【中考冲刺】2021年湖北省宜昌市中考数学模拟试卷(附答案)

2021年湖北省宜昌市中考数学模拟试卷（附答案）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．以下四张扑克牌的图案，中心对称图形是（  ）

A． ． ． ．

2．将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（  ）

A． ． ． ．

3．下列事件是不可能事件的是（  ）

A．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形 ．李师傅买的彩票正好中奖

C．掷两次骰子，骰子的点数之积为 ．翻开一本书，页码是奇数

4．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）

A．k≤1且k≠0 ．k≤1 ．k≥1 ．K<1且k≠0

5．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转后，得到对应点的坐标是（  ）

A． ． ． ．

6．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得图象的函数关系式是（  ）

A． ． ． ．

7．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（    ）

A．32个 ．36个 ．40个 ．42个

8．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数为（  ）

A． ． ． ．

9．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均人会传染个人，若最初个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染．则与的函数关系式为（  ）

A． ． ． ．

10．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，连接．若，则的度数为（  ）

A． ． ． ．

11．如图，抛物线与直线的交点为．当时，的取值范围是（ ）

A． ．

C．或 ．或

二、填空题

12．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是_____．

13．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是_____．

14．如图，将绕直角顶点顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，则的长为______．

15．若点在如图所示的抛物线上，则的大小关系是______．

三、解答题

16．解方程：

17．已知，如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm.

（1）求扇形AOB的弧长和扇形面积；

（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥无底纸盒，求这个纸盒的高OH.

18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．

（1）按下列要求画图；

①将沿轴向左平移个单位长度，得到，请画出；

②将绕点逆时针旋转，得到，请画出．

（2）是       三角形，其外接圆的半径       ．

19．班召开“美丽宜昌”主题班会，准备随机选取名主持人和两名介绍宜昌风光的学生．班主任准备了“①号三峡大坝”、“②号三峡人家”、“③号清江画廊”、“④号三峡大瀑布”四处景点的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片背面完全相同）．

（1）已知班共有名同学，请写出小明被选中为主持人的概率;

（2）小华和小丽被选中介绍宜昌风光，小华从四张照片中随机抽取一张，不放回；小丽再从剩下的照片中随机抽取一张．请用树状图法求小华、小丽两人中恰好有一人抽中“①号三峡大坝”的概率．

20．如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示．已知，，其中两边靠墙，另外两边由米长的栅栏围成．设米，花圃的面积为平方米．

（1）用含有的代数式表示出的长；

（2）求这块花圃的最大面积．

21．中，为边上一点．经过点，与两边分别交于点，连接．

（1）如图1，若，则       ．

（2）如图2，平分，交于点，经过点．

①求证：为的切线；

②若，的半径为，求的长．

22．健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元、已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元．

（1）用含的代数式表示；

（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元．

①求2017年每种套餐的销售量；

②由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加、若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利万元，求的值．

23．已知：是的外接圆，且为上一动点．

（1）如图1，若点是的中点，求的度数．

（2）过点作直线的垂线，垂足为点．

①如图2，若点在上．求证．

②若点在上，当它从点向点运动且满足时，求的最大值．

24．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的边落在轴上，落在轴上，，已知直线．

（1）填空：（______，______）；当直线与正方形没有交点时，的取值范围是______；

（2）当时，已知抛物线顶点在直线上，设抛物线与直线的另一个交点为，过作轴交抛物线于另一点，若，求的值；

（3）在（2）的条件下，抛物线与边所在的直线交于点．

①当点向上运动的过程中，点也随之向上运动，求此时的取值范围，并写出点在最高位置时的坐标；

②若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．

参

1．D

【分析】

根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解．

【详解】

A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、是中心对称图形，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称的知识，掌握好中心对称图形的概念是解题的关键．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

2．A

【分析】

方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．

【详解】

解：方程整理得：2x2-3x-1=0，

所以，二次项系数为2；一次项系数为-3， 

故选：A．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

3．C

【分析】

根据事件发生的可能性大小判断．

【详解】

解：A、任意画一个平行四边形，它是中心对称图形，是必然事件；

B、李师傅买的彩票正好中奖，是随机事件；

C、掷两次骰子，骰子的点数之积为，是不可能事件；

D、翻开一本书，页码是奇数，是随机事件；

故选：C．

【点睛】

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

4．A

【分析】

一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根的条件是：①二次项系数不等于0；②根的判别式△=b2-4ac≥0．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根，

∴△=22-4k≥0，

∴k≤1，

∵k≠0，

∴k的取值范围是：k≤1且k≠0，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

5．D

【分析】

利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解．

【详解】

解：将点绕原点旋转后，得到对应点的坐标是；

故选：D．

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化——旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．

6．B

【分析】

将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据平移的单位可得新抛物线的解析式．

【详解】

解：y=x2+2x+1变为：y=（x+1）2，向右平移1个单位得到的函数的解析式为：y=（x+1-1）2，

即y=x2，再向上平移2个单位后，所得图象的函数的解析式为y=x2+2，

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．

7．A

【分析】

可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”

【详解】

设盒子里有白球x个，

根据 得：

解得：x=32．

经检验得x=32是方程的解．

答：盒中大约有白球32个．

故选；A．

【点睛】

此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．

8．B

【分析】

根据同弧上圆心角与圆周角的关系，求得∠A=60°，利用圆的内接四边形对角互补求解即可.

【详解】

∵∠BOD=120°，

∴∠A=60°，

∵∠A+∠C=180°，

∴∠C=120°，

故选B.

【点睛】

本题考查了圆心角和圆周角关系定理，圆内接四边形的性质，熟记两个定理是解题的关键.

9．A

【分析】

用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解.

【详解】

∵每轮传染平均人会传染个人，

∴2人感染时，一轮可传染2x人，

∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；

∵每轮传染平均人会传染个人，

∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，

∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人；

∴，

故选A.

【点睛】

本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.

10．C

【分析】

再根据两直线平行，内错角相等求出，根据旋转的性质可得，，然后利用等腰三角形的性质求出．

【详解】

∵，，

∴，

∵，为对应点，点为旋转中心，

∴，即为等腰三角形，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是综合利用以上性质找到角度之间的关系．

11．D

【分析】

由，则抛物线在直线的上方，利用图像，即可得到的取值范围．

【详解】

解：由，则抛物线在直线的上方，

∵抛物线与直线的交点坐标为A（1，3），B（6，1），

∴的取值范围是：或；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握抛物线与直线的交点进行解题．

12．

【分析】

求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．

【详解】

解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，

所以黄区域所占的面积比例为，

即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是.

【点睛】

此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件（A）发生的概率．

13．

【分析】

直接把代入方程，即可求出的值．

【详解】

解：∵是关于的一元二次方程的一个根，

∴把代入方程，则

，

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解进行求参数．

14．1

【分析】

利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2AB=2，再根据旋转的性质得AD=AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD=AB=1，然后计算BC-BD即可．

【详解】

∵∠BAC=90°，∠B=60°，

∴∠C=30°，

∴BC=2AB=2，

∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，

∴AD=AB，

而∠B=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴BD=AB=1，

∴CD=BC-BD=2-1=1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

15．或

【分析】

根据图象判断出y1，y2的值，进而可得答案．

【详解】

解：由图象可知，对称轴是直线x=1，

∵点在抛物线上，

∴y1>0，y2=0，

∴或

故答案为：或．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．

16．，．

【分析】

先对一元二次方程进行因式分解，再分别令每一个因式等于零，即可解出方程．

【详解】

或 

，

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解决本题的关键．

17．（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式求解；

（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr=4π，解得r=2，然后根据勾股定理计算OH．

试题解析：（1）扇形AOB的弧长=（cm）；

扇形AOB的扇形面积=（cm2）；

（2）如图，设圆锥底面圆的半径为r，

所以2πr=4π，解得r=2，

在Rt△OHC中，HC=2，OC=6，

所以OH=（cm）．

考点：1.圆锥的计算；2.弧长的计算；3.扇形面积的计算．

18．（1）①如图即为所画，见解析；②如图即为所画，见解析；（2）直角，．

【分析】

（1）①根据平面直角坐标系中图形平移规律向左平移2个单位长度，即A、B、C三点的横坐标均减2，得到的新坐标点，并把其首尾相连即可得到平移后；

②根据图形旋转的特点，逆时针旋转90°，旋转后的图形与原来图全等，且对应边相互垂直，依据此作图即可；

（2）连接，得到三角形，在网格中，利用勾股定理逆定理，可证明为等腰直角三角形；本等腰直角三角形外接圆的直径是该三角形的斜边，则半径为斜边的一半，即可求出其外接圆的半径．

【详解】

（1）①向左平移2个单位后，可得，然后在坐标系中描点、连线，如图即为所画.

②如图即为所画. 

解：∵，

，

∴，

∴为等腰三角形

又∵

∴，

∴

∴为等腰直角三角形

∵等腰直角三角形外接圆的直径是该三角形的斜边，则半径为斜边的一半，

∴

即外接圆的半径．

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中的图形平移与旋转，勾股定理逆定理以及三角形外接圆的有关知识，解答关键是利用数形结合思想解决问题．

19．（1）小明被选中为主持人的概率为；（2）小华、小丽两人中恰好有一人介绍“①号三峡大坝”的概率为．

【分析】

（1）由简单随机事件的概率公式直接可得答案；

（2）先画树状图，得到所有的等可能的结果有种，其中小华、小丽两人中恰好有一人介绍“①号三峡大坝”的结果数有种，从而利用概率公式可得答案．

【详解】

解：（1）班共有名同学，准备选取名主持人，

小明被选中为主持人的概率为：； 

（2）画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中小华、小丽两人中恰好有一人介绍“①号三峡大坝”的结果数有种，

所以小华、小丽两人中恰好有一人介绍“①号三峡大坝”的概率为：．

【点睛】

本题考查的是简单随机事件的概率，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关键．

20．（1）米；（2）当长为米时，花园的面积最大，且最大值为平方米．

【分析】

（1）过点作于点，构造直角三角形，用含有x的代数式表示AH即可得到DC的表达式；

（2）根据梯形的面积公式，构造出面积的二次函数，根据二次函数的性质求解即可.

【详解】

过点作于点，

则四边形为矩形，

∴DC=AH，

∵∠DCB=120°

，

在中，，，

米. 

依题意有： ，

解得： ，

∴，

对称轴：，且开口向下，

∴当时，

 ，

答: 当长为米时，花园的面积最大，且最大值为平方米．

【点睛】

本题考查了梯形的面积，二次函数的最值，直角三角形的性质，熟记梯形的面积公式，灵活构造二次函数是解题的关键.

21．（1）；（2）①见解析；②．

【分析】

（1）由圆周角定理得出∠AEF=90°，证出EF//AB，由平行线的性质得出∠AFE=∠B=45°，由直角三角形的性质即可得出结果；

（2）①连接OD，由角平分线定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠ADO，证出OD//AC，由平行线的性质得出∠ODB=∠ACB=90°，即可得出结论；

②过作于点，根据垂径定理可得AG=3，由勾股定理求出OG的长，然后证明四边形为矩形可得答案．

【详解】

解：（1）∵AF是⊙O的直径，

∴∠AEF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠AEF=∠ACB，

∴EF//AB，

∴∠AFE=∠B=45°，

∴AF=，

故答案为：； 

（2）①连接．

，

．

平分，

，

，

，

．

又，

，

，

又是的半径，

为的切线； 

②过作于点．

由垂径定理得：，

又，

．

，

．

在中，由勾股定理，得：

，

的半径为5，

，

，

．

，

四边形为矩形，

．

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推论，垂径定理，勾股定理，平行线的判定与性质，切线的判定，矩形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，综合性较强，属中考压轴题．

22．（1）（或）；（2）①2017年项套餐销售量为万份，2017年项套餐销售量为万份；② .

【分析】

（1）根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案；

（2）①根据题意，先确定A和B套餐的销售量，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；

②分别求出B套餐2017年、2018年、2019年的盈利，然后列出方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）根据题意，B套餐卖出份，则

，

∴（或）；

依题意得，2017年项套餐销售量为：万份，

项套餐销售量为：万份，

根据题意得： 

解得：

所以2017年项套餐销售量为（万份）

2017年项套餐销售量为(万份）

依题意可知，  

2017年项套餐每份盈利元，

2018年项套餐每份盈利元，

2019年项套餐每份盈利元，

所以根据题意得：

设，则  

解得： 

(不符合题意，舍去）  

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及列代数式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确理解题意，列出方程进行解题．

23．（1）；（2）①见解析；②当点运动到点时取得最大值，此时．

【分析】

（1）先利用等弧所对的圆周角相等得到，再根据点是的中点得到再利用同弧所对的圆周角相等即可得到答案．

（2）①过作于点，证明，再证即可得到；②先连接并延长交于点，根据D点由向点运动且满足，则可以得到点的运动范围在上，根据证明①的方法证明②条件下依然成立，再根据垂径定理即可得出答案．

【详解】

，

是的中点

过作于点

则

又于点

又

又四边形是的内接四边形

又

又

连接并延长交于点，则点的运动范围在上 

理由如下：

如图：过作于点

则

又于点

又四边形是的内接四边形

又

又

是直径，

垂直平分，

当点运动到点时取得最大值，此时．

当点D在上移动时，

∵>，

∴AD>CD，

又∵，

不满足，

∴此种情况不存在．

综上所述当点运动到点时取得最大值，此时．

【点睛】

本题主要考查了圆周角的性质，垂径定理以及圆的动点问题，本题难度较大，综合性较强，解决本题的关键是正确做出辅助线和运用转化思想．

24．（1）2  ；2；或；（2）；（3）①此时的取值范围为（或），；②且（或）．

【分析】

（1）利用OA=OB=2可确定B点坐标，利用AC两点代入直线，求出k的值即可确定范围；

（2）当时，直线，抛物线顶点，利用轴且M,N关于x=m对称表示出M、N的坐标，代入抛物线即可求出；

抛物线、及点E在直线AB上写出坐标，构造yE函数 求出最值与m范围即可；

当抛物线过时，求出m的值分别讨论交点情况确定  ，当抛物线过时，. 求出m的值，讨论交点请款确定，综合且（或）即可．

【详解】

设B(x,y) ∵，

∴x=2，y=2，

,

直线与正方形没有交点时，

C(0,2)与代入函数k=2或-2，

∴或， 

故答案为：,或；

当时，直线，抛物线顶点， 

轴且

又∵M,N关于x=m对称，

， 

将或代入抛物线

则

得：. 

由（2）知抛物线、，

令 ，

当时，（或）时，随着的增大而增大；

当时，，

即此时的取值范围为（或），. 

当抛物线过时，，

解得，

当时，顶点与重合，符合题意；

当时，抛物线为：，

令得：，

此时抛物线与线段有两个交点，分别为，

， 

 当抛物线过时，. 

解得，

当时，已讨论，不符合题意，

当时，抛物线与轴交于，，符合题意，

，

综上：且（或）．

【点睛】

本题考查直线与抛物线参数问题，掌握先确定直线过边界点，再确定范围，利用平行x轴，纵坐标相同，利用MN对称性，设出坐标，代入抛物线确定开口方向与大小，利用直线AB的特征，构造点E的函数，利用配方是关键，确定抛物线与OA有交点，讨论抛物线过O与过A情形，结合此时m的方程可解决问题．