函数的周期性及题型

一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

二．基本结论：

1、设函数y=f(x)的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有f(x+T)=f(x)    → 

   f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期；

2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

3、若函数，则是以为周期的周期函数

4、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、，则是以为周期的周期函数.

7、，则是以为周期的周期函数.

8、 正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期 

   是T = 2π/|ω| ；

9、 正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan(ωx+φ)和y=Acot(ωx+φ)的周期是

   T=π/|ω| ； 

10、 周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法； 

11、 一般地，sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x| 的周期是π/2 ，y=|cotx|的周期是π．

【经典例题赏析】

例1、设f(x)是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x,求f(7.5) 

　［解析］：由题意可知，f(2+x) = f(x) 　　

∴　f(7.5) ＝f(8-0.5) ＝f(-0.5) ＝－f(0.5) ＝－０.５

例2.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.

解：设

时，有 

是以2 为周期的函数，.

例3．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.

解：当，即，

又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，

例4.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.

解：由的周期为4，得，由得

，故为偶函数.

针对性课堂练习

1、在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则(   )

    A.在区间上是增函数，在区间上是减函数

    B.在区间上是增函数，在区间上是减函数

    C.在区间上是减函数，在区间上是增函数

    D.在区间上是减函数，在区间上是增函数

2、，则，，，…，中最多有（    ）个不同的值.

A.165    B.177    C.183    D.199 

3、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为（    ）。