排列组合常见问题答案

排列组合问题是高考考察的重点，每年必考内容，常是一个选择题或一个填空题，分值为5分，难度为中等难度，在分布列计算中也常用到排列组合的计算，先将排列组合问题解法介绍如下，供同学们参考。

一、元素分析法

在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。

例1（06全国）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有      种（用数字作答）

解：因甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，所以先安排甲、乙，在5月3日至5月7日5天中选2天安排甲、乙有种方法，再安排其余5人，有种方法，故共有=2400种

二、位置分析法

在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。

例2 题同例1

解：因5月1日和2日不能安排甲、乙，所以先安排5月1日、2日，在除甲、乙外5人中选2人安排到5月1日、2日，有种方法，再安排其余5天，有种方法，故共有=2400种

三、间接法

又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。

例3 题同例1

解：安排7人在5月1日至5月7日值班，有种方法，其中甲、乙二人都安排在5月1日和2日有种，甲、乙仅一人安排在5月1日和2日有种。不同的安排方法共有--=2400种

四、树图法

又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限定条件在3个以上，排列组合问题。

例4 已知集合M={a，b，c} ，N={1，0,-1},在从集合M到集合N的所有映射f中，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有多少个？

解：满足条件的映 

所以满足条件的映射有7个。

五、逐一插入法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端。

例5（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是           。（用数字作答）

解：（逐一插入法）先将工程甲、乙、丙、丁按指定的顺序排成一排，有1种方法，将丙丁看成一项工程，再在甲、乙、丙（丁）之间和两端的4个空档安排其余2项工程1项工程，有种方法，再在这4项工程之间和两端的5个空档安排其余1项工程，有种方法，所以共有=20种方法。

六、消序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。

例6（06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有　　种不同的方法（用数字作答）

解：先将9个球排成一排有种不同的方法，其中，2个红球有排法， 3个黄球有排法， 4个白球有排法， 因同色球不加以区分， 所以2个红球、3个黄球、4个白球都各有1中排法，消去它们的顺序得将这9个球排成一列有=1260种

七、优序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。

例7（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是           。（用数字作答）

解：先将丙丁看作1项工程，再在5个位置中选3个位置，按指定顺序安排甲、乙、丙（丁）3项工程，有种方法，再在其余2个安排其余2项工程，有种方法，所以共有=20种方法。

八、捆绑法

若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。

例8 （05辽宁）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻， 3与4相邻，5与6相邻， 7与8不相邻，这样的八位数共有       个。（用数字作答）

解：先将1与2、3与4、5与6各看成一个元素，将这3个元素排成一排，有种方法，再在这3个元素之间和两端的4个空档中选3个安排7与8，有    种方法，再排1与2、3与4、5与6的顺序，各有2种方法，所以共有23=257种方法，因每一种排法对应一个八位数，所以这样的八位数共有257个。

九、插空法

若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。

例9 有一排8个相同的座位，选3个座位坐人，要求每人两边都有空位，这3人有多少不同的安排方法？

解：因3个坐人的座位不相邻，用插空法，先将5个空位排成一排有1种方法，然后在5个空位的4空档选3个空档安排坐人的3个座位，有=24种不同的方法，这3人有24不同的安排方法。

十、查字典法

对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一位数字。

例10 在由1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，大于23145且小于43521的数共有（  ）

      A.56       B.57       C.58        D.60

解：首位为2第二位为3第三位为1比23145大的数只有1个；首位为2第二位为3第三位比1大的数有=4个；首位为2第二大于3的数=12个；首位为3的数有24个；首位为4第二位比3小的数有=12              个；首位为4第二位为3第三位比5小的数有=4个；首位为4第二位为3第三位为5比43521小的数有1个。所以大于23145且小于43521的数共有1+4+12+24+12+4+1=58个。

十一、分组问题

（1）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。

     （2）若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素个数相同组数的全排列以消序。

例11（06江西）将7个人分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，则a为（   ）

     A.105           B.105             C.210                D.210  

解：先在7人选3人作为1组，有种方法，再从其余4人中选2人作为1组，有种方法，再把余下2人作为1组有种方法，因后2组人数相同，故应认为这2组无序，应除以。

∴不同的分组有=105种

十二、隔板法

又叫隔墙法，插板法，n件相同物品（n个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。

        若每个人至少1件物品（1个名额），则n件物品（n名额）排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有种分法。

若允许有人分不到物品 ，则先把n 件物品和m-1块隔板排成一排，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1个位置放隔板，有种方法，再将n件物品放入余下的位置，只有1种方法，m-1块隔板将物品分成m块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有         种分法。

例12  9个 颜色大小相同的分别放入编号分别为1，2，3，4，5，6的6个盒中，要求每个盒中至少放1个小球，有多少种方法？ 

解：（法1）将9个小球排成一排，9个小球之间有8个空挡，在这8个空挡选5个空挡放5个隔板，将9个小球分成6份，每份至少1个球，将这6份放到6个盒中，有=56种方法。

        （法2）先给每个盒中放1个球，然后将余下的3个小球和5块隔板排成一排，排列位置有8个，先从8个位置中选5个放隔板，有=56种方法，再余下位置放小球只有1种方法， 5块隔板将小球分成6块，从左到右看成6个盒所得球数，每一种隔板放法对应1种分法，故有=56种方法。

       十三、排列组合综合问题

       排列组合综合问题，应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个限定条件问题，注意分类讨论。

例14 （06陕西）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有      种 。

解：由题知，若选甲，则必不选乙，必选丙，须从除甲乙丙外5人中选2人，有种方法；若不选甲，则必不选丙，须从除甲丙外6人中选4人，有种方法，再将选出的4人分到4个地区，有方法，所以不同的选派方案共有(+)=600种。

例14  现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：（法1）我们可以分成3类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；

②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；

③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有；

∴由分类计数原理，总的方法一共有++=42

十四、一一映射转化法

例15 一个楼梯共有11级台阶，每步走1阶或2阶，7步走完，一共有多少种走法？

解：11级台阶，要求7步走完，每步走1阶或2阶 ，显然，必须有4步走2阶，3步走1阶。设每步走1阶为A每步走2阶为B，则原问题相当于在8个格子选个格子填A，其余填B，这是一个组合问题，所以一共有=35种不同的走法。