1998年A题投资的收益和风险

A题  投资的收益和风险

     市场上有n种资产（如股票、债券、…）.Si(i=1…n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri,并预测出购买Si的风险损失率为qi.考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。

    购买Si要付交易费，费率为Pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险。（ro=5%）

1)已知n=4时的相关数据如下：

1）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

一、写出每种资产的交易费、净收益、投资风险及资金约束的表达式。

    设购买Si的金额为Xi，所需的交易费ci(xi)为c0(x0)=0,

 x1=0    0对Si的投资的净收益（设收益率ri已折合到现时）、风险和所需资金（购买时支付交易费）分别为：

Ri(xi)=rixi--ci(xi)

Qi(xi)=qixi

Fi(xi)=xi+ci(xi)

当购买Si的金额为xi,1≤i≤n存款额为x0时，投资组合x=(x0x1…xn)的净收益总额R（x），整体风险Q (x)和资金约束F(x)分别为：

R(x)= 

F(x)= 

二、表述成优化问题

1、原问题为两目标优化

2、简化为单目标优化：

2.1确定风险水平；记k=M，求解

max R(x)

s.t   Q(x)≤k

F(x)=M,x≥0

2．2确定盈利水平，记h=M，求解

max Q(x)

s.t  R(x)≥h

F(x)=M,x≥0

2.3确定投资者对风险一收益的相对偏好参数ρ>0，求解

max  ρQ(x)-（1-ρ）R(x)

s.t   F(x)=M,x≥0

2.4将收益与风险相比，求解

max  

s.t   F(x)=M,x≥0

三、简化 因为M相当大，所以总可使对每个Si的投资超过Ui即（1）式可简化为

ci(xi)=pixi

并且作具体计算时可设M=1，于是（1+pi）xi视作投资Si的比例。

四、求解

1、求多目标优化（8）的非劣解

 非劣解的必要条件（K-T条件）为，存在λ1, λ2,μ>0使

λ1▽R(x)+ λ2(- ▽Q(x))+ μ(F(x)-M)=0

μ(F(x)-M)=0 x≥0

问题在于如何求（6）式给出的Q（x）导数。

2、求（9）式的最优解  化为如下的线性规划：

max  

s.t.  qixi=M,x≥0

给定k，可以方便地求解。参考结果：（n=4的情形，M=1）

k=0.05   x1=0.99  xj=0(j≠1)

k=0.01   x1=0.4  x2=0.584  xj=0(j≠1,2)

k=0.005  x0=0.158  x1=0.2  x2=0.333  x3=0.09  x4=0.192

3、求（10）~（12）式的最优解  困难在于Q（x）是非光滑函数，难于直接用通常的优化算法和现成软件求解，可采用以下两种办法：（以（11）为例，（10）、（12）类似）

1）将（11）化为n个线性规划LP(k)（k=1,2,…n）

min  Lk(x)=pqkxk-(1-ρ) 

s.t.  =M  x≥0

qixi≤qkxk  i=1,…k-1,k+1,…n

n个LP（k）最优值中最小的一个所对应的解即为（11）的最优解。

2）引入新变量xn+1求解

 min L(x)=ρxn+1-(1-ρ) 

s.t.  =M  x≥0

qixi≤xn+1   i=1,…n

按（17）式得到的一组结果如下（n=4的情形，M=1）：