量子力学第五章习题

5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解: 这种分布只对的区域有影响, 对的区域无影响. 根据题意知

其中是不考虑这种效应的势能分布, 即

为考虑这种效应后的势能分布, 在的区域为

在的区域,可由下式

其中电场为

则有:

因此有微扰哈密顿量为

其中

类氢原子基态的一级波函数为

按定态微扰式,基态的一级能量修正值为

完成上面的积分,需要作作三个形如的积分,用分部积分法,得

我们可以计算,

但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.

氢原子的半径约为, 而.所以有

于是

这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为

5.2 转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。

解: 自由空间转子的能级和波函数为

对于基态                       

我们选外加电场的方向沿球极坐标的极轴方向(即轴的正向),则微扰哈密顿算符为

据此我们求出有用的矩阵元(对基态)

上面用到及球谐函数的正交性

从上面的计算式可见,微扰矩阵元只有

，

其余为零.

故                                 

即基态能级的一级修正为零.

基态能量的二级修正为

5.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级:及,现在受到微扰的作用,微扰矩阵元为;,都是实数.用微扰公式求能量的二级修正值.

解: 哈密顿矩阵为:

微扰哈密顿矩阵元为: 

代入能量的二级近似公式      

则                

即

5.4 设在时,氢原子处于基态,以后由于受到单色光的照射而电离.设单色光的电场近似地以平面波表示为,及均为常量;电离后电子的波函数近似地以平面波表示.求这单色光的最小频率和在时刻跃迁电离态的几率.

解: (1)当电离后的电子动能为零时,这时对应的单色光的频率最小,其值为

(2)时, 氢原子处于基态

在时刻, 处于电离态

微扰

其中

在时刻跃迁到电离态的几率为

对于吸收跃迁情况,上式起主要作用的第二项,故不考虑第一项,

其中

取电子电离后的动量方向为方向,取,所在平面为面, 则有

所以

5.5 基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即

求经过长时间后氢原子处在态的几率.

解: 设电场沿方向,则微扰哈密顿为

按照微扰论,由状态跃迁到状态的几率决定于

而                         

因此,要求得,必须先算出.

现在初态为氢原子基态(即1S态)

而      

而终态是简并的,有三个态.

即      

因而有

及均为零,这是因为对的积分为零.

由此可见,这样的电场作用下,跃迁只发生在从基态(1S)到态,跃迁几率为

而: 

当, 

所以,长时间后         

所以                  

5.6 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率.

解: 从到的每秒自发跃迁几率,由公式

关键在于求矩阵元.我们的初态是第一激发态,有一个单态势2S态和三重态2P态. 由选择定则, 知是禁戒的, 故只需要计算的几率.

(1) 计算矩阵元

  注:, 

其中

而      

所以    

(2) 计算矩阵元

考虑到 

及       

和球谐函数的正交性.

所以    

(3) 计算矩阵元

考虑到  与上面相仿,计算得

所以       

所以       

(4) 求将

, 其中

及代入一开始写出的那个公式,得

5.7 计算由氢原子处在态跃迁到态时所发出的光谱线强度.

解: 从跃迁到时的发出的光谱线强度,由公式

是为处于态的氢原子数.由上题知

, , 

则有:

5.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则.

解: 电偶极矩为的线性谐振子,在电场作用下,即在微扰势作用下,从到的每秒跃迁几率为

跃迁选择定则,即的条件, 而

式中     

根据厄密多项式的递推公式      

和厄密多项式的正交性          

则

式中两个与无关的常数.可见只有当和时,亦即时,才不为零,即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间.

利用狄拉克符号解此题更容易.已知:

只有当和时,亦即时,才不为零,即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间.