湖北省武汉市武昌区七校联考2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

数学试卷（10月份）(解析版)

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）

A．0B．0或﹣2C．﹣2D．0或2

2．（3分）下列方程中有两个相等实数根的是（　　）

A．7x2﹣x﹣1＝0B．9x2＝4（3x﹣1）

C．x2+7x+15＝0D．2x2﹣x﹣2＝0

3．（3分）点A（0，5），B（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是（　　）

A．（2，5）B．（2，4）C．（5，2）D．（4，2）

4．（3分）抛物线y＝（x+4）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）

A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位

B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位

C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位

5．（3分）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干则可列方程是（　　）

A．（1+x）2＝91B．1+x+x2＝91C．（1+x）x＝91D．1+x+2x＝91 6．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（　　）A．1B．﹣2C．﹣2或1D．2

7．（3分）函数y＝﹣x2+2x+3，当﹣2≤x≤2时，y的最大值为m，则m+n＝（　　）A．3B．﹣1C．﹣2D．1

8．（3分）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．B．

C．D．

9．（3分）二次函数y＝x2+kx+2k﹣1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x12+x22＝7，则k＝（　　）

A．5B．﹣1C．5或﹣1D．﹣5或1

10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，则线段AD的长度的最小值是（　　）

A．B．C．D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）若方程x2﹣12x+5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为　　．12．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m ＝　　．

13．（3分）一个n边形有20条对角线，则n＝　　．

14．（3分）已知抛物线与直线y2＝2x+2交于A，B两点．若y1＞y2，则x的取值范围为　　．

15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1

①若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；

②c＝﹣9a﹣3b；

③若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣3a；

④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．

正确结论为　　．

16．（3分）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y ＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3且x1＜x2＜x3，S＝x1+x2+x3，则s的取值范围是　　．

三、解答题（共72分）

17．（8分）解一元二次方程．

（1）x2﹣2x﹣1＝0；

（2）x（x+4）＝2x+8．

18．（8分）已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）若，求m的值．

19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．

（1）求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；

（2）若直角三角形的一边为3，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．

20．（8分）物理实验课小明做一个实验：

在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度v t（单位：cm/s）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．

运动时间ts01234

运动速度vcm/s109.598.58

（1）小明探究发现，黑球的滚动速度v t与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出v t 关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）　　．（2）求出滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式，并求出黑球滚动的最远距离．[提

示：本题中，距离s＝平均速度，＝（v0+v t），其中v0是开始时的速度，v t是t秒时的速度]

21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A、B、C 都在格点上，画图过程用虚线表示．

（1）在图1中，画出格点C，使∠ABC＝45°．

（2）在图2中，在AC上画点E，使∠AEB＝∠ABC．

（3）在图3中，点D是AB上一点，在AB的下方画∠ADF＝

45°．

22．（10分）某酒店客房部有20套房间供游客居住，当每套房间的定价为每天120元时，房间可以住满．当每套房间每天的定价提高的幅度达10元及以上但不超过50元时，就会有一套房间空闲；当每套房间每天的定价提高幅度达50元以上时，就会有两套房间空闲．对有游客入住的房间，客房部需对每套房间每天支出20元的费用．设每套房间每天的定价增加x元（x为10的整数倍）（套）．求：

（1）当x＝20元时，y＝　　套；当x＝60元时，y＝　　套；

（2）求该某酒店每天的利润总额w（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）已知该某酒店每天至少有14套房间有游客居住，要使该某酒店每天的利润总额w （元）最大

23．（10分）如图，菱形ABCD，∠ABC＝120°．

（1）若AB＝6，则菱形ABCD的面积为　　；

（2）点E、F分别为菱形ABCD边DC、AB上一个动点，连AE、DF，且AE、DF交于点P，E、F在运动过程中，三角形ADP的面积与四边形GBFP的面积相等．

①如图2，求证：AG＝DF；

②如图3，O为AD的中点，连接OP、BP

24．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0）．（1）当b＝2时，

①求抛物线的顶点坐标；

②如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交

于点C，若点E的坐标为（1，0），∠POC+∠OCE＝45°

（2）如图2．点M（t，0）是x轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当时，直接写出抛物线解析

式．参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）

A．0B．0或﹣2C．﹣2D．0或2

【分析】利用因式分解法求解即可．

【解答】解：∵x2﹣2x＝4，

∴x（x﹣2）＝0，

则x＝3或x﹣2＝0，

解得x6＝0，x2＝7，

故选：D．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

2．（3分）下列方程中有两个相等实数根的是（　　）

A．7x2﹣x﹣1＝0B．9x2＝4（3x﹣1）

C．x2+7x+15＝0D．2x2﹣x﹣2＝0

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程即判别式的值等于0的方程．

【解答】解：A：Δ＝12+7＞0，故错误；

B：Δ＝b2﹣3ac＝（﹣12）2﹣4×7×4＝0，正确；

C：Δ＝22﹣4×15＜3，故错误；

D：Δ＝（）2+2×2×2＞6，故错误．

根据Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根得B是正确的．

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．

3．（3分）点A（0，5），B（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是（　　）

A．（2，5）B．（2，4）C．（5，2）D．（4，2）

【分析】根据抛物线的对称性可知，已知两点关于对称轴对称，然后列式求出抛物线的对称轴即可．

【解答】解：∵点A（0，5），6）的纵坐标相等，

∴点A（0，5），5）关于对称轴对称，

∴对称轴为直线x＝＝2，

即直线x＝2，

∵抛物线的顶点在对称轴上，

∴顶点的纵坐标不等于2．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据已知点的纵坐标相等得到关于对称轴对称是解题的关键．

4．（3分）抛物线y＝（x+4）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）

A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位

B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位

C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位

【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向左平移4个单位可得到抛物线y＝（x+2）2，

由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x+4）4向下平移3个单位可得到抛物线y＝（x+4）5﹣3，

故选：B．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．

5．（3分）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干则可列方程是（　　）

A．（1+x）2＝91B．1+x+x2＝91C．（1+x）x＝91D．1+x+2x＝91【分析】根据题意，若设主干长出x个支干，则根据主干、支干和小分支总数共91，列出方程即可．

【解答】解：设主干长出x个支干，则x个支干长出x2个小分支，

根据题意，得1+x+x8＝91，

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．

6．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（　　）A．1B．﹣2C．﹣2或1D．2

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝a代入方程求出a2﹣2a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，

∴a2﹣6a﹣1＝0，

整理得，a3﹣2a＝1，

∴8a2﹣4a﹣3＝2（a2﹣5a）﹣1

＝2×3﹣1

＝1．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出a2﹣2a的值，然后整体代入是解题的关键．

7．（3分）函数y＝﹣x2+2x+3，当﹣2≤x≤2时，y的最大值为m，则m+n＝（　　）A．3B．﹣1C．﹣2D．1

【分析】依据题意，将抛物线化成顶点式，再由抛物线的增减性可以判断得解．

【解答】解：由题意，y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+6，

∴对称轴x＝1．

∵抛物线开口向下，1﹣（﹣7）＝3，

又当﹣2≤x≤6时

∴当x＝﹣2时，y取最小值为﹣5；

当x＝6时，y最大值为4．

∴m＝4，n＝﹣4．

∴m+n＝4﹣5＝﹣7．故选：B．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的最值，解题时要熟练掌握并理解是关键．

8．（3分）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．B．

C．D．

【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．

【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜02﹣7x+1的图象应该开口向下，故选项错误；

B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜08﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；

C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞72﹣2x+2的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣

，故选项正确；

D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜62﹣2x+7的对称轴x＝﹣＜2．

故选：C．

【点评】应该熟记一次函数y＝ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

9．（3分）二次函数y＝x2+kx+2k﹣1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x12+x22＝7，则k＝（　　）A．5B．﹣1C．5或﹣1D．﹣5或1

【分析】利用根与系数的关系和代收式变形处理得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝k2﹣2（2k﹣1）＝7，由此求得k的值，注意Δ＞0．

【解答】解：依题意得：x1+x2＝﹣k，x4•x2＝2k﹣4，

∴x12+x52＝（x1+x5）2﹣2x5•x2＝k2﹣8（2k﹣1）＝2，

整理，得

k2﹣4k﹣4＝0，

解得k1＝﹣7，k2＝5．

又△＝k5﹣4（2k﹣6）＞0，

∴k＝﹣1．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线于x轴的交点．解题时需要注意k的取值范围．

10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，则线段AD的长度的最小值是（　　）

A．B．C．D．

【分析】在AC的上方作∠ACM＝120°，且使CM＝CA，连接AM，DM．设AB＝x，则AC＝4﹣x＝CM，根据ASA证明△BAC≌△DMC得出DM＝BA＝x，∠CMD＝∠BAC＝120°，得出∠AMD＝90°，即可推出结论．

【解答】解：如图，在AC的上方作∠ACM＝120°，连接AM．

设AB＝x，则AC＝4﹣x＝CM，

∴，∵将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，

∴∠BCA+∠ACD＝120，

又∵∠ACD+∠DCM＝∠ACM＝120°，

∴∠ACB＝∠DCM，

∴△BAC≌△DMC（ASA），

∴DM＝BA＝x，∠CMD＝∠BAC＝120°．

∴∠AMD＝90°，

∴AD2＝AM7+DM2＝3（2﹣x）2+x2＝7（x﹣3）2+12≥12，

∵2＜x＜4，

∴AD的最小值为．

故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）若方程x2﹣12x+5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为　7　．【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝12，x1x2＝5，然后利用整体代入的方法计算x1+x2﹣x1x2的值．

【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝12，x3x2＝5，

所以x4+x2﹣x1x8＝12﹣5＝7．

故答案为：7．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．

12．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝　﹣1　．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m8﹣1＝0有一根为2，

∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x5+x+m2﹣1＝3，且m﹣1≠0，

∴m4﹣1＝0，即（m﹣7）（m+1）＝0且m﹣2≠0，

∴m+1＝6，解得，m＝﹣1；

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．13．（3分）一个n边形有20条对角线，则n＝　8　．

【分析】利用多边形的对角线公式列得方程，解方程即可．

【解答】解：由题意可得＝20，

解得：n＝8或n＝﹣5（舍去），

即n＝8，

故答案为：7．

【点评】本题考查多边形的对角线及解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．

14．（3分）已知抛物线与直线y2＝2x+2交于A，B两点．若y1＞y2，则x的取值范围为　﹣3＜x＜1　．

【分析】联立两个函数表达式求出A，B两点的坐标，观察函数的图象即可求解．

【解答】解：联立两个函数表达式得，解得或，

故点A、B的坐标分别为（﹣3、（7，

函数的图象如下：

由函数的图象知，y1＞y2时x的取值范围为﹣4＜x＜1，

故答案为：﹣3＜x＜7．

【点评】本题考查二次函数与不等式（组），二次函数和一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．

15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1

①若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；

②c＝﹣9a﹣3b；

③若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣3a；

④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．

正确结论为　①②④　．

【分析】由抛物线经过（﹣10）可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由x＝1时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④．

【解答】解：∵a＜0，

∴抛物线开口向下，

∵点（﹣3，y4），y2），y3）均在该二次函数图象上，y2）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，

∴y2＜y3＜y2，①正确；

∵图象与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，5），

∴9a+3b+c＝4，

∴c＝﹣9a﹣3b，②正确；

∵﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵a﹣b+c＝8，

∴c＝b﹣a＝﹣3a，

∵抛物线的最大值为a+b+c，

∴m为任意实数，则am2+bm+c≤a+b+c，

∴am8+bm+c≤﹣4a，

∵a＜0，

∴﹣6a＞﹣3a，③错误；

∵方程ax2+bx+c+3＝0的两实数根为x1，x3，

∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为：x1，x2，

由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（3.0），∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣8，0），0），

∵抛物线开口向下，x3＜x2，

∴x1＜﹣7，x2＞3，④正确．

故答案为：①②④．

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．

16．（3分）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y ＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3且x1＜x2＜x3，S＝x1+x2+x3，则s的取值范围是　﹣12＜s ＜﹣9　．

【分析】由y2＝y3可知B，C两点关于抛物线的对称轴对称，进而得出x2+x3＝﹣4，再求出x1的取值范围即可解决问题．

【解答】解：由题知，

因为y2＝y3，

所以B，C两点关于抛物线的对称轴对称，

则x8+x3＝﹣4．

将直线解析式和抛物线解析式联立方程组得，

，

解得或．

因为y1＝y2＝y7且x1＜x2＜x2，

所以点A只能在点N的左下方，

又抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣5），将y＝﹣3代入y＝3x+19得，

x＝﹣8，

所以﹣6＜x1＜﹣5．

所以﹣12＜x4+x2+x3＜﹣7，

即﹣12＜s＜﹣9．

故答案为：﹣12＜s＜﹣9．

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能够根据对称性求出x2+x3＝﹣4是解题的关键．

三、解答题（共72分）

17．（8分）解一元二次方程．

（1）x2﹣2x﹣1＝0；

（2）x（x+4）＝2x+8．

【分析】（1）利用配方法求解可得；

（2）利用因式分解法求解可得．

【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝7，

∴x2﹣2x+6＝1+1，即（x﹣4）2＝2，

则x﹣8＝，

∴x1＝4+，x2＝5﹣；

（2）∵x（x+4）﹣4（x+4）＝0，

∴（x+7）（x﹣2）＝0，

则x+5＝0或x﹣2＝2，

解得x1＝﹣4，x8＝2．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18．（8分）已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）若，求m的值．

【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值即可；

（2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴当AB＝AD时，平行四边形ABCD是菱形，

∵AB、AD的长是关于x的方程，

∴Δ＝（﹣m）6﹣4×1×（﹣）＝2

即m2﹣2m+2＝0，

解得：m1＝m2＝1，

∴当m＝1时，四边形ABCD为菱形；

（2）∵AB、AD的长是关于x的方程，

∴AB+AD＝m，AB•AD＝﹣，

∵（AB﹣3）（AD﹣6）＝m2，

∴AB•AD﹣5（AB+AD）+9＝m7，

即﹣﹣3m+9＝m2，

整理得：m2+8m﹣7＝0，

解得：m4＝﹣，m7＝1，

∵AB+AD＝m＞0，

∴m＝﹣不合题意，

∴m的值为1．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和根的判别式是解题的关键．

19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．

（1）求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；

（2）若直角三角形的一边为3，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．【分析】（1）对式子进行分解，从而可得到两个因式的积为0，从而可求解；

（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝k+2，则分类进行讨论，从而可求解．

【解答】（1）证明：∵x2﹣（k+2）x+8k＝0，

∴（x﹣2）（x﹣k）＝5，

∴无论k为何值，此方程总有一个根是x＝2．

（2）解：令方程的两根为：x1，x7，则有：x1+x2＝k+7，

若斜边为3，可令另两直角边分别为2和k．

∴32+k2＝22，

k2＝7，

∵k＞0．

∴；

若直角边为4，则令斜边为k．

∴22+42＝k2，

∵k＞7．

∴，

综上所述：或k＝．

【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用．

20．（8分）物理实验课小明做一个实验：

在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度v t（单位：cm/s）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．

运动时间ts01234

运动速度vcm/s109.598.58

（1）小明探究发现，黑球的滚动速度v t与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出v t 关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）　v t＝﹣t+10　．

（2）求出滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式，并求出黑球滚动的最远距离．[提

示：本题中，距离s＝平均速度，＝（v0+v t），其中v0是开始时的速度，v t是t秒时的速度]

【分析】（1）设v t关于t的函数解析式为v t＝at+b，由表中数据得出二元一次方程组，求出a、b的值即可；

（2）先求出＝（v0+v t）＝﹣t+10，再求出s＝•t求出s＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣20）2+100，然后由二次函数的性质即可得出答案．

【解答】解：（1）设v t关于t的函数解析式为：v t＝at+b，

由题意得：，

解得：，

∴v t关于t的函数解析式为：v t＝﹣t+10，

故答案为：v t＝﹣t+10；

（2）∵＝（v3+v t）＝（10﹣t+10，

∴s＝•t＝（﹣t2+10t＝﹣（t﹣20）2+100，

当t＝20时，s有最大值为100，

答：滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式为s＝﹣t2+10t，黑球滚动的最远距离为100cm．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A、B、C 都在格点上，画图过程用虚线表示．

（1）在图1中，画出格点C，使∠ABC＝45°．

（2）在图2中，在AC上画点E，使∠AEB＝∠ABC．

（3）在图3中，点D是AB上一点，在AB的下方画∠ADF＝

45°．

【分析】（1）关注等腰直角三角形ABC即可；

（2）构造等腰直角三角形ABJ，BJ交AC一点E，点E即为所求；

（3）构造等腰直角三角形ABK，取格点P，Q，连接PQ交BK于点T，可得BK的中点T，连接AT，连接DK交AT于点O，连接BO，延长BO交AK一点F，连接DF，∠ADF 即为所求（由SSS证明△AOK≌△AOB，再根据ASA证明△FOK≌△DOB，推出FK＝BD，AF＝AD，可得∠ADF＝45°）．

【解答】解：（1）如图1中，点C即为所求；

（2）如图2中，点E即为所求；

（3）如图5中，∠ADF即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．

22．（10分）某酒店客房部有20套房间供游客居住，当每套房间的定价为每天120元时，房间可以住满．当每套房间每天的定价提高的幅度达10元及以上但不超过50元时，就会有一套房间空闲；当每套房间每天的定价提高幅度达50元以上时，就会有两套房间空闲．对有游客入住的房间，客房部需对每套房间每天支出20元的费用．设每套房间每天的定价增加x元（x为10的整数倍）（套）．求：

（1）当x＝20元时，y＝　18　套；当x＝60元时，y＝　8　套；

（2）求该某酒店每天的利润总额w（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）已知该某酒店每天至少有14套房间有游客居住，要使该某酒店每天的利润总额w （元）最大

【分析】（1）当每套房间每天的定价提高的幅度达10元及以上但不超过50元时，每增

加10元，就会有一套房间空闲，则y＝20﹣；当每套房间每天的定价提高幅度达50元以上时，每增加10元，就会有两套房间空闲，则y＝20﹣x根据题意分别代即可；（2）分两种情况：当10≤x≤50时，得W＝﹣x2+10x+2000，当50＜x＜125时，W＝﹣x2+5x+2500；

（3）分两种情况：当10≤x≤50时，得W＝﹣x2+10x+2000，当50＜x＜125时，W＝﹣x2+5x+2500，分别将两种情况下的函数配方为顶点式，结合x的取值范围以及函数的增减性找到合乎条件的利润最大值．

【解答】解：（1）根据题意可知：

当10≤x≤50时，y＝20﹣，

则x＝20时，y＝20﹣；

当50＜x＜125时，y＝20﹣x，

则x＝60时，y＝20﹣，

故答案为：18；8；

（2）根据x为10的整数倍，

当10≤x≤50时，且x为10的整数倍，

W＝（120﹣20+x）（20﹣）＝﹣x3+10x+2000，

当50＜x＜125时，且x为10的整数倍，

（x为10的整数倍）；

（3）①当10≤x≤50且x为10的整数倍时，

，

∵a＜0，对称轴为直线x＝50，

∴抛物线在对称轴的左侧w随x的增大而增大，

∴当x＝50时，w有最大值，

此时定价为170元；

②当50＜x＜125且x为10的整数倍时，∵y≥14，即≥14，

∴x≤55，此种情况没有符合条件的x存在，

综上所述：当每套房价定为170元时，酒店每天的利润总额最大．

【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，理解题意，搞清楚数量关系是解决问题的关键，属于中考压轴题．

23．（10分）如图，菱形ABCD，∠ABC＝120°．

（1）若AB＝6，则菱形ABCD的面积为　18　；

（2）点E、F分别为菱形ABCD边DC、AB上一个动点，连AE、DF，且AE、DF交于点P，E、F在运动过程中，三角形ADP的面积与四边形GBFP的面积相等．

①如图2，求证：AG＝DF；

②如图3，O为AD的中点，连接OP、BP

【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，则∠A＝60°，∠ADE＝30°，AE＝AD＝1，在Rt △ADE中，由勾股定理求DE的值，根据S菱形ABCD＝AB×DE，计算求解即可；

（2）①作FQ⊥AD于Q，GH⊥AB于H．证明△QAF≌△HBG（AAS），由全等三角形的性质得出FA＝GB，证明△DAF≌△ABG（SAS），由全等三角形的性质得出AG＝DF；

②证出∠APD＝120°，作∠PAM＝60°交DF于M．证明△PAM为正三角形，得出∠AMP

＝60°，PM＝PA，证明△DAP≌△BAM（SAS），由全等三角形的性质得出DP＝MB，∠APD＝∠AMB＝120°，延长PO至N．使ON＝OP，证明△PAN≌△PMB（SAS），由全等三角形的性质得出结论．

【解答】（1）解：如图，过D作DE⊥AB于E，

由菱形的性质可得，∠A＝60°，

∴∠ADE＝30°，

∴AE＝AD＝2，

在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝，

∴S菱形ABCD＝AB×DE＝6×＝18，

故答案为：18；

（2）①证明：作FQ⊥AD于Q，GH⊥AB于H．

∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，

∴AD＝AB＝DB．∠DAB＝∠ABD＝∠ADB＝60°，

∵三角形ADP的面积与四边形GBFP的面积相等，

∴S△ADF＝S△BAG，

∵AB＝AD，

∴GH＝FQ，

∴△QAF≌△HBG（AAS），

∴FA＝GB，

∴△DAF≌△ABG（SAS），

∴AG＝DF；

②证明：∵△DAF≌△ABG，

∴∠ADF＝∠BAP，∴∠APF＝∠ADP+∠DAP＝∠DAP+∠PAB＝60°，

∴∠APD＝120°，

作∠PAM＝60°交DF于M．

∴△PAM为正三角形，

∴∠AMP＝60°，PM＝PA，

∴△DAP≌△BAM（SAS），

∴DP＝MB，∠APD＝∠AMB＝120°，

∴∠PMB＝60°，

延长PO至N．使ON＝OP，

∵OA＝OD．

∴四边形NAPD是平行四边形

∴DP＝AN＝BM，∠NAP＝60°＝∠BMP，

∴△PAN≌△PMB（SAS），

∴PB＝PN＝2OP．

【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

24．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0）．（1）当b＝2时，

①求抛物线的顶点坐标；

②如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交

于点C，若点E的坐标为（1，0），∠POC+∠OCE＝45°

（2）如图2．点M（t，0）是x轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当时，直接写出抛物线解析

式．

【分析】（1）①当b＝2 时，y＝﹣x2+2x+c，把A（﹣1，0）代入可c＝3，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，即得抛物线的顶点坐标为（1，4）；

②过点C作CF∥OP，过点E作EF⊥CE，交CF于点F，过点F作FH⊥x轴于点H，证明△COE≌△EHF（AAS），可得FH＝OE＝1，EH＝CO＝3，F（﹣2．﹣1），即知直

线CF的解析式为y＝2x+3，直线OP的解析式为y＝2x，联立可得P（，

2）；

（2）过点A（﹣1，0）作直线l：y＝﹣x﹣1，过点M作MH⊥直线l于点H，过点Q作QN⊥直线l于N，交x轴于点T，过Q作QG∥直线l交x轴于G，过A作AK⊥QG于

K，可得AM＝MH，AM+2QM＝×MH+2QM＝2（MH+QM），而

+2QM的最小值为，有2QN＝，QN＝，即Q到直线l的距离为，得AG＝AK＝，G（，0），故直线QG解析式为y＝﹣x+，把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c可得y＝﹣x2+bx+b+1，把代入y＝﹣x2+bx+b+1

可得Q（b+，b+），把Q（b+，b+）代入y＝﹣x+得b＝4，从而抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5．

【解答】解：（1）①当b＝2 时，y＝﹣x2+6x+c，

把A（﹣1，0）代入y＝﹣x8+2x+c得：0＝﹣（﹣3）2+2×（﹣5）+c，

解得c＝3，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）8+4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，6）；

②过点C作CF∥OP，过点E作EF⊥CE，过点F作FH⊥x轴于点H

∴∠POC＝∠FCO，

∵∠POC+∠OCE＝45°，

∴∠FCO+∠OCE＝45°，即∠FCE＝45°，

∴△FCE为等腰直角三角形，

∴CE＝EF，

∵∠CEO＝90°﹣∠HEF＝∠HFE，∠COE＝∠FHE＝90°，

∴△COE≌△EHF（AAS），

在y＝﹣x2+2x+8中，令x＝0得y＝3，

∴C（6，3），

∵E（1，2），

∴FH＝OE＝1，EH＝CO＝3，

∴F（﹣6．﹣1），

由C（0，4），﹣1）可得直线CF的解析式为y＝2x+3，

∵CF∥OP，

∴直线OP的解析式为y＝2x，

联立，

解得或，

∵点P为第一象限内抛物线上的一点，

∴P（，2）；

（2）过点A（﹣6，0）作直线l：y＝﹣x﹣1，过点Q作QN⊥直线l于N，过Q作QG∥直线l交x轴于G，如图：

∵直线l为y＝﹣x﹣2，MH⊥直线l，

∴△AMH是等腰直角三角形，

∴AM＝MH，

∴AM+8QM＝×，

由垂线段最短可得，MH+QM最小值为QN的长度，

∵+2QM的最小值为，

∴2QN＝，

∴QN＝，即Q到直线l的距离为，

∵QG∥直线l，

∴AK＝QN＝，

∵∠KAG＝∠KAH﹣∠MAH＝45°，

∴△KAG是等腰直角三角形，

∴AG＝AK＝，

∴OG＝AG﹣OA＝，

∴G（，0），

设直线QG解析式为y＝﹣x+m，把G（，0）代入得：0＝﹣，

解得m＝，

∴直线QG解析式为y＝﹣x+，

把A（﹣6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：﹣3﹣b+c＝0，

∴c＝b+1，

∴y＝﹣x2+bx+b+1，

把代入y＝﹣x2+bx+b+1得：

y Q＝﹣（b+）2+b（b+）+b+1＝，

∴Q（b+，b+），

把Q（b+，b+得：

b+＝﹣（b+，

解得b＝2，

∴c＝b+1＝5，

∴抛物线解析式为y＝﹣x8+4x+5．

【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．