小数四则混合运算综合及分数加减法速算与巧算.教师版

教学目标

本讲主要是通过一些速算技巧，培养学生的数感，并通过一些大数运算转化为简单运算，让学生感受学习的成就感，进而激发学生的学习兴趣

知识点拨

一、运算定律

⑴加法交换律：的等比数列求和

⑵加法结合律：

⑶乘法交换律：

⑷乘法结合律： 

⑸乘法分配律：（反过来就是提取公因数）

⑹减法的性质：

⑺除法的性质：

上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．

二、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响

⑴在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号

都不变；

⑵在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都

改变，其中“”号变成“”号，“”号变成“”号；

⑶在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都

不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；

⑷在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号

都改变，其中“”号变成“”号，“”号变成“”号，

但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．

例题精讲

【例 1】计算： 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算：       . 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】学而思杯，4年级

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算：2.009×43+20.09×2.9+200.9×0.28=         .

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】希望杯，6年级，一试

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算：． 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】第十届，小数报

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算：

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【解析】（法）原式

（法）也可以用凑整法来解决．

原式

【答案】

【巩固】计算：           .

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】希望杯，5年级，1试

【解析】

【答案】

【例 2】计算：

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【解析】 原式

【答案】

【巩固】计算：        ．

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】学而思杯，5年级，第1题

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算：          ．

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】走美杯，5年级，决赛

【解析】原式=2.88×（0.47+0.53）+0.47+1.53+（24-14）×0.11-0.1

            =288+2+1

            =291

【答案】

【巩固】计算：＝           ．

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】走美杯，5年级，决赛

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算： 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】第三届，兴趣杯，5年级

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算： 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】迎春杯，5年级

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】希望杯，1试

【解析】不难看出式子中出现过两次：和，由此可以联想到提取公因数

原式

  ()

【答案】

【巩固】计算： 7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816=_____。

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】希望杯，1试，5年级

【解析】原式=7.816×(1.45+1.69)+3.14×2.184=7.186×3.14+3.14×2.184=31.4

【答案】

【巩固】计算： 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】小学数学夏令营

【解析】原式

【答案】

【例 3】计算： 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【解析】原式()

或

【答案】

【例 4】计算⑴  

    ⑵ 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【解析】⑴ 原式()()

⑵ 原式()

()

【答案】⑴              ⑵

【例 5】计算： 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【解析】稍做处理，题中数字就能凑整化简，

原式()

【答案】

【例 6】计算：

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】走美杯，决赛

【解析】原式

【答案】

【巩固】

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】走美杯，初赛，六年级

【解析】

【答案】

【例 7】计算：． 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】迎春杯

【解析】原式

【答案】

【巩固】计算

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【解析】注意到在被除数和除数的表达式中均出现了，而且分别有相近的数与，我们可以考虑把被除数做如下变形：

被除数

所以被除数是除数的倍，所以这道题的答案是．

【答案】

【巩固】⑴ 

⑵ ()()

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【解析】 (1)原式()() 

＝

(2)原式()()

＝()()

【答案】(1)              (2)

【例 8】计算：． 

【考点】四则混合运算之提取公因数          【难度】星         【题型】计算

【关键词】2014全国小学数学奥林匹克

【解析】原式

【答案】

教学目标

本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。

知识点拨

一、基本运算律及公式

一、加法

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。即：a＋b＝b＋a

其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.

总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。

即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).

总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。

二、减法

在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．

在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．

如：a＋（b－c）＝a＋b－c

a－（b＋c）＝a－b－c

a－（b－c）＝a－b＋c

在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。

如：a＋b－c＝a＋（b－c）

a－b＋c＝a－（b－c）

a－b－c＝a－（b＋c）

二、加减法中的速算与巧算

速算巧算的核心思想和本质：凑整

常用的思想方法：

1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．

2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．

3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．

4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）

例题精讲

【例 1】_____

【考点】分数约分           【难度】1星          【题型】计算  

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】原式=

【答案】

【例 2】如果，则________（4级）

【考点】分数约分           【难度】2星          【题型】计算  

【关键词】希望杯，六年级，一试

【解析】，所以A=2008.

【答案】

模块一：分组凑整思想

【例 3】

【考点】分组凑整           【难度】3星          【题型】计算  

【解析】观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2；分母是3的和为3；……依次类推；分母是1995的和为1995.这样，此题简化成求的和.

【答案】

【例 4】

【考点】分组凑整           【难度】3星          【题型】计算  

【解析】观察可知分母是2分子和为1分母是3分子和为；分母是4分子和为；……依次类推；分母是20子和为.

原式

【例 1】分母为1996的所有最简分数之和是_________

【考点】分组凑整           【难度】2星          【题型】计算  

【解析】因为1996=2×2×499。所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数，499与3×499。因此，分母为1996的所有最简真分数之和是

【答案】

【巩固】所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。

【考点】分组凑整           【难度】2星          【题型】计算  

【解析】小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个，分母为17的真分数相加，和等于

。

类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是

【答案】

模块二、位值原理

【例 5】 

【考点】位值原理           【难度】2星          【题型】计算  

【解析】原式

【答案】

【例 6】        ． 

【考点】位值原理           【难度】3星          【题型】计算  

【解析】原式

【答案】

【巩固】 

【考点】位值原理           【难度】3星          【题型】计算  

【解析】本题需要先拆分在分组，然后在做简单的等差数列求和

【答案】

【巩固】_______

【考点】位值原理           【难度】3星          【题型】计算  

【关键词】走美杯，五年级，初赛

【解析】 原式

【答案】