二次曲线与二次曲线

二次曲线与二次曲线

100080       北京中国人民大学附中      梁丽平

题型预测

高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”． 但是，在解答某些问题时（如1990年全国理科25题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤．

范例选讲

例1．讨论圆与抛物线的位置关系．

讲解：圆是以为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线相交；而当时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断．

为此，我们需借助方程组的解的个数来加以说明．

把代入，整理得：（＊）．

此方程的判别式．

可以看到：当时，；当时，；当时，．

事实上，当时，的确有圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线无公共点．而当时，虽然有方程（＊）的，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价．

造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（＊）的过程中，忽略了条件．事实上，方程组解的个数等于方程（＊）的非负解的个数．

综上，圆与抛物线的位置关系如下：

当或时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当时，圆与抛物线相交（四个公共点）；当时，圆与抛物线相切（两个公共点）．

点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价．

例2． 已知椭圆，它的离心率为．直线，它与以原点为圆心，以的短半轴为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，左准线为．动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．试点到圆上的点的最短距离．

    讲解：（Ⅰ）∵  直线与以原点为圆心，以b为半径的圆相切．

    ∴．

    又∵ 椭圆的离心率为．

    ∴．

    ∴ 椭圆的方程为．

    （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：椭圆的左焦点的坐标为，左准线的方程为：．

连接，则．由抛物线的定义不难知道：点M的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线，其方程为：．

    所以，点到圆上的点的最短距离，实际上就是抛物线与圆上的点的最短距离．下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题．

    解法一：首先，如果抛物线上点A与圆上点B之间距离最小，则AB必过圆心O．（否则，连接OB、OA，设OA交圆于点N，则＋NA＝OA在抛物线上任取一点M（x,y），则

    由于．所以，（等号当且仅当时取得）．

所以，上述最短距离为．

解法二：用纯代数的方法去思考．

设为抛物线上任意点，为圆上任意点，

则

    等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为和时取得．

    点评：方法二需要较强的代数变形的能力，充分运用图形的几何性质可以使得问题简化．

例3．已知双曲线和椭圆有相同的焦点和，两曲线在第一象限内的交点为P．椭圆与y轴负半轴交于点B，且三点共线，分有向线段的比为1：2，又直线与双曲线的另一交点为，若．

（Ⅰ）求椭圆的离心率

（Ⅱ）求双曲线和椭圆的方程．

讲解：（Ⅰ）要求椭圆的离心率，可以先只考虑与椭圆有关的条件．注意到：三点共线，且分有向线段的比为1：2．所以，若设椭圆的方程为：

，

则点P的坐标为．代入椭圆方程，可解得椭圆的离心率．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的方程为：，点P的坐标为．直线PB的方程为： 

设双曲线的方程为：，则．

∵在双曲线上，

∴

化简得：．故．

将直线PB的方程代入双曲线方程，消去y，得：

．

解得．

从而．

∴ 椭圆方程为，双曲线方程为．

点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入手．为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答．

高考真题

１．（1988年全国高考题）直线L的方程，其中；椭圆的中心为，焦点在x轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为．问：p在那个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，他们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离．

2．(1990年全国高考题)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．

[答案与提示：1．； 2．]