2011年重庆高考数学理科试卷(带详解)

数学试题卷（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数=                                                          (　　)  

    A.        B. 

    C.        D. 

【测量目标】复数代数形式的混合运算.

【考查方式】直接给出复数的代数式，求值.

【难易程度】容易

【参】C

【试题分析】复数====.故选C

2. “”是“”的                                                  (　　)

A.充分而不必要条件        B.必要而不充分条件

C.充要条件                D.既不充分也不必要条件

【测量目标】充要条件的判断，不等式的解.

【考查方式】根据不等式的解，判断充要条件.

【难易程度】容易

【参】A

【试题分析】∵“”，

“”⇒“或”．∴“”是“”的充分而不必要条件．故选A．

3．已知，则                                    (　　)

A．6        B.2

C．3        D.6

【测量目标】极限的运算.

【考查方式】先将极限式通分化简，根据极限值，求未知数．

【难易程度】容易

【参】D

【试题解析】原式= (步骤1)

=

=（步骤2）

=

∴a=6  （步骤3） 

故答案选D．

4． (其中且)的展开式中与的系数相等，则n=         (　　)

    A．6        B.7         C．8        D.9

【测量目标】二项式定理.

【考查方式】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中与的系数，列出方程求出n．

【难易程度】容易

【参】B

【试题解析】二项式展开式的通项为（步骤1）

∴展开式中与的系数分别是（步骤2）

∴

解得n=7（步骤3）

故选B

5．下列区间中，函数，在其上为增函数的是                    (　　)

A.    B.          C.        D. 

【测量目标】对数函数的单调性，分段函数，零点.

【考查方式】根据零点分段法，我们易将函数解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则，求出函数的单调区间进而得到结论．

【难易程度】中等

【参】D

【试题解析】∵，

∴（步骤1）

根据复合函数的单调性我们易得

在区间上单调递减

在区间上单调递增（步骤2）

故选D.

6．若的内角所对的边满足，且则的值为                                                                    (　　)

    A．          B.         C.1              D. 

【测量目标】余弦定理.

【考查方式】将已知的等式展开；利用余弦定理表示满足的条件，继而求值．

【难易程度】中等

【参】A

【试题解析】∵

即

由余弦定理得，（步骤1）

∵

∴，（步骤2）.故选A．

7．已知，则的最小值是                        (　　)

    A．        B.4      C.        D.5

【测量目标】基本不等式.

【考查方式】根据题设中的等式，把表达式转化展开，利用基本不等式求最小值．

【难易程度】中等

【参】C

【试题解析】

∴（步骤1）

∴= (当且仅当时等号成立)（步骤2）

故选C

8．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为                                                        (　　)

    A.            B.        C.            D. 

【测量目标】圆的标准方程，两点间的距离公式，面积公式.

【考查方式】把圆的方程化为标准方程后，得到圆心坐标与圆的半径，根据两点间的距离公式求长度，再根据面积公式求四边形面积.

【难易程度】中等

【参】B

【试题解析】把圆的方程化为标准方程得：，

则圆心坐标为，半径为，（步骤1）

根据题意画出图象，如图所示：（步骤2）

由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，

则,

所以，又，（步骤3）

所以四边形ABCD的面积S= =．（步骤4）

故选B

                                第8题图    

9.高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为                    (　　)

A．          B.         C.1            D. 

【测量目标】点、线、面间的距离，球内接多面体.

【考查方式】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，可以推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，根据条件，则可求出距离．

【难易程度】较难

【参】C

【试题解析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，

点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，所以底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为1.故选C

10.设m，k为整数，方程在区间内有两个不同的根，则的最小值为                                                                    (　　)

    A．        B.8         C.12            D.15

【测量目标】二次函数的性质，函数零点，解不等式.

【考查方式】利用函数零点的有关性质，得到关系，根据函数的性质求解不等式，进而求解．

【难易程度】较难

【参】D

【试题解析】令，则在内有两个不同的零点，

又，由二次函数图象可知，，（步骤1）

即由题意可以得到：（步骤2）

且，（步骤3）

又因为m，k为整数且m为正整数，由上证知k为正整数，故为使得m+k最小，（步骤4）

只需令时，得到k的取值为8时，m的取值为7，

此时m+k的最小值为15．（步骤5）故答案选：D

二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)

11.在等差数列中，，则=　　．

【测量目标】等差数列的性质.

【考查方式】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，直接计算出结果．

【难易程度】容易.

【参】74

【试题解析】等差数列中， 

∵

∴

故答案为：74

12.已知单位向量的夹角为，则．

【测量目标】平面向量数量积.

【考查方式】由向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．

【难易程度】容易.

【参】

【试题解析】=

=

=

=

∴.故答案为.

13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_______．

【测量目标】互斥事件的概率，重复试验.

【考查方式】根据重复试验，得到互斥的情况，写出概率，得到结果.

【难易程度】中等

【参】

【试题解析】由题意知本题是一个n次重复试验中恰好发生k次的概率，（步骤1）

正面出现的次数比反面出现的次数多包括

正面出现4次，反面出现2次；

正面出现5次，反面出现1次；

正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，（步骤2）

∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是

++==（步骤3）

故答案为： 

14．已知，且，则的值为______．

【测量目标】二倍角，同角三角函数的基本关系，正弦的两角和公式.

【考查方式】利用题设等式，两边平方后即可求得，进而根据同角三角函数的基本关系求得，利用把原式的分母展开，把和的值代入即可．

【难易程度】中等

【参】

【试题解析】∵

∴，（步骤1）

两边平方后求得，∴（步骤2）

∵

∴（步骤2）∴

∴（步骤4）

∴（步骤5）

故答案为： 

15．动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过点　　．

【测量目标】抛物线的方程，定义.

【考查方式】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．

【难易程度】较难

【参】

【试题解析】抛物线的焦点，

准线方程为，（步骤1）

故圆心到直线的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，

所以F在圆上．（步骤2）

故答案为：．

三、解答题(共6小题，满分75分)

16．设满足，求函数f(x)在上的最大值和最小值．

【测量目标】由的部分图象求解析式，利用函数的单调性求最值,二倍角.

【考查方式】利用二倍角公式化简函数，然后根据已给的条件，求出参数的值，进一步求解析式，再根据自变量的范围求出的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．

【难易程度】中等

【试题解析】

== (步骤1)

由得解得

所以，(步骤2)

所以时，是增函数，(步骤3)

所以时，是减函数，(步骤4)

函数在上的最大值是：；(步骤5)

又，；(步骤6)

所以函数f(x)在上的最小值为：；(步骤7)

17.某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：

(Ⅰ)恰有2人申请A片区房源的概率；

(Ⅱ)申请的房源在片区的个数的分布列与期望．

【测量目标】离散型随机变量的期望，等可能事件的概率.

【考查方式】(I)给出等可能事件的实际例子，分析得到包含的的事件的个数，再求目标的个数，得到概率；根据题意，结合第一问，写出变量对应的概率，画出分布列，求出变量的期望值.

【难易程度】中等

【试题解析】(I)由题意知本题是一个等可能事件的概率

试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，(步骤1)

满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有(步骤2)

∴根据等可能事件的概率公式得到P== (步骤3)

(II)由题意知ξ的可能取值是1，2，3

，(步骤4)

，(步骤5)

(步骤6)

∴的分布列是

∴.(步骤8)

18．设的导数满足，其中常数，．

(I)求曲线在点处的切线方程．

(II)设．求函数的极值．

【测量目标】导数的几何意义，函数零点的应用，利用导数求极值，求函数解析式.

【考查方式】已知含参数的函数解析式，根据两个导数值的联立，求出参数得到函数的解析式，进而求具体某点的切线方程;构造新函数，分类讨论，利用导数求极值.

【难易程度】较难

【试题解析】(I)∵

∴．(步骤1)

令，得，解得(步骤2)

令，得，因此，解得，(步骤3)

因此∴，(步骤4)

又∵

故曲线在点处的切线方程为，即．(步骤5)

(II)由(I)知

从而有(步骤6)

令，则或∵当时，，(步骤7)

当时，，

当时，，(步骤8)

∴在时取极小值，在时取极大值(步骤9)

19．如图，在四面体ABCD中，平面

(Ⅰ)若，求四面体ABCD的体积．

(Ⅱ)若二面角C﹣AB﹣D为，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

第19题图   

【测量目标】异面直线及其所成的角,棱锥的体积,三垂线定理.

【考查方式】根据所给的几何图形以及已知的条件，找到椎体的底面和高，利用椎体的体积公式，求值;根据三垂线定理，找到二面角的平面角，利用平移找到异面直线所成的角，求余弦值

【难易程度】较难

【试题解析】(I)设F为AC的中点，由于，

所以．(步骤1)

故由平面⊥平面，

知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，(步骤2)

且，

，(步骤3)

在中，因，，

由勾股定理易知，．(步骤4)

故四面体ABCD的体积V=．(步骤5)

(II)设G，H分别为边CD，BD的中点，则，(步骤6)

从而是异面直线AD与BC所成角或其补角．

设E为边AB的中点，则，由，知，(步骤7)

又由(I)有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知，

所以为二面角C﹣AB﹣D的平面角，(步骤8)

由题设知．

设AD=a，则，(步骤9)

在中，，(步骤10)

从而， 

，因，

故在中，．(步骤11)

又，从而在中，因FG=FH，

由余弦定理得．(步骤12)

20.如图，椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为．

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程．

(Ⅱ)设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为．

问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

第20题图  【测量目标】椭圆的简单性质，椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系,椭圆的定义,圆锥曲线

中的探索问题.

【考查方式】根据椭圆的性质，求出各参数，得到椭圆的标准方程;利用直线与椭圆的位置关系，通过直线方程和椭圆方程的联立，探索椭圆中是否存在定点问题.

【难易程度】较难

【试题解析】(Ⅰ)由  (步骤1)

求得.

∴(步骤2

∴椭圆的方程为：  (步骤3)

(Ⅱ)设

则由，得,

即，(步骤4)

∵点M，N在椭圆上，

所以， 

故(步骤5)

设分别为直线的斜率，根据题意可知(步骤6)

∴∴(步骤7)

所以P在椭圆设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，(步骤8)

由椭圆的定义可推断出为定值，因为，则这两个焦点坐标是.(步骤9)

21.设实数数列的前n项和Sn满足．

(Ⅰ)若成等比数列，求S2和a3．

(Ⅱ)求证：对有．

【测量目标】等比数列的性质，间接证明，数列的通项公式与前n项和。

【考查方式】根据等比数列的性质，通过等比中项，利用数列的通项公式与前n项和求值;再根据数列的性质直接证明.

【难易程度】中等

【试题解析】(Ⅰ)由题意，

得，(步骤1)

由S2是等比中项知，

∴．(步骤2)

由，解得．(步骤3)

(Ⅱ)证明：由题设条件知，

∴，且，(步骤4)

，(步骤5)

从而对，

有．(步骤6)