水力学 作业

2-1  设水管上安装一复式水银测压计，如图所示。试问测压管中1—2—3—4水平液面上的压强p1、p2、p3、p4中哪个最大?哪个最小?哪些相等？

题2-1图

解: 静止重力液体中任一水平面都是等压面。另外，静止的两种互不混杂的重力液体(如水和水银)的交界面亦是等压面

（1）在2号柱的水与水银交界面的水平线上，与1号柱该水平线上水银面的压强相等，该线到给定水平线距离为h，有

则

因为，，所以

    （2）在3号柱的水与水银面的水平线上，与2号柱该水平线上水面的压强相等，显然,

（3）在4号柱的水与水银面的水平线上，与3号柱该水平线上水银面的压强相等，该线到给定水平线距离为h，有

则

因为，，所以

    因此，。

    解这种题目时要注意：公式（1－8）只能应用于连续分布的同一种液体中，我们不能错误写成一种液体内部和两种液体分界面出压强相等。而必须利用分界面上两种液体的压强相同这一条件，逐步分段计算。在计算过程中，不需要算出每一个具体数值，而只需列出代数式，迭优后再作数值计算。这样可以减少计算量。

   2—2  设有一盛(静)水的水平底面的密闭容器，如图所示。已知容器内自由表面上的相对压强p0=9.8×103Pa，容器内水深h=2m，点A距自由表面深度h1=1m。如果以容器底为水平基准面，试求液体中点A的位置水头和压强水头以及测压管水头。

题2—2

解: 由

将自由表面上的绝对压强转化为水头表示

    由

得，位置A的绝对压强的水头表示为

以大气压强为相对压强基准，由于绝对压强小于大气压强，液体中出现真空。

位置A的相对压强的水头表示为

如果以容器底为水平基准面，液体中点A的位置水头为

压强水头

由于测压管水头

所以

    2-3  设有一盛水的密闭容器，如图所示。巳知容器内点A的相对压强为6.9×104Pa。如在该点左侧器壁上安装一玻璃测压管，巳知水的重度γ=9.8×103N／m3，试问需要多长的玻璃测压管?如在该点右侧器壁上安装一水银压差计，巳知水银的重度γHg=133.28×103N／m3，h1=0.2m，试问水银柱高度差h2是多大值？

题2—3

解: 由

将相对压强转化为水头表示

由

得

2-4设有一盛水的密闭容器，连接—复式水银测压，如图所示。巳知各液面的高程为1=2.3m，2=1.2m, 3=2.5m，4=1.4m，5=3.0m，rH20 =9.8×103N／m3，rHg=133.28×103N／m3。试求密闭容器内水面上压强p0的相对压强值。

题2—4

解: 由等压面原理可知

,

由静水压强基本公式，列出2、4、6、7点压强表达式

结合上述各式，经整理得密闭容器内水面上压强为

相对压强为

Pa

2-5设有一盛空气的密闭容器,在其两侧各接一测压装置，如图所示。已知h1=0.3m。试求容器内空气的绝对压强值和相对压强值，以及水银真空计左右两肢水银液面的高差h2。(空气量度略去不计)。

题2—5

解1: 由静水压强基本公式，并且，

   Pa

由静水压强基本公式，并且，

  m

    解2:由，

2-6设有两盛水的密闭容器，其间连以空气压差计，如图(a)所示。已知点A、点B位于同一水平面，压差计左右两肢水面铅垂高差为h，空气重度可略去不计，试以式表示点A、点B两点的压强差值。

    题2—6

    若为了提高精度，将上述压差计倾斜放置某一角度6=30.如图(b)所示。试以式表示压差计左右两肢水面距离l。

解: 在压差计右支水面的水平线上的压强，与左支该水平线上的压强相等，有

                                 （1）

由静水压强基本公式，

                          （2）

其中，是压差计右支水面高度，是左支该水平线上的高度。由式（2），得

由式（1），得

                 （3）

若压差计倾斜，右支水面长度为，左支水面长度为，则

，                      （4）

代入（3）

                （5）

当

由（3）、（5）

当

提高了精度。

    2-7设有一被水充满的容器，其中点A的压强由水银测压计读数h来确定,如图所示。若测压计向下移动一距离s，如图中虚线所示。试问测压针读数是否有变化?若有变化h又为多大?  

题2—7

解: 在测压计左支水银面的水平线上的压强，与右支该水平线上的压强相等，有

                                 （1）

由静水压强基本公式，

                           （2）

其中，是右支水银面高出左支水银面的高度，是A点高出左支水银面的高度。由式（1）、式（2），得

                  （3）

当左支向下移动一段距离，右支向下移动一段距离，由式（3），得

A点压强不变，再由式（3），得

整理得

    2-8杯式微压计，上部盛油，YO=9.0kN／m3，下部盛水，圆杯直径D=40mm，圆管直径d=4mm，初始平衡位置读数h=0。当p1-p2=10mmH2O时，在圆管中读得的h(如图所示)为多大?

题2—8

解: 在测压计右支水面的水平线上的压强，与左支该水平线上的压强相等，有

                                 （1）

由静水压强基本公式，

                  （2）

其中，、是右支管中的水面以上到左支水面以下油的高度、是右支管中的左支水面以上管中油的高度和杯中的油的高度，、、是左支高出右支水面的高度、左支水面上管中和杯中的油的高度。由式（1）、式（2），得

       （3）

注意到，左支水面以上到右支油面以下，左右两支油的高度相同，并且。由式（3），得

                   （3）

由于，管中油的上升体积等于杯中油的下降体积，得

所以

代入（3），得

整理得

代入数据，得

    2-9  设有一容器盛有三种各不相同的重度且各不相混的液体，如图所示，已知Y1=6.86×103N／m3,Y2=9.8×1O3N／m3，y3=11.76×103N／m3.试求三根测压管内的液面到容器底的高度h1、h2、h3。

题2—9

解:容器液面处，容器液面处压强与上部测压管内压强相同，所以

，

其中，是上部测压管内液体1的高度。

    1-2液体界面的水平线上，容器内压强与中部测压管内压强相等，由静水压强基本公式，

其中，、是容器中液体1的高度、1-2液体界面的水平线上处中部测压管中液体2的高度，所以，

，

    2-3液体界面的水平线上，容器内压强与下部测压管内压强相等，由静水压强基本公式，

其中，、是容器中液体2的高度、2-3液体界面的水平线上处中部测压管中液体3的高度，所以，

，

    2—10  设有一盛有油和水的圆柱形澄清桶，如图所示。油和水之间的分界面借玻璃管A来确定，油的上表面借玻璃管B来确定。若已知圆桶直径D=0.4m，h1=0.5m，h2=1.6m，试求桶内的水和油各为多少?(油的比重s=0.84)。若已知h1=0.2m，h2=1.2m，h3=1.4m。试求油的重度y。

题2—10

    解：油-水界面的水平线上，容器内压强与下部测压管内压强相等，由静水压强基本公式，

                            （1）

其中，、是容器中油的高度、油-水界面的水平线上处左侧测压管中水的高度，所以，

所以油-水体积为

由（1），，所以

    2—11  设有两盛水的密闭容器,其间连以水银压差计，如图所示。已知容器内点A、点B位于同一水平面，压差计左右两肢水银液面高差h=O.2m,试求点A、点B两点的压强差值。若点A、点B不位于同一水平面，两点相差dz=0.5m，如图中虚线所示，试求点A、点B两点的压强差值。

题2—11

解: 在压差计右支水面的水平线上的压强，与左支该水平线上的压强相等，有

                                 （1）

由静水压强基本公式，

                        （2）

其中，、分别A、B点到右支水-水银界面该水平线的高度，。由式（2），得

代入数据，得

当右侧升高后，由静水压强基本公式，有

                        （3）

其中，。由式（3），得

代入数据，得

2—12一直立煤气管，如图所示。在底部测压管中测d得水柱差h1=100mm,在H=20m高处的测压管中测得水柱差h2=115mm，管外空气重度R=12.N／m3，求管中静止煤气的重度。

题2—12

解:由静水压强基本公式，上部测压管与煤气管接口处压强为

                   （1）

下部测压管压强为，

并且

所以

            （2）

由（1）、（2）式，设，得

代入数据，得

 N／m3

2—13设有一盛水密闭容器的表面压强为PO。试求该容器以重力加速度向地心运动(自由下落)和等速铅垂向上运动时，液体内的压强分布规律。

解：将坐标系原点放在密闭容器底部处，z轴铅直向上。

作用在平衡液体质点上的质量力有：

铅直向下的重力

G=-mg

和铅直向下的惯性力

F=-mg

则单位质量的重力与惯性力在三个轴上的分量为

则单位质量力(重力与惯性力之和)在三个轴上的分量为

代入式(2-7)

得相对平衡液体内部压强分布规律，即

积分上式，

    对于静止液体中任意两点来说，则上式可写为

或

式中，分别为任意两点在轴上的铅垂坐标值，为上述两点的静压强，为上述两点间的铅垂向深度。

该容器以等速铅垂向上运动时，作用在平衡液体质点上的质量力，只有铅直向下的重力

G=-g

则单位质量的重力在三个轴上的分量为

将式(2-37)代入式(2-7)

得相对平衡液体内部压强分布规律，即

积分上式，

    对于相对静止液体中任意两点来说，则上式可写为

或

式中，分别为任意两点在轴上的铅垂坐标值，为上述两点的静压强，为上述两点间的铅垂向深度。

    2—14为了测定运动物体的加速度，在运动物体上装一直径为d的U形管，如图历示。现测得管中液面差h=O.05m，两管的水平距离L=0.3m，求加速度a。

题2—14

解：将坐标系原点放在左管的底部，x轴向左，z轴铅直向上。

重力的单位质量力为

惯性力的单位质量力为

总的单位质量力为

代入式(2-7),

得

积分得

当x=z=0时，p=p0，得c=p0，代入上式，得

而自由面p=p0，方程为

即

 m／s2

    2—15一洒水车，如图所示，以0.98m／s2的等加速度向前行驶。设以水西中心点为原点,建立xos坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ。又自由表面压强PO=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m,s=-1.0m，试求A点的压强。

题2—15

解  重力的单位质量力为

惯性力的单位质量力为

总的单位质量力为

代入式(2-7),

得

积分得

当x=z=0时，p=p0，得c=p0，代入上式，得

A点的压强为

而自由面方程为

即

    2—16  设有一敞口容器，如图所示，以3.0m／s2的等加速度沿=30的倾斜轨道向上运动。试求容器内自由表面方程及其与水平面所成的角度。

题2—16

解  重力的单位质量力为

惯性力的单位质量力为

总的单位质量力为

代入式(2-7),

得

自由面方程为，得

即

    2—17  设有一弯曲河段，如图所示。已知凸岸曲率半径r=1.35m，凹岸曲率半径R=150m，断面平均流速v=2.3m／s，试求在xos平面内的水面曲线方程相两岸水位差。(注ρ＞e:河弯水流的水力现象比较复杂，为了粗略估算，假定横断面上各点流速皆为断面平均流速，同一横断面上的水流质点之间没有相对运动，即处于相对平衡状态)

题2—17

将坐标系原点放在凹岸曲率半径中心处，z铀铅直向上。在这种情况下，作用在平衡液体质点上的质量力有：

铅直向下的重力

G=-mg

由于假定横断面上各点流速皆为断面平均流速，同一横断面上的水流质点之间没有相对运动，即处于相对平衡状态。则断面各点具有相同角速度，沿半径方向的离心惯性力

F=mω2r=mv2/r。

式中  r--质点A′至中心轴的径向距离，；

      ω--旋转角速度。

则单位质量的重力与惯性力在三个轴上的分量为

则单位质量力(重力与惯性力之和)在三个轴上的分量为

代入式

得相对平衡液体内部压强分布规律，即

积分上式，

注意，。整理后可得

式中   c--积分常数，由边界条件确定。

上式适用于平衡液体中的任意一点。因自由液面为等压面，液面压强为p0，对于抛物面凹岸处，其r=R，z=z0，所以

代入上式，并整理得压强分布规律表达式，即

采用相对压强，并且，得

对上式取等压面，即，则可得

在凸岸表面处，相对压强等于零，因此有

    2-18  设有一圆往形敞口容器，绕其铅垂中心轴作等角转速旋转，如图所示。巳知直径D=30cm，高度H=50cm，水深h=30cm，试求当水面恰好达到容器的上边缘时的转速n。

题2—18

解：由于最大升高值(自 由 面 方 程)

以及，得

  2—19一圆柱形容器，直径D=1.2m，完全充满水，顶盖上在ro=0.43m处开—小孔，敞口测压管中的水位h=0.5m，如图所示。试求此容器顶盖所受静水压力为零时，容器绕其铅垂中心轴的旋转转速n。

题2—19

解：由于压强分布公式

得

以及，得

以及，得

    2—20设有一圆柱形容器，如图所示。已知直径D=600mm，高度H=500mm，盛水至h=400mm，剩余部分盛满比重s=0.8的油。容器顶盖中心有一小孔与大气相通。试求当油面开始接触到容器底板时，此容器绕其铅垂中心轴旋转的转速n，和此时顶板、底板上的最大、最小压强值。

题2—20

解：由于压强分布公式

在顶板边缘处，压强最大，并且。

Pa

在底板中心处，压强最小，并且。

 Pa

2—21假定大气为静止流体，试在下列四种情况下，计算海拔3000m处的大气压强值。四种情况：(1)大气密度不变，为常数；(2)大气处于等温状态；(9)大气处于绝热状态；(4)大气温度随高度线性变化。

    解：1、大气温度随高度线性变化，由于压强分布公式

 kPa

2、大气处于等温状态，由于压强分布公式

 kPa

    2—22设在水果中装置一水平底边的矩形铅垂闸门，如图所示。巳知闸门宽度B=5m，闸门高度H=2m。试求闸门前水深H1=3m，闸门后水深H2=2.5m时，作用在闸门上的静水总压力P(大小、方向、作用点)。

题2—22

    解  (1)总压力的大小。由式

    (2)总压力的方向，从坐向右垂直指向闸门。

    (3)总压力的作用点。由表查得，总压力作用点距水面的距离：

m

同理： 

m

由力矩平衡原理，将转轴放在闸门上端，距闸门上端距离为 

  2-23设在某一小桥上，装置一水平底边的矩形铅垂闸门，如图所示，巳知闸门宽度b=3m，闸门与其导轨的摩擦系数f=0.30，闸门自重G=2.45×103N(不考虑浮力)，闸门前水深L=1.5m。试求当闸门后水深h=0时，开启闸门所需的提升力T，如果考虑到闸门下缘(压紧梁)与门槛的紧密接触情况，若其接触面积为70％，压紧梁厚度δ=0.1m，试求开启闸门所需增加的提升力ΔT。

题2—23

    解  (1)总压力的大小。由式得

N

    总压力的方向，从坐向右垂直指向闸门,摩擦力为。

N

    提升力为。

N

    (2) 闸门下缘水的总压力的大小。由式得

N

    总压力的方向，从坐向右垂直指向闸门, 增加的提升力为增加的摩擦力

N

    2—24  设一铅垂平扳安全闸门，如图所示。已知闸门宽b=0.6m，高h1=1m，支撑铰链C装置在距底h2=0.4m处，闸门可绕C点转动。试求阐门自动打开所需水深h。

题2—24

    解  要求压力中心超过绞链高度，总压力的作用点。由表查得，总压力作用点距水面的距离：

整理

代入数据

距左侧水面为2.16。

    2—25  设有一可转动的闸门用以调节水槽中的水位，如图所示。当槽中水位为H时，此闸门应使壁上一只寸为a×b的矩形孔开启。试求铰链轴O的位置。(铰链摩擦力等不计)

题2—25

    解  要求压力中心超过绞链高度，总压力的作用点。由表查得，总压力作用点距水面的距离：

整理

距闸门上端为y。

    2—26设有一水平底达矩形铅垂金属闸门，它由三根水平横梁和平板所组成，如图所示。已知闸门宽度b=3m，闸门前水深H=2m。试根据横梁负荷相等的条件布置闸门三根横梁的位置。

题2—26

    解  (1)总压力的大小。由式得

N

在上部总压力为P/3闸门面上高度为H1,则

由于P1=P/3,

所以

在中部总压力为P/3闸门面上高度为H2,则

由于P2=P/3,

由所以

由所以

在下部总压力为P/3闸门面上高度为H3,则

    2—27  设有一水压机，如图所示。巳知杠杆的长臂a=1m，短臂b=0.1 m，大圆活塞的直径D=0.25m，小圆活塞的直径d=0.025m，效率系数η2=0.85。如一人加于杠杆一端上的力T=196N，试求此水压机所能产生的压力P2值(不计活塞的高差及其重量)。

题2—27

    解  (1)利用力矩平衡原理。

所以,

=1960N

在作用下小活塞上产生流体静压强为

    按帕斯卡定律，p将不变地传递到上，所以

可见，大活塞上所产生的力为小活塞作用力的倍。

    2-28设有一容器盛有两种液体(油和水)，如图所示。巳知h1=0.6m，h2=1.0m，α=60。，油的重度γ0=7.84×103N／m：，试绘出容器壁面侧影AB上的静水压强分布图，并求出作用在侧壁AB单位宽度(b=1m)上的静水总压力。

解:

m2

m2

分别计算压力

总压力

压力中心

    2-30  试绘出如图所示的各种曲面上的压力体图的侧影，并标出铅垂分力是向上还是向下。

题2—30

  2—33设有一水平圆柱体，如图所示。己知圆柱体左侧水的自由表面与圆柱体最高部分的标高相一致，圆柱体直径d=4m，斜壁面与水平面成α=30的角度，圆柱体右侧为大气。试求作用在圆柱体单宽(b=1m)上的静水总压力。

题2—33

解:

  2-34设有一充满液体(水)的铅垂圆管段长度为ΔL，如图所示。若已知压强水头  远较ΔL为大(如几百倍)，则这管段所受的静水压强可认为是均匀分布；管壁材料的允许拉应力为

σ，试求管壁所需之厚度δ。

题2—34

解：计算作用于圆柱曲面上的总压力

y方向：因为向-y方向和向y方向的力大小相等，方向相反，所以合力为零。

z方向：因为向z方向压力变化远远小于x方向压力变化，所以可以看作压力相等。

x方向：利用曲面压强公式，在垂直于x轴方向投影面的总压力

因为：，所以

    2-37  设有一盛汽油的容器底部有一圆阀，该阀用绳系于一圆柱形浮子上，如图所示。巳知圆阀直径d2=2cm，浮子直径d1=10cm，浮子和绳及团阀的总重量G=0.98N，汽油的重度γO=7.35×103N／m3，绳的长度l=15cm，试求圆阀将在汽油面超过什么高度置时被开启。

题2—37

解

当开启时：

=0.173m