2007年高考.重庆卷.理科数学试题及解答

数学试题卷（理工农医类）

　　参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) .              　　　　　　

如果事件A、B相互，那么P(A·B)－P(A)·P(B)               　　　　　　　

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k 

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）若等差数列{}的前三项和且，则等于（ ）

A．3    B.4    C.  5     D. 6

（2）命题“若，则”的逆否命题是（  ）

A．若，则或   B.若，则

C.若或，则   D.若或，则

（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（  ）

A．5部分    B.6部分     C.7部分      D.8部分

（4）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（  ）

A10      B.20      C.30       D.120

（5）在中，则BC =（  ）

A.       B.      C.2          D. 

（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（  ）

A．     B．       C．         D． 

（7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（  ）

A.      B.     C.       D. 

（8）设正数a,b满足则（  ）

A．0     B．    C．     D．1

（9）已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且y=f(x+8)函数为偶函数，则（  ）

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

C

D

（10）如图，在四边形ABCD中， =0,则的值为（  ）

A.2       B.    C.4      D. 

B

A

二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上

（11）复数的虚部为________.

（12）已知x,y满足，则函数z = x+3y的最大值是________.

（13）若函数f(x) =的定义域为R，则a的取值范围为_______.

（14）设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则

__________.

（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。（以数字作答）

（16）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.

三、解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）(本小题满分13分)设f (x) = 

（1）求f(x)的最大值及最小正周期；

（2）若锐角满足，求tan的值。

（18）(本小题满分13分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互。求一年内该单位在此保险中：

（1）获赔的概率；

（2）获赔金额的分别列与期望。

（19）(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5。

（1）求异面直线DE与的距离；

（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。

（20）(本小题满分13分)已知函数(x>0)在x = 1处取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。

(21)(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且

（1）求{}的通项公式；

（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：

(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明

为定值，并求此定值。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题（理工农医类）答案

一、选择题：每小题5分，满分50分．

（1）A        （2）D        （3）C        （4）B        （5）A        （6）C

（7）B        （8）B        （9）D        （10）C

二、填空题：每小题4分，满分24分．

（11）            （12）                （13）

（14）            （15）            （16）

三、解答题：满分76分．

（17）（本小题13分）

解：（Ⅰ） 

．

故的最大值为；

最小正周期．

（Ⅱ）由得，故．

又由得，故，解得．

从而．

（18）（本小题13分）

解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，，

且，，．

（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

．

（Ⅱ）的所有可能值为，，，．

，

，

，

．

综上知，的分布列为

解法一：由的分布列得

（元）．

解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，

则有分布列

同理得，．

综上有（元）．

19．（本小题13分）

解法一：

（Ⅰ）因，且，故面，

从而，又，故是异面直线与的公垂线．

设的长度为，则四棱椎的体积为

．

而直三棱柱的体积为．

由已知条件，故，解之得．

从而．

在直角三角形中，，

又因，

故．

（Ⅱ）如答（19）图1，过作，垂足为，连接，因，，故面．

由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角．

在直角中，，

又因，

故，所以．

解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．

设，则，

又设，则，

从而，即．

又，所以是异面直线与的公垂线．

下面求点的坐标．

设，则．

因四棱锥的体积为

．

而直三棱柱的体积为．

由已知条件，故，解得，即．

从而，，．

接下来再求点的坐标．

由，有，即      （1）

又由得．     （2）

联立（1），（2），解得，，即，得．

故．

（Ⅱ）由已知，则，从而，过作，垂足为，连接，

设，则，因为，故

……………………………………

因且得，即

……………………………………②

联立②解得，，即．

则，．

．

又，故，因此为所求二面角的平面角．又，从而，故，为直角三角形，所以．

（20）（本小题13分）

解：（I）由题意知，因此，从而．

又对求导得

．

由题意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数．

因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．

（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．

即，从而，

解得或．

所以的取值范围为．

（21）（本小题12分）

（）解由，解得或，由假设，因此，

又由，

得，

即或，因，故不成立，舍去．

因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为．

（）证法一：由可解得；

从而．

因此．

令，则．

因，故．

特别地，从而．

即．

证法二：同证法一求得及，

由二项式定理知，当时，不等式成立．

由此不等式有

．

证法三：同证法一求得及．

令，．

因．

因此．

从而

．

证法四：同证法一求得及．

下面用数学归纳法证明：．

当时，，，

因此，结论成立．

假设结论当时成立，即．

则当时，

因．故．

从而．这就是说，当时结论也成立．

综上对任何成立．

（22）（本小题12分）

解：（I）设椭圆方程为．

因焦点为，故半焦距．

又右准线的方程为，从而由已知

，

因此，．

故所求椭圆方程为．

（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，

假设，且，．

又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有

  ．

解得．

因此

，

而

，

故为定值．