2021年中考数学专题复习：规律探究题

规律探究题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探究规律 .它体现了“从特殊到一般(再到特殊)”数学思想方法，考查分析、解决问题的能力和观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．规律探究题问题常以填空题、选择题的压轴题形式出现．

一、探究数字或算式的变化规律

1. 计算＋＋＋＋…＋的结果是(　　)

A.　           B.             C.　             D.

2．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位数字是(　　)

A．0　           B．1             C．7　            D．8

3．将正整数1至2 018按一定规律排列如下表：

A．2 019　       B．2 018　       C．2 016　        D．2 013

4．已知2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，5＋＝52×…若10＋＝102×符合前面式子的规律，则a＋b＝________.

5．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是(　　)

A．2S2－S       B．2S2＋S        C．2S2－2S       D．2S2－2S－2

6．观察“田”字中各数之间的关系：

7．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是________．

8．下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，……，第n个数记为an，则a4＋a200＝________．

9. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是________．

10．(2019·安徽)观察以下等式 ：

第 1个等式 ：＝＋，

第 2个等式 ：＝＋，

第 3个等式 ：＝＋，

第 4个等式 ：＝＋，

第 5个等式 ：＝＋，

……

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第 6个等式： ________________；

(2)写出你猜想的第 n个等式： ________________(用含 n的等式表示 )，并证明．

11．观察下列一组数：

a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，

它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝________(用含n的式子表示)．

二、探究图形的变化规律

1．如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是(　　)

2．如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为(　　)

A．28           B．29　           C．30　          D．31

3．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10…)和“正方形数”(如1，4，9，16…)，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为(　　)

A．33　         B．301　          C．386　         D．571

4．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2 020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2 020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是(　　)

A．C，E        B．E，F           C．G，C，E      D．E，C，F

5．如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　　)

A．2 017π       B．2 034π        C．3 024π        D．3 026π

6．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2 018层的三角形个数为________．

7．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝________. 

第1幅　第2幅　第3幅　　  第n幅

8．如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D(不与点A，C重合)处，折痕是EF. 

,图1),图2),图3)

如图1，当CD＝AC时，tan α1＝；

如图2，当CD＝AC时，tan α2＝；

如图3，当CD＝AC时，tan α3＝；

……

……

……

依次类推，当CD＝AC(n为正整数)时，tan αn＝__________.

9．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4(D1E1＋D2E2＋…＋D2019E2019)＋5(D1F1＋D2F2＋…＋D2019F2019)＝________.

三、探究坐标的变化规律

1．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是(　　)

A．(1010，0)　  B．(1010，1)　     C．(1009，0)　   D．(1009，1)

2．我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为(　　)

A．(－6，24)     B．(－6，25)      C．(－5，24)      D．(－5，25)

3．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1，0)，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为_______________．

4．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点A1作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5……依次进行下去，则点A2 018的横坐标为________．

5．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n＋1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为____________．(n为正整数)

6．如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝(x>0)的图象上，点A2、A4、A6…在反比例函数y＝－(x>0)的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则An(n为正整数)的纵坐标为______________________________________．(用含n的式子表示)

7．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是____________．

参

一、探究数字或算式的变化规律

1.B　2.A　3.D　4. 109　5. A　6. 270(或28＋14)　7. 2 018　8. 20110　9. 4

10．(1)＝＋　(2)＝＋　

证明：∵右边＝＋＝＝＝左边．∴等式成立 .

11. 　

二、探究图形的变化规律

1. D　2.C　3. C　4. D　5. D　6. 4 035　7. 1 010　8. 　9. 40 380　

三、探究坐标的变化规律

1.C　2.B　3. (－22 017，22 017)　4. 21 008　

5. (n，)　

6. (－1)n＋1(－)或

7. (2n－1)