解三角形专项题型及高考题

题型1：利用正余弦定理判断三角形形状

两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

例1.在 中，a,b,c 分别表示三个内角A,B,C的对边，如果，判断三角形的形状．

例2.在△ABC中，已知，试判断此三角形的形状。 

【同类型强化】1.在ABC中,若,试判断ABC的形状

【同类型强化】2.（2010上海文数）若的三个内角满足，则（  ）

A．一定是锐角三角形.          B．一定是直角三角形.

C．一定是钝角三角形.          D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

【同类型强化】3．△ABC中，2sinAcosB=sinC，则此三角形的形状是      （    ）

(A)等腰△          (B) 等腰或者直角△  (C)等腰直角△     (D)直角△

题型2：利用正余弦定理求三角形的面积

三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中．

例3．在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．

例4.(2010·辽宁营口检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足

    sin A－cos A＝0，cos B＝，b＝2.

(1)求sin C的值；(2)求△ABC的面积．

例5.(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝     .

(1)求sin A的值；(2)设AC＝，求△ABC的面积．

【同类型强化】1. 在中，已知角、、所对的边分别是、、，边，且，又的面积为，求的值．

【同类型强化】2. 在锐角三角形中，边、是方程的两根，角、满足，求角的度数，边的长度及的面积．

【同类型强化】3.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）  在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(Ⅰ)确定角C的大小（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。

【同类型强化】4.（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．   （I）求的面积；   （II）若，求的值．

【同类型强化】5.（2009北京理）（本小题共13分） 在中，角的对边分别为，。（Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）求的面积.

题型3：与三角函数结合的综合问题

三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中——解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础．

例6. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝    ， 

 sin(B－A)＝cos C.   (1)求A，C；    (2)若S△ABC＝3＋  ，求a，c. 

【同类型强化】(2009·山东卷)已知函数f(x)＝2sin xcos2   ＋cos xsin －sin x(0＜＜π)在x＝π处取最小值．(1)求的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C.

题型4：实际问题

例7.(2009·福建厦门调研)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东    30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

例8.要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 

【同类型强化】2.某海轮以30海里∕时的速度航行，在A点测得海平面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为东偏北60在航行80分钟到达C点，求P、C间的距离。

解三角形【2011高考题再现】

1.（山东理17）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

   （I）求的值；II）若cosB=，b=2，的面积S。

2.（江苏15）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为

（1）若 求A的值；（2）若，求的值.

3.设的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知

（Ⅰ）求的周长（Ⅱ）求的值

4.（湖南理17）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．

（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

5.（全国大纲理17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A-C=90°，a+c=b，求C． 

6.（陕西理18）叙述并证明余弦定理。

7.（浙江理18）在中，角所对的边分别为a,b,c．已知且．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）若角为锐角，求p的取值范围；

1.（重庆理6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为A．               B．         C． 1             D．

2.（四川理6）在ABC中．．则A的取值范围是    

    A．（0，]      B．[ ，）      C．（0，]      D．[ ，）

3.（全国新课标理16）中，则AB+2BC的最大值为_________．

4.（福建理14）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。

5.（北京理9）在中。若b=5，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。