第6讲 幂函数与二次函数

【复习要求】

本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．

基础梳理

1．幂函数的定义

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．

2．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，

y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象分别如右图．

3．幂函数的性质

②当时，幂函数都通过原点，并且在上是增函数

当时，在上是减函数

③当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数

4. 二次函数的解析式三种形式

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)       (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)

(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

4.二次函数的图象和性质

1.已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于(　　)．

A．3      B．2或3      C．2      D．1或2

2.函数对任意的x均有，那么、、的大小关系是（     ）

 A．                B． 

C．                D． 

3.函数的值域是（       ）

A．       B．       C．        D．

4.如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)．

A．－2，－，，2      B．2，，－，－2

C．－，－2,2，      D．2，，－2，－

5.如果二次函数在区间上是减函数，那么的取值范围（     ）    A     B      C    D   

6.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（    ）

A．14元               B． 15元             C．16元         D． 18元

7.函数y=cos2x+sinx的值域是__________．

8.函数满足，则_______

9.已知函数为偶函数，且，则实数=______

10.已知函数对于，在区间上，将的最大值表示为的函数，则=___________

题型一　二次函数的图象

【例1】►设abc＞0，二次函数

f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)．

【例2】►二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　）

题型二  求二次函数的解析式

【例1】►已知是二次函数，且，且的两根之差等于7，求二次函数的解析式。

题型三　二次函数的性质

【例1】►函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．

(1)试写出g(t)的函数表达式；

(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．

二次函数y＝ax2＋bx＋c，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；二次函数y＝ax2＋bx＋c，在[m，n]上的最值需要根据二次函数y＝ax2＋bx＋c图象对称轴的位置，通过讨论进行求解．

【例2】►已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)求函数f(x)的最大值．

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．

【例3】►已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)

题型四　幂函数的图象和性质

【例1】►已知幂函数(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．

【例2】 幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝(　　)．

A．1           B．2          C．3             D．无法确定