A.BD 1∥GH

B.BD ∥EF

C.平面EFGH ∥平面ABCD

D.平面EFGH ∥平面A 1BCD 1

7.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8.已知正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论：

①直线1BC 与1DA 所成的角为90 ；

②直线1BC 与1CA 所成的角为90 ；

③直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45 ；

④直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45 .

其中，正确结论的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4

9.设,m n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（

）

A.(,2-∞-

B.)2∞

⎡++⎣

C.22⎡-+⎣

D.[(),22∞∞--⋃++10.在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B=f π（A ）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α（P ）]，Q 2=f α[f β（P ）]，恒有PQ 1=PQ 2，则（

）A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.直线2y x =与直线21y x =+之间的距离等于__________.

12.若点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,4)C 三点共线，则a 的值等于______.

13.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,M N 分别为棱1,BB AB 的中点，则三棱锥11A

D MN -的体积为__________.

14.已知直线:0-+=l kx y k ，若直线l 与圆:C 222430x x y y -+-+=在第一象限内的部分有公共点，则k 的取值范围是__________.

15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为.

16.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，则称点(),x y 是整点.已知直线:l y kx b =+，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线l ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②若k 和b 都是无理数，则直线l 不经过任何整点；

③存在只经过一个整点的直线l ；

④存在只经过两个不同整点的直线l .

三､解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

17.如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面,////,,ABCD AD BC FE AB AD M ⊥为EC 的中点，12

AF AB BC FE AD ====.

（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小；

（2）求平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值.

18.已知直线l 经过两条直线1:3420l x y +-=和2:220l x y ++=的交点.

（1）若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程；

（2）若直线l 与圆22:(1)(1)25C x y -+-=相交所得弦长为8，求直线l 的方程.

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，

120,1,,ABC AB PA PD CD PB BD ∠===⊥⊥ ，点N 在棱PC 上.

条件①：2BC =；

条件②：平面PBD ⊥平面ABCD .

从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：

（1）判断AB 与PB 是否垂直，并证明；

（2）若点N 为棱PC 的中点，点M 在直线AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为

5，求线段BM 的长.（3）求直线AC 与平面BDN 所成角的正弦值的取值范围.

注：若选择①和②分别作答，按选择①给分.

20.对于平面直角坐标系中的两点()()1122,,,A x y B x y ，现定义由点A 到点B 的“折线距离”(),A B ρ为

()2121,A B x x y y ρ=-+-.

（1）已知()()1,0,2,3A B ，求(),A B ρ；

（2）已知点(

)1,0A ，点B 是直线:20l x -+=上的一个动点，求(),A B ρ的最小值；（3）对平面上给定的两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，是否存在点(),C x y ，同时满足

①()()(),,,;A C C B A B ρρρ+=②()(),,A C C B ρρ=.

若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

北京一零一中2022-2023学年度第一学期期中考试

高二数学

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.直线0x y +=的倾斜角为（）

A.45︒

B.60︒

C.90︒

D.135︒

【答案】D

【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解．

【详解】由0x y +=，得y x =-，故斜率为1k =-，因tan θk =，所以倾斜角135θ=︒．

故选：D ．

2.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）

A.22(2)5x y ++=

B.22(2)5

x y +-=C.22(2)5x y -+= D.22(2)5

x y ++=【答案】C

【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.

【详解】圆22(2)5x y ++=的圆心为(2,0)-，

因为点(2,0)-关于原点()0,0O 对称点为(2,0)，

所以圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为

22(2)5x y -+=，

故选：C.

3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,DA a DC b DD c === ，则与向量1D B

相等的是（）

A.a b c +-

B.a b c ++

C.a b c -+

D.a b c

-- 【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.

【详解】由题意，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,DA a DC b DD c ===

，

可得1111()D B AB AD DC DD DA DA DC DD a b c =-=--=+-=+-

.

故选：A.

4.已知直线:20l x ay ++=，点()1,1A --和点()2,2B ，若//l AB ，则实数a 的值为（）

A.1

B.1-

C.2

D.2

-【答案】B

【分析】

求出直线AB 的斜率，根据直线平行的斜率关系得出实数a 的值.【详解】21

121AB k +==+，由于//l AB ，则直线l 的斜率为1即1

1a -=，1

a =-故选：B

5.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）

A.20x y --=

B.20

x y +-=C.0x y -= D.0

x y +=【答案】C

【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.

【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10

112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，

故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.

故选：C.

6.如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E ，F ，G ，H 分别是棱A 1B 1，BB 1，CC 1，C 1D 1的中点，则必有（）

A.BD 1∥GH

B.BD ∥EF

C.平面EFGH ∥平面ABCD

D.平面EFGH ∥平面A 1BCD 1

【答案】D

【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．

【详解】易知GH ∥D 1C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD 1，GH 不可能互相平行，故选项A 错误；

易知EF ∥A 1B ，与选项A 同理，可判断选项B 错误；

因为EF ∥A 1B ，而直线A 1B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，所以平面EFGH 与平面ABCD 相交，选项C 错误；

对于D ，平面//EFGH 平面11A BCD ，理由是：

由E ，F ，G ，H 分别是棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 的中点，

得出1//EF A B ，11//EH A D ，

所以//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，

又EF EH E = ，所以平面//EFGH 平面11A BCD ．

故选：D ．

7.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l ⊂

α；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．

考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．8.已知正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论：

①直线1BC 与1DA 所成的角为90 ；

②直线1BC 与1CA 所成的角为90 ；

③直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45 ；

④直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45 .

其中，正确结论的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【分析】由题意，作图，利用线面垂直判定定理，以及线面角定义，结合三角函数的定义，可得答案.

【详解】由题意，作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11BB C C ，由1BC ⊂平面11BB C C ，则1CD BC ⊥，在正方形11BB C C 中，11CB BC ⊥，

因为1CB CD C ⋂=，且1,CD CB ⊂平面11CDA B ，所以1BC ⊥平面11CDA B ，

因为11,DA CA ⊂平面11CDA B ，所以11BC DA ⊥，11BC CA ⊥，故①②正确；

同理可得11A C ⊥平面11BB D D ，垂足为E ，所以1EBC ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，

设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2

，1BC =

1EC =

，则1111sin 2EC EBC BC ∠==，即130EBC ∠= ，故③错误；

易知1CBC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，由11tan 1CC CBC BC ∠=

=，则145CBC ∠= ，故④正确.故选：C.

9.设,m n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（

）

A.(,2-∞-

B.)2∞

⎡++⎣

C.22⎡-+⎣

D.

[(),22∞∞

--⋃++【答案】D

【分析】利用直线与圆相切的性质可得m ，n 的关系式，再借助均值不等式求解能求出m n +的取值范围．

【详解】,m n ∈R ,直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，

圆22(1)(1)1x y -+-=的圆心(1,1)，半径1r =，

1=，整理得()1mn m n =++，2(

2m n mn + ，2()()12

m n m n +∴++，2()4()40m n m n ∴+-+-，

解得2m n +-或2m n ++，

m n ∴+

的取值范围是[()

,22∞∞

--⋃++故选：D 10.在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B=f π（A ）

．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α（P ）]，Q 2=f α[f β（P ）]，恒有PQ 1=PQ 2，则（

）

A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

【答案】A

【详解】设P 1=f α（P ），则根据题意，得点P 1是过点P 作平面α垂线的垂足

∵Q 1=f β[f α（P ）]=f β（P 1），

∴点Q 1是过点P 1作平面β垂线的垂足

同理，若P 2=f β（P ），得点P 2是过点P 作平面β垂线的垂足

因此Q 2=f α[f β（P ）]表示点Q 2是过点P 2作平面α垂线的垂足

∵对任意的点P ，恒有PQ 1=PQ 2，

∴点Q 1与Q 2重合于同一点

由此可得，四边形PP 1Q 1P 2为矩形，且∠P 1Q 1P 2是二面角α﹣l ﹣β的平面角

∵∠P 1Q 1P 2是直角，∴平面α与平面β垂直

故选A

二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.直线2y x =与直线21y x =+之间的距离等于__________.【答案】5

5

【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.

【详解】直线2y x =与直线21y x =+之间的距离0155

41d -=

=+.故答案为：5

512.若点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,4)C 三点共线，则a 的值等于______.

【答案】4

【详解】解：因为若三点

(2,2),(,0),(0,4)(22)//(2,2)2(2)40

4

A B a C AB AC

a a a 共线则，λ⇒=⇔---⇔--=⇔=13.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,M N 分别为棱1,BB AB 的中点，则三棱锥11A

D MN -的体积为

__________.

【答案】1

【分析】由线面垂直，根据等体积法即可求解.

【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11D A

⊥平面11ABB A ,所以11D A ⊥平面1MNA ,111111111341212112222

A MN AB

B A A AN A B M BMN S S S S S =---=-创创创 ,

故111111111321332

A D MN D A MN A MN V V S A D --==

�创= ,故答案为：114.已知直线:0-+=l kx y k ，若直线l 与圆:C 222430x x y y -+-+=在第一象限内的部分有公共点，则k 的取值范围是__________.

【答案】)

2⎡⎣【分析】根据题意画出图像，观察图像得到直线l 与圆在第一象限内的部分有公共点时，其临界直线分别为直线,PA PB ，求出对应的斜率可写出k 的取值范围.

【详解】如图所示，

由直线:0-+=l kx y k 得()1y k x =+直线l 过点()1,0P -，

由题意得圆:C ()()22122x y -+-=，圆心为()1,2

，半径为r =，

令0x =得1y =或3，所以圆C 与y 轴的交点为()()0,1,0,3D A ，

所以直线PA 的斜率为()

30301PA k -==--，当直线l

=，整理得2410k k -+=

，解得2k =±其中切线PB

的斜率为2PB k =若直线l 与圆C 在第一象限内的部分有公共点，则直线l

斜率的取值范围为23k ≤<.

故答案为：)

2⎡⎣.

15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为.

【答案】5

5

【详解】点P 到直线CC 1的距离等于点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离，设点P 在平面ABCD 上的射影为P′，显然点P 到直线CC 1的距离的最小值为P′C 的长度的最小值，当P′C ⊥DE 时，P′C 的长度最小，此时P′C 221+＝

55.16.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，则称点(),x y 是整点.已知直线:l y kx b =+，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线l ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②若k 和b 都是无理数，则直线l 不经过任何整点；

③存在只经过一个整点的直线l ；

④存在只经过两个不同整点的直线l .

【答案】①③

【分析】举例可判断①②③，通过两个整数点1(x ，1)y 和2(x ，2)y 在直线上，可得12(x x -，12)y y -在直线上，进而可得更多的整数点在直线上，进而判断④错误

【详解】对于①，令13y x =+

，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；对于②，取2k =2b =，直线y kx b =+为22y x =-，经过整点(1,0)，故②错误；

对于③，比如直线方程为2y =

，直线经过整点()00，当x 取不为0的整数时，y 都是无理数，故该直线只经过整点()00，

，故③正确；对于④，设直线为y kx b =+，若此直线l 过不同的整点1(x ，1)y 和2(x ，2)y ，

把两点代入直线l 方程得：11y kx b =+，22y kx b =+，两式相减得：1212()y y k x x -=-，则12(x x -，12)y y -为整点且在直线y kx b =+上，依次可得直线l 经过无穷多个整点，故④错误．

∴正确的命题是①③．

故答案为：①③．

三､解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

17.如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面,////,,ABCD AD BC FE AB AD M ⊥为EC 的中点，12

AF AB BC FE AD ====

.（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小；

（2）求平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值.

【答案】（1）3π

；（2

）3

.【分析】（1）以A 为原点，,,AB AD AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用直线BF 与

DE 的方向向量求异面直线BF 与DE 所成角即可.

（2）求出平面CDE 的一个法向量为u r ，平面ACD 的一个法向量为v ，利用公式cos ,||||

u v u v u v ⋅= 即可求出答案.【详解】因为FA ⊥平面,ABCD AB AD ⊥，所以以A 为原点，,,AB AD AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设1AB =，则1,2AF BC FE AD ====，

（1）所以()()()()1,0,0,0,0,1,0,1,1,0,2,0B F E D ，所以(1,0,1),(0,1,1)BF DE =-=-

，所以1cos ,2BF DE BF DE BF DE

⋅===⋅ ，因为[],0,BF DE π∈ ，所以,3

BF DE π= ，所以异面直线BF 与DE 所成角为3π

.

（2）因为()()()1,1,0,0,1,1,0,2,0C E D ，所以()()1,0,1,0,1,1CE DE =-=- ，

设平面CDE 的一个法向量为(,,)u x y z = ，

则00u CE u DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩

，即00x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1y z ==，所以(1,1,1)u = ，

取平面ACD 的一个法向量为()001v = ，

，设平面ACD 与平面CDE 夹角为θ，则

则cos cos ,

3||||u v u v u v θ⋅==== ，

所以平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值为3.

18.已知直线l 经过两条直线1:3420l x y +-=和2:220l x y ++=的交点.

（1）若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程；

（2）若直线l 与圆22:(1)(1)25C x y -+-=相交所得弦长为8，求直线l 的方程.

【答案】（1）340

x y ++=（2）2x =-或43140

x y -+=【分析】（1）联立方程组得到交点为()2,2-，再利用平行的直线系求解即可.

（2）首先得到圆心()1,1到直线l 的距离3d ==，再分类讨论结合圆的弦长求解即可.

【小问1详解】

342022202x y x x y y +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩

，即交点为()2,2-.设直线l 的方程为()301x y c c ++=≠-，把点()2,2-代入方程得4c =，

所以直线l 的方程为340x y ++=.

【小问2详解】

圆22:(1)(1)25C x y -+-=，圆心为()1,1，半径为5.

设圆心()1,1到直线l 的距离为d ，则3d ==.

若直线l 过点()2,2-且斜率不存在，则:2l x =-，到圆心()1,1的距离为3，满足条件；

若直线l 过点()2,2-且斜率存在，设():22l y k x -=+，即220kx y k -++=，

由题意3d ==，解得43

k =.所以()4:223

l y x -=+，即43140x y -+=.综上所述，直线l 的方程为2x =-或43140x y -+=.

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD

为平行四边形，

120,1,,ABC AB PA PD CD PB BD ∠===⊥⊥ ，点N 在棱PC 上

.

条件①：2BC =；

条件②：平面PBD ⊥平面ABCD .

从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：

（1）判断AB 与PB 是否垂直，并证明；

（2）若点N 为棱PC 的中点，点M 在直线AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为

55，求线段BM 的长.（3）求直线AC 与平面BDN 所成角的正弦值的取值范围.

注：若选择①和②分别作答，按选择①给分.

【答案】（1）AB PB ⊥，证明见解析

（2）22

或2（3

）⎡⎢⎣【分析】（1）选①由勾股定理证得BD CD ⊥，从而证得CD ⊥平面PBD ，进而由//AB CD 证得结果；选②由面面垂直的性质证得PB ⊥平面ABCD ，从而证得结果.

（2）建立空间直角坐标系，由点到面的距离公式解得点M 的坐标，进而由两点间距离公式可得BM 的长.（3）由线面角公式得sin α是关于λ的分式型函数，进而用换元法求分式型函数的值域可得结果.

【小问1详解】

选①：AB PB ⊥.

证明：平行四边形ABCD 中，18012060BCD ∠=-= .

∵2,1BC DC AB ===，

∴BCD △

中，BD ==.

∴222BD CD BC +=，

∴BD CD ⊥.

又∵PD CD ⊥，PD BD D ⋂=，PD BD ⊂、平面PBD ，

∴CD ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，

∴CD PB ⊥.

又∵//AB CD ，

∴AB PB ⊥.

选②：AB PB ⊥.

证明：∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PB BD ⊥，PB ⊂平面PBD .∴PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，

∴PB AB ⊥.

【小问2详解】

由（1）知：BA 、BD 、BP 两两垂直，

∴以B 为原点，以,,BA BD BP

的方向分别为x 轴，y 轴，z

轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(

)()(

)()

()0,0,0,,0,0,2,1,,1,0,0B D P C A -，13,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

∴(

)

13,,,1,,,12222BD BN AN ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，

设平面BDN 的法向量为()111,,n x y z =

，

则111101022n BD n BN x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩

令12x =，则110,1y z ==.此时()2,0,1n =

.

∵M 在直线AN 上，∴设,MN a AN a =∈R ，∴33(,,),22

MN a a a a =-∈R ∴M 到平面BDN

的距离为5MN n d n ⋅=== ∴12

a =，

∴31,,442MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭

或31,,442MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭

，

∴11,,442M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

或53,,442M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，∴22

BM =

或2.【小问3详解】

∵N 在棱PC 上，

∴设[],0,1PN PC λλ=∈ ，

∴()

,22BN BP PN λλ=+=-- ，设平面BDN 的法向量为()222,,m x y z =

，则22220(22)0

m BD m BN x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ ∴20y =，取()22,0,m λλ=-

，由于()

AC =- ，设直线AC 与平面BDN 所成角为α，则

sin cos ,AC m λα--== ∴()22

2

2216(1)16(1)sin 758475(1)211λλαλλλλ--=⨯=⨯-+-+-+，令[]11,0t λ=-∈-，当0=t 时，2sin 0α=；当[)1,0t ∈-时，222161161sin 121775(1)4t t t

α=⨯=⨯++++；

∵(]1

,1t

∞∈--，∴[)21144,t ∞⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭

，∴24sin 0,7α⎛

⎤∈ ⎥⎝⎦

.

∴sin 0,7α⎛∈ ⎝⎦综上，27sin 0,7α⎡∈⎢⎣⎦

20.对于平面直角坐标系中的两点()()1122,,,A x y B x y ，现定义由点A 到点B 的“折线距离”(),A B ρ为()2121,A B x x y y ρ=-+-.

（1）已知()()1,0,2,3A B ，求(),A B ρ；

（2）已知点(

)1,0A ，点B 是直线:20l x -+=上的一个动点，求(),A B ρ的最小值；（3）对平面上给定的两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，是否存在点(),C x y ，同时满足①()()(),,,;A C C B A B ρρρ+=②()(),,A C C B ρρ=.若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

【答案】（1）4；（2）321,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

；

（3）存在，答案见解析.

【分析】（1）根据题中给定定义直接求解;

（2）根据定义列出式子，用不等式求解最值；

（3）根据定义分类讨论证明.

【小问1详解】

(),12034A B ρ=-+-=.

【小问2详解】

因为点B 为直线:20l x -+=上的动点，

故可设点B 的坐标为)2,B t -，

则32|32|3232(,)|3|||||||||||||2222A B t t t t t t t ρ⎛⎫=-+=-+≥-+≥--= ⎪ ⎪⎝⎭.

当且仅当2t =时等号成立，故(),A B ρ的最小值为2

，此时点B 坐标为321,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

.【小问3详解】

注意到点()11,A x y 与点()22,B x y 不同，下面分三种情况讨论.若12x x =，则12y y ≠，由条件②得1122x x y y x x y y -+-=-+-，即12y y y y -=-，所以122

y y y +=.由条件①得11222121x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-.所以121212111222

x x y y y y y y -+-+-=-，所以10x x -=，所以1x x =.

因此，所求的点C 为121,2y y x +⎛

⎫ ⎪⎝⎭

.若12y y =，则12x x ≠，类似于A.，可得符合条件的点C 为121,2x x y +⎛⎫

⎪⎝⎭.当12x x ≠，且12y y ≠时，不妨设12x x <.

1122(,)(,)A C C B x x y y x x y y ρρ+=-+-+-+-1212x x x x y y y y

=-+-+-+-1212x x x x y y y y

≥-+-+-+-()

2121,x x y y A B ρ=-+-=当且仅当()()120x x x x --≥与()()120y y y y --≥同时成立时取等号，即当且仅当()()120x x x x --≥与()()120y y y y --≥同时成立时条件①成立.（i ）若12y y <，则由上面证明知，要使条件①成立，则有12x x x ≤≤且12y y y ≤≤.从而由条件②得()121212

x y x x y y +=

+++.因此所求点C 的集合为()()121212121,,.2M x y x y x x y y x x x y y y ⎧⎫=+=+++≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭∣且

（ii ）若12y y >，类似地由条件①可得12x x x ≤≤且21y y y ≤≤，从而由条件②得()121212

x y x x y y -=+--.因此所求点C 的集合为()()121212211,,.2N x y x y x x y y x x x y y y ⎧⎫=-=+--≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭∣且