考研数学真题答案

一、选择题:１~8小题，每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合

题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1、设函数在连续，其2阶导函数的图形如下图所示，则曲线的拐点个数为(）

（Ａ）0      (B）1

(Ｃ）2　　　   (D)3

【答案】(C)

【考点】拐点的定义

【难易度】★★

【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此,由的图形可知,曲线存在两个拐点，故选(Ｃ).

2、设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则（)

（A）　 　　 　（B)

（C)　       　(D)

【答案】(Ａ）

【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法

【难易度】★★

【详解】为齐次方程的解，所以2、1为特征方程的根，从而再将特解代入方程得：

3、若级数条件收敛,则与依次为幂级数的:

(Ａ）收敛点，收敛点  　 　（Ｂ）收敛点，发散点   　  

(C）发散点,收敛点 　　  （D)发散点,发散点

【答案】(B）

【考点】级数的敛散性

【难易度】★★★

【详解】因为条件收敛，故为幂级数的条件收敛点，进而得的收敛半径为1，收敛区间为,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间仍为,因而与依次为幂级数的收敛点、发散点.

4、设Ｄ是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则

(A）　    (B)　   　

（Ｃ） 　   (D)

【答案】（D)

【考点】二重积分的极坐标变换

【难易度】★★★

【详解】由得，；由得，

由得，

由得,

所以

5、设矩阵,，若集合,则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为

（A）      （Ｂ)

（C) 　 　  （D）

【答案】(D)

【考点】非齐次线性方程组的解法

【难易度】★★

【详解】

有无穷多解

或且或

6、设二次型在正交变换下的标准形为,其中

,若,则在正交变换下的标准形为

（A）　    (B)

（Ｃ）     (D)

【答案】(A）

【考点】二次型

【难易度】★★

【详解】由，故且:

所以，故选（A)

7、若为任意两个随机事件,则

(A)    　　（B)

(C） 　   　(D)

【答案】(C)

【考点】

【难易度】★★

【详解】

故选

8、设随机变量不相关,且则

（Ａ）－3     （B)３     （C）-5    　（Ｄ）5

【答案】（D）

【考点】

【难易度】★★★

【详解】

二、填空题：9~14小题,每小题４分，共２４分．请将答案写在答题纸指定位置上．

9、

【答案】

【考点】极限的计算

【难易度】★★

【详解】

10、

【答案】

【考点】积分的计算

【难易度】★★

【详解】

11、若函数由方程确定，则.

【答案】

【考点】隐函数求导

【难易度】★★

【详解】令，则,，,又当时，,所以，,因而

1２、设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域，则

【答案】

【考点】三重积分的计算

【难易度】★★★

【详解】由轮换对称性，得

其中为平面截空间区域所得的截面,其面积为.所以

1３、n阶行列式

【答案】

【考点】行列式的计算

【难易度】★★★

【详解】按第一行展开得

14、设二维随机变量服从正态分布,则.

【答案】

【考点】

【难易度】★★

【详解】，且

,

三、解答题：15~2３小题，共９4分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、(本题满分１0分)

设函数,,若与在是等价无穷小,求,,值。

【考点】等价无穷小量，极限的计算

【难易度】★★★

【详解】

是等价无穷小

１6、(本题满分10分）

设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及x轴所围成的区域的面积为4，且，求的表达式.

【考点】微分方程

【难易度】★★★

【详解】如下图:

处的切线方程为：

与轴的交点为:时,,则，

因此，．即满足微分方程：，解得:.

又因，所以，故.

１７、（本题满分１0分)

已知函数,曲线,求在曲线上的最大方向导数.

【考点】方向导数，条件极值

【难易度】★★★

【详解】根据方向导数与梯度的关系可知,方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模．，故

故在曲线上的最大方向导数为,其中满足，即就求函数在约束条件下的最值.

构造拉格朗日函数

令可得

其中

综上根据题意可知在曲线上的最大方向导数为.

18、(本题满分1０分）

(Ⅰ）设函数可导，利用导数定义证明

(Ⅱ)设函数可导，写出的求导公式.

【考点】导数定义

【难易度】★★

【详解】

19、（本题满分10分)

已知曲线的方程为起点为，终点为，计算曲线积分

【考点】曲线积分的计算

【难易度】★★★

【详解】曲线的参数方程为从到

20、（本题满分11分)

设向量组是3维向量空间的一个基，，，。

(Ⅰ）证明向量组是的一个基;

(Ⅱ）当k为何值时,存在非零向量在基与基下的坐标相同,并求出所有的。

【考点】线性无关,基下的坐标

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ)

因为，

所以线性无关，是的一个基。

（Ⅱ)设,为从基到基的过渡矩阵,又设在基下的坐标为,则在基下的坐标为,

由,得,即

由,得，并解得为任意常数。

从而为任意常数。

21、（本题满分11分)

设矩阵相似于矩阵.

（Ⅰ)求的值．

（Ⅱ）求可逆矩阵,使得为对角阵．

【考点】相似矩阵，相似对角化

【难易度】★★★

【详解】由相似于

则解得

当

特征向量

当

则特征向量所以得

22、(本题满分11分)

设随机变量的概率密度为

对进行重复的观测,直到第２个大于3的观测值出现时停止,记为观测次数.

(Ⅰ）求的概率分布;

(Ⅱ)求.

【考点】

【难易度】★★★★

【详解】

（)

（)

设级数

所以

23、（本题满分11分）

设总体的概率密度为

其中为未知参数,为来自该总体的简单随机样本．

（Ⅰ)求的矩估计.

（Ⅱ）求的最大似然估计.

【考点】

【难易度】★★★

【详解】由题可得()

（)联合概率密度

,故取