2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八校联考九年级(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)

一、选择题（3'×10＝30'）

1．方程x2﹣4x﹣3＝0的一次项系数和常数项分别为（　　）

A．4和3    B．4和﹣3    C．﹣4和﹣3    D．﹣4和3

2．如果x＝2是关于x的一元二次方程x2＝c的一个根，那么该方程另一个根是（　　）

A．2    B．﹣2    C．0    D．不能确定

3．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0两根为x1、x2，则x1•x2＝（　　）

A．4    B．3    C．﹣4    D．﹣3

4．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　）

A．（x+4）2＝9    B．（x﹣4）2＝9    C．（x﹣8）2＝16    D．（x+8）2＝57

5．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下    B．对称轴是直线x＝﹣1    

C．顶点坐标是（1，2）    D．与x轴有两个交点

6．若点（2，5），（4，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则它的对称轴是（　　）

A．x＝2    B．x＝3    C．x＝4    D．x＝5

7．抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（　　）

A．无交点    B．1个    C．2个    D．3个

8．某商品原价2元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）

A．2（1﹣x）2＝256    B．256（1﹣x）2＝2    

C．2（1﹣2x）2＝256    D．256（1﹣2x）2＝2

9．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（　　）

A．向左移动1个单位，向上移动3个单位    

B．向右移动1个单位，向上移动3个单位    

C．向左移动1个单位，向下移动3个单位    

D．向右移动1个单位，向下移动3个单位

10．关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥﹣    B．k≤﹣    C．k＞﹣且k≠0    D．k≥﹣且k≠0

二、填空题（3'×6＝18'）

11．已知二次函数y＝（x﹣1）2+6，当x　   　时，y随x的增大而增大．

12．方程x2+6x+9c＝0有两个相等的实数根，则c＝　 　．

13．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有　   　人．

14．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2+11，当1≤x≤4时，函数的最大值为　 　   　．

15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，c＜0，其对称轴为x＝﹣1，下列结论：①b＞0；②4a﹣2b+c＜0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0中，一定正确的是　 　     　．（填序号）

16．已知关于x的二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则其顶点一定在第　 　 　象限．

三、解答题（共8题，共72'）

17．解下列方程：

（1）x2﹣2x+1＝25；

（2）x2﹣4x+1＝0．

18．已知方程x2﹣4x+m＝0．

（1）若方程有一根为1，求m的值；

（2）若方程无实数根，求m的取值范围．

19．如图，有一块矩形铁皮，长100cm、宽60cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为5376cm2，求铁皮各角应切去边长多大的正方形？

20．已知二次函数的图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣1），且对称轴为x＝1．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点P（3，m）在抛物线上，求△PAB的面积．

21．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0．

（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根．

（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1+x2＝m+1，求m的值．

22．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．市场调查发现，该产品每天的销售价为25（元/千克）时，每天销售量为30（千克）．当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，设涨价x（元/千克）（x为正整数），每天销售量为y（千克）．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（2）该农户想要每天获得128元的销售利润，销售价为多少？

（3）每千克涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

23．如图，A（0，2），B（7，3），P（m，0）．

（1）当PA+PB的值最小时，m＝　               　．

（2）若∠APB＝90°，求：m的值．

（3）已知线段AP的中垂线交AP于C，若D（m，n）在AB的中垂线上，则m、n之间的函数关系为　 　               　．

24．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点（0，1）．

（1）该抛物线的解析式为　                　；

（2）如图1，直线y＝kx+kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与t2的大小关系．

（3）如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得NM+ND取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．

参

一、选择题（3'×10＝30'）

1．方程x2﹣4x﹣3＝0的一次项系数和常数项分别为（　　）

A．4和3    B．4和﹣3    C．﹣4和﹣3    D．﹣4和3

【分析】根据ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．

解：方程x2﹣4x﹣3＝0的一次项系数和常数项分别为﹣4，﹣3．

故选：C．

2．如果x＝2是关于x的一元二次方程x2＝c的一个根，那么该方程另一个根是（　　）

A．2    B．﹣2    C．0    D．不能确定

【分析】求出方程的解，根据已知x＝2是一元二次方程x2＝c的一个根得出方程的另一个根即可．

解：∵x2＝c，

∴x＝±，

∵x＝2是一元二次方程x2＝c的一个根，

∴该方程的另一个根是x＝﹣2，

故选：B．

3．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0两根为x1、x2，则x1•x2＝（　　）

A．4    B．3    C．﹣4    D．﹣3

【分析】利用根与系数的关系求出x1•x2＝的值即可．

解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0两根为x1、x2，

∴x1x2＝＝3，

故选：B．

4．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　）

A．（x+4）2＝9    B．（x﹣4）2＝9    C．（x﹣8）2＝16    D．（x+8）2＝57

【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．

解：∵x2+8x+7＝0，

∴x2+8x＝﹣7，

⇒x2+8x+16＝﹣7+16，

∴（x+4）2＝9．

∴故选：A．

5．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下    B．对称轴是直线x＝﹣1    

C．顶点坐标是（1，2）    D．与x轴有两个交点

【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．

解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．

故选：C．

6．若点（2，5），（4，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则它的对称轴是（　　）

A．x＝2    B．x＝3    C．x＝4    D．x＝5

【分析】因为两点的纵坐标都为5，所以可判定两点是一对对称点，利用公式x＝求解即可．

解：∵两点的纵坐标都为5，

∴这两点是一对对称点，

∴对称轴x＝＝＝3．

故选：B．

7．抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（　　）

A．无交点    B．1个    C．2个    D．3个

【分析】当x＝0时，求出与y轴的纵坐标；当y＝0时，求出关于x的一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数．

解：当x＝0时，y＝1，

则与y轴的交点坐标为（0，1），

当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，

△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，

所以，该方程有两个相等的解，即抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点．

综上所述，抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是2个．

故选：C．

8．某商品原价2元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）

A．2（1﹣x）2＝256    B．256（1﹣x）2＝2    

C．2（1﹣2x）2＝256    D．256（1﹣2x）2＝2

【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．

解：根据题意可得两次降价后售价为2（1﹣x）2，

∴方程为2（1﹣x）2＝256．

故选：A．

9．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（　　）

A．向左移动1个单位，向上移动3个单位    

B．向右移动1个单位，向上移动3个单位    

C．向左移动1个单位，向下移动3个单位    

D．向右移动1个单位，向下移动3个单位

【分析】利用二次函数的图象的性质．

解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），

∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．

故选：C．

10．关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥﹣    B．k≤﹣    C．k＞﹣且k≠0    D．k≥﹣且k≠0

【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答：①当k＝0时得x＝；②当k≠0时根据△≥0且k≠0，求得k的取值范围．

解：①当k＝0时，3x﹣1＝0，

解得x＝；

②当k≠0时，此方程是一元二次方程，

∵关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，

∴Δ＝32﹣4×（﹣1）k≥0，解得k≥﹣；

由①②得，k的取值范围是k≥﹣．

故选：A．

二、填空题（3'×6＝18'）

11．已知二次函数y＝（x﹣1）2+6，当x　＞1　时，y随x的增大而增大．

【分析】由抛物线解析式可确定其开口方向及对称轴，由抛物线的增减性可求得答案．

解：∵y＝（x﹣1）2+6，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，

∴当x＞1时，y随x增大而增大，

故答案为：＞1．

12．方程x2+6x+9c＝0有两个相等的实数根，则c＝　1　．

【分析】由方程有两个相等的实数根可得到其判别式等于0，解方程可求得c的值．

解：∵方程x2+6x+9c＝0有相等的两个实数根，

∴Δ＝0，

即62﹣4×1×9c＝0，

解得c＝1，

故答案为：1．

13．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有　10　人．

【分析】设这次聚会的同学共x人，则每个人握手（x﹣1）次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解．

解：设这次聚会的同学共x人，根据题意得，＝45

解得x＝10或x＝﹣9（舍去）

所以参加这次聚会的同学共有10人．

14．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2+11，当1≤x≤4时，函数的最大值为　 　10　．

【分析】根据函数解析式即可得到开口方向和对称轴，然后根据x的取值范围以及二次函数的性质，即可求得函数的最大值．

解：∵y＝﹣（x﹣5）2+11，

∴该函数的开口向下，对称轴是直线x＝5，当x＜5时，y随x的增大而增大，

∵1≤x≤4，

∴当x＝4时，y取得最大值，此时y＝﹣（4﹣5）2+11＝10，

故答案为：10．

15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，c＜0，其对称轴为x＝﹣1，下列结论：①b＞0；②4a﹣2b+c＜0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0中，一定正确的是　 　①②③④　．（填序号）

【分析】由抛物线对称轴的位置判断b与0的关系；当x＝2时，y＝4a+2b+c；然后由图象确定b2﹣4ac＞0．

解：①如图所示，

∵a＞0，对称轴为x＝﹣1，

∴a、b同号，

∴b＞0，

故①正确；

②∵x＝﹣＝1，

∴2a＝﹣b．

∴4a+2b+c＝﹣2b+2b+c＝c＜0．

∴4a+2b+c＜0．

故②正确；

③∵二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，c＜0，

∴当x＝﹣1时，y＜0，

∴a+c﹣b＜0，即a+c＜b．

故③正确；

④∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

故④正确．

综上所述，正确的结论是：①②③④．

故答案是：①②③④．

16．已知关于x的二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则其顶点一定在第　 　三　象限．

【分析】由题意求出a的范围，根据抛物线的对称轴及其与x轴的交点情况可得出答案．

解：∵当x＝1时，y＞0，

∴a+2a﹣1+a﹣3＞0，

∴a＞1．

∵Δ＝（2a﹣1）2﹣4a（a﹣3）＝8a+1＞0，

∴抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3与x轴有两个交点，

∵a＞1，

∴2a﹣1＞0，

∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，

又∵抛物线开口向上，

∴抛物线的顶点一定在第三象限．

故答案为：三．

三、解答题（共8题，共72'）

17．解下列方程：

（1）x2﹣2x+1＝25；

（2）x2﹣4x+1＝0．

【分析】（1）根据完全平方公式变形，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）将常数项移到右边，两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．

解：（1）x2﹣2x+1＝25，

（x﹣1）2＝25，

∴x﹣1＝±5，

∴x1＝6，x2＝﹣4；

（2）x2﹣4x+1＝0，

x2﹣4x＝﹣1，

x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，

∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣，

∴x1＝2+，x2＝2﹣．

18．已知方程x2﹣4x+m＝0．

（1）若方程有一根为1，求m的值；

（2）若方程无实数根，求m的取值范围．

【分析】（1）将x＝1代入方程，解方程即可得m的值；

（2）先计算判别式、整理得到Δ＝（﹣4）2﹣4m，再根据判别式的意义得到（﹣4）2﹣4m＜0，解不等式即可得求出m的取值范围．

解：（1）∵方程有一根为1，

∴12﹣4×1+m＝0，

∴m＝3；

（2）∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，

∴m＞4．

19．如图，有一块矩形铁皮，长100cm、宽60cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为5376cm2，求铁皮各角应切去边长多大的正方形？

【分析】设切去得正方形的边长为xcm，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．

解：设切去的正方形的边长为xcm，

则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，

根据题意得：（100﹣2x）（60﹣2x）＝5376，

解得：x1＝2，x2＝78（不合题意，舍去），

则铁皮各角应切去边长为2cm的正方形．

20．已知二次函数的图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣1），且对称轴为x＝1．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点P（3，m）在抛物线上，求△PAB的面积．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）根据图象上的点的坐标特征求得P的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．

解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，

根据题意得，

解得：，

∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1；

（2）∵点P（3，m）在图象上，

∴m＝32﹣2×3﹣1＝2，

∴P（3，2），

∴S△PAB＝3×4﹣﹣﹣＝3．

21．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0．

（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根．

（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1+x2＝m+1，求m的值．

【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可；

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣（m﹣2），结合2x1+x2＝m+1，求得x1＝2m﹣1，代入方程x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．

【解答】（1）证明：∵x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0，

∴Δ＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝（m﹣4）2≥0，

∴不论实数m取何值，方程总有实数根；

（2）解：设该方程的两个实数根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝﹣（m﹣2）．

∵2x1+x2＝m+1，

∴x1+（x1+x2）＝x1﹣（m﹣2）＝m+1，

∴x1＝2m﹣1，

代入x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0得，（2m﹣1）2+（m﹣2）（2m﹣1）+m﹣3＝0，

整理得，6m2﹣8m＝0，

解得：m1＝0，m2＝．

∴m的值为0或．

22．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．市场调查发现，该产品每天的销售价为25（元/千克）时，每天销售量为30（千克）．当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，设涨价x（元/千克）（x为正整数），每天销售量为y（千克）．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（2）该农户想要每天获得128元的销售利润，销售价为多少？

（3）每千克涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

【分析】（1 ）根据当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，进行求解即可；

（2）设利润为w元，则由（1）可得每天销售量为（30﹣2x）千克，每天的每千克的获利为（x+5），由此可得w＝（x+25﹣20）（30﹣2x）＝（x+5）（30﹣2x），再把w＝128代入进行求解即可；

（3）由（2）得w＝（x+5）（30﹣2x）＝﹣2（x﹣5）2+200，然后利用二次函数的性质进行求解即可．

解：（1）则由题意得：y＝30﹣2x，

∵30﹣2x＞0，

∴x＞15，

∴y与x之间的函数关系式为y＝30﹣2x（0＜x＜15，且x为整数）；

（2）设利润为w元，

则由题意得：w＝（x+25﹣20）（30﹣2x）＝（x+5）（30﹣2x），

∵该农户想要每天获得128元的销售利润，

∴（x+5）（30﹣2x）＝128，

解得：x1＝11，x2＝﹣1（舍去），

∴销售价为25+11＝36（元），

∴农户想要每天获得128元的销售利润，销售价为36元；

（ 3 ）w＝（x+5）（30﹣2x）＝﹣2（x﹣5）2+200，

∵﹣2＜0，

∴当x＝5时，w有最大值，最大值为200，

∴每千克涨价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．

23．如图，A（0，2），B（7，3），P（m，0）．

（1）当PA+PB的值最小时，m＝　　．

（2）若∠APB＝90°，求：m的值．

（3）已知线段AP的中垂线交AP于C，若D（m，n）在AB的中垂线上，则m、n之间的函数关系为　 　7m+n＝27　．

【分析】（1）取A点的对称点A'（0，﹣2），设yA′B＝kx+b（k≠0），将A'，B代入求出函数解析式，再令y＝0，即可求解；

（2）过点B作BC⊥x轴于C，先求出△AOP∽△PCB可得，再解一元二次方程即可求解；

（3）连接AB，过点D作DE⊥AB于E，连接AD、DP、DB，先求出DP∥y轴，再求出E（，），进而求出AE2＝（0﹣）2+（2﹣）2＝，AD2＝m2+（2﹣n）2，DE2＝（m﹣）2+（n﹣）2，在Rt△ADE中，由勾股定理可得m、n之间的函数关系．

解：（1）取A点的对称点A′（0，﹣2），

设yA′B＝kx+b（k≠0），

把（0．﹣2），（7，3）代入得：

，

解得：，

∴y＝x﹣2，

令y＝0，则x＝，

∴P（，0），即m＝，

故答案为：；

（2）过点B作BC⊥x轴于C，

∵∠APB＝90°，

∴∠APO+∠CPB＝90°，

∵∠PBC+∠CPB＝90°，

∴∠APO＝∠PBC，

∴△APO∽△PBC，

∴，即，

∴m2﹣7m+6＝0，

∴m＝1或m＝6；

（3）如图，连接AB，过点D作DE⊥AB于E，连接AD、DP、DB，

∵D在AP的中垂线上，

∴AD＝PD，

∵P（m，0），D（m，n），

∴DP∥x轴，

∴DP＝n＝AD，

∵A（0，2），B（7，3），

∴E（，），

AE2＝（0﹣）2+（2﹣）2＝，

AD2＝m2+（2﹣n）2，

DE2＝（m﹣）2+（n﹣）2，

在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，

∴+m2﹣7m++n2﹣5n+＝m2+4﹣4n+n2，

整理得：7m+n＝27．

故答案为：7m+n＝27．

24．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点（0，1）．

（1）该抛物线的解析式为　y＝x2+1　；

（2）如图1，直线y＝kx+kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与t2的大小关系．

（3）如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得NM+ND取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．

【分析】（1）由已知可得﹣2b＝0，c＝1，即可求解析式；

（2）联立方程，可得xC+xB＝4k，xC•xB＝4（1﹣kt），则AE•AF＝4+t2，即可求解；

（3）设抛物线上任意一点H（x，y），则y＝x2+1，HD＝＝x2+1，可得H点到D的距离与H点到x轴的距离相等，所以当MN⊥x轴时，MN+ND的值最小，即可求N（1，）．

解：（1）将点（0，1）代入y＝x2+bx+c，

可得c＝1，

∵点（0，1）是顶点，

∴﹣2b＝0，

∴b＝0，

∴y＝x2+1，

故答案为：y＝x2+1；

（2）∵y＝kx+kt＝k（x+t），

∴A（﹣t，0），

联立方程，

∴x2﹣kx+1﹣kt＝0，

∴xC+xB＝4k，xC•xB＝4（1﹣kt），

∴AE＝xC+t，AF＝xB+t，

∴AE•AF

＝（xC+t）（xB+t）

＝xC•xB+t（xC+xB）+t2

＝4（1﹣tk）+4kt+t2

＝4+t2，

∴AE•AF＞t2；

（3）存在点N，使得NM+ND取得最小值，理由如下：

设抛物线上任意一点H（x，y），

∴HD＝，H点到x轴的距离为y，

∵y＝x2+1，

∴HD＝x2+1，

∴H点到D的距离与H点到x轴的距离相等，

∴当MN⊥x轴时，MN+ND的值最小，

∴N（1，）．