云南省2019届高三第二次高中毕业生复习统一检测文科数学试卷附答案解析

2019年云南省第二次高中毕业生复习统一检测

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（   ）

A.  

C.  

【答案】D

【解析】

【分析】

由题求得集合T，再利用交集的定义求得结果.

【详解】由题，求得集合 ，所以

故选D

【点睛】本题主要考查了交集的概念，属于基础题.

2.已知为虚数单位，设，则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A. 第一象限    B. 第二象限

C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

直接对复数进行化简，求得，得出结果.

【详解】复数，在复平面中对应的点为（2，-2）

在第四象限

故选D

【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.

3.已知是角终边上的点，则（   ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

由题，先求出r，再利用公式，得出答案.

【详解】由题，求得， 

故选C

【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于基础题.

4.在等比数列中，若，，成等差数列，则数列的公比为（   ）

A. 0或1或-2    B. 1或2

C. 1或-2    D. -2

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意，可得，再利用等比的通项，可得，解出答案即可.

【详解】由题，，，成等差数列，所以 

又因为等比数列，即，解得或

【点睛】本题考查了等差等比的性质，解题的关键是不要把性质弄混淆了，属于基础题型.

5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（   ）

A. 3    B. 4    C. 5    D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】

由题，根据程序框图的定义，结合对数的运算，求得满足题意的结果即可.

【详解】输入n=1,S=0，可得S=，n=2,S<3，

S=，n=3,

S=,n=4

故输出n=4

故选B

【点睛】本题主要考查了程序框图的算法以及对数的运算，属于基础题.

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（  ）

A.     B.     C.     D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】

由题，得知几何体是三棱锥，再求出表面积即可.

【详解】由题，该几何体是一个侧面垂直底面，且底面和侧面都是等腰直角三角形的三棱锥，如图，面SAC垂直面ABC的三棱锥；

所以 

故选A

【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，还原几何体是解题的关键，属于基础题.

7.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取学生（   ）

A. 200人    B. 300人

C. 320人    D. 350人

【答案】B

【解析】

【分析】

由分层抽样的定义，按抽样比列式可得解.

【详解】由分层抽样可得高三抽的： 

故选B

【点睛】本题考查了分层抽样的定义，属于基础题.

8.已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（   ）

A. 2    B. 6

C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

由题，求得圆的圆心和半径，易知直线：过圆心，求得a=-1，再利用切线的性质求得，得出答案.

【详解】由题，可得圆C的标准方程：，直线：是圆：的对称轴，故过圆心，即2+a-1=0，可得a=-1，

所以 ，半径r=2

所以 

故选B

【点睛】本题考查了直线与圆的的定义，性质以及位置关系，属于中档题型.

9.已知点，，，.若点在轴上，则实数的值为（  ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

利用坐标表示平面向量的运算，又因为点P在y轴上，即横坐标为0，可得结果.

【详解】由题，可得 

所以 

点在轴上，即 

故选A

【点睛】本题主要考查了向量坐标表示以及运算，属于基础题.

10.已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（   ）

A. 16    B. 15

C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

由题，棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，利用球的表面积求得球半径，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得体积即可.

详解】由题， ，

因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，

故三棱柱的高 

故体积 

故选A

【点睛】本题考查了棱柱的外接球的问题，解题的关键是找球心的位置，求出棱柱的高，属于中档题型.

11.若椭圆：的上、下焦点分别为、，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，线段的中点的纵坐标为0，则椭圆的离心率等于（   ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

先由题，得出和渐近线方程，再利用线段的中点的纵坐标为0，求得P点的坐标，再带入椭圆方程求得，得出离心率即可.

【详解】由题，易知椭圆E的交点 

双曲线一条渐近线方程为： 

因为的中点纵坐标为0，故点P的纵坐标为

点P在双曲线的一条渐近线上，带入可得点 

再将点P代入椭圆方程： 

解得 

所以离心率 

故选C

【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，性质，渐近线，离心率，本题的计算量较大，这是本题的易错点，属于中档偏上的题型.

12.已知，，，则，，的大小关系为（   ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

先由题，易知，而，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.

【详解】因为，故

所以 ，即 

故选D

【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为_______．

【答案】

【解析】

分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，可知是一个封闭的三角区，结合目标函数的类型，可知其为截距型的，分析找到动直线过哪个点时使得目标函数取得最大值，联立方程组，求得对应点的坐标，代入目标函数解析式，最后求得最大值.

详解：画出可行域可知，当目标函数经过点时取到最大值，最大值为

.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解决该题的关键是根据题中的约束条件画出相应的可行域，之后根据目标函数的类型，确定其几何意义，结合图形，判断出目标函数在哪个点处取得最大值，即最优解是哪个点，代入求值即可.

14.已知平面向量与平面向量的夹角为，若，，，则__________．

【答案】或

【解析】

【分析】

先由题根据向量的运算求得，再求得，然后分和求得答案即可.

【详解】因为 

因，所以 

当时，

当时，

故答案为或

【点睛】本题考查了向量的计算数量积的运算等，熟悉公式是解题的关键所在，属于较为基础题.

15.已知函数在上是单调递增函数，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先由辅助角公式化简得=，再根据单调性求得m的取值，再求出的取值范围.

【详解】函数= 

由 

故在区间是单调递增的，

当k=0，在区间是单调递增函数，则 

 ，而 

所以 

所以 

故答案为

【点睛】本题考查了三角函数的图像以及性质和恒等变化，熟悉三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.

16.已知数列的前项和为，若，则使成立的的最大值是_____．

【答案】5

【解析】

【分析】

先由数列求得，再构造等比数列求得，然后可求得，再代入求得n的取值即可.

【详解】因为可得：

两式相减可得：化简可得：

即

所以数列是以为首项，公比为2的等比数列

当n=1时，求得 

所以即

所以即解得 

所以成立的的最大值是5

故答案为5

【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，用到了以及待定系数法，求出通项是解题的关键，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.在中，内角，，所对的边分别为，，且.

（1）求；

（2）若，当的面积最大时，求，.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理进行化简可得，求得；

（2）由，，结合余弦定理求得，再由面积公式，求得答案即可.

【详解】解：（1）∵，

∴.

化简得.

∴.

∵，

∴.

（2）∵，，

∴.

∵，

∴.

∴.∵当时，，

即时，.

∴的最大值为，此时，.

【点睛】本题主要考查了用正余弦定理解三角形，合理熟练运用公式是解题的关键，属于基础题.

18.在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评.下表是被抽检到的5所学校、、、、的教师和学生的测评成绩（单位：分）：

（2）现从、、、、这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，求、两所学校至少有1所被选到的概率.

附：，.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由题求出，，再求得，，代入求得回归方程为；

（2）由题从、、、、这5所学校中随机选2所，共10种，、两所学校至少有1所被选到有7种，求得概率即可.

【详解】解：（1）依据题意计算得：

，

，

，

，

，

.

∴所求回归方程为.

（2）从、、、、这5所学校中随机选2所，具体情况为：

，，，，，，，，，，一共有10种.

、两所学校至少有1所被选到的为：

，，，，，，，一共有7种.

它们都是等可能发生的，所以、两所学校至少有1所被选到的概率.

【点睛】本题考查了线性回归方程和概率的综合，计算仔细是解题的关键，属于基础题.

19.如图，在斜三棱柱中，，四边形是菱形，.

（1）求证：；

（2）若平面平面，，，求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）取的中点，连接，，，易证，再证得，可得

平面，即；

（2）由题，求得是到平面的距离，再利用等体积法=，即可求得点到平面的距离.

【详解】（1）证明：取的中点，连接，，.

∵，∴.

∵是菱形，，

∴，.

∴是正三角形.

∴.

∵平面，平面，，∴平面.

∵平面，∴.

（2）解：∵，，∴是以为底的等腰直角三角形.

∵是菱形，，∴，，.

∴.

∵平面平面，平面平面，

平面，，∴平面.

∴是三棱柱的高，即是到平面的距离.

∵平面，∴.∴.

在三棱柱中，，，

.

∴，.

由得.

∴点到平面的距离为.

【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理以及性质定理，以及利用等体积法求体积可得到点面距离的方法，属于中档题.

20.已知是坐标原点，抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交抛物线于、两点，为抛物线的准线上一点，且.

（1）求点的坐标；

（2）设与直线垂直的直线与抛物线交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，设直线与交于点，若，求外接圆的标准方程.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由题易知直线的方程为：，设，联立，可得

，又因为，可得建立方程求得，可得结果；

（2）设出直线：，即可已知得：，：，联立方程求得点，利用向量数量积为0，解得，代入可得OM垂直ON，即为外接圆的直径，最后求得答案即可.

【详解】解：（1）由已知得直线的方程为：，设.

由得，.∴.

由得.

∴，解得.

∴点的坐标为.

（2）设，，直线：，

由已知得：，：，

解得.∴.

由得.由题意得，即.

∴，.

∵，∴，解得.∴，

∴.∴.∴为外接圆的直径.

又∵，

 ，

∴外接圆的圆心为，半径为.

∴外接圆的标准方程为.

【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合知识，理解题意，分析转化是解题的关键，属于难题.

直线与圆锥曲线解题步骤：

(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；

（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；

（3）转化，由题已知转化为数学公式；

（4）计算，细心计算.

21.已知函数.

（1）证明：当时，；

（2）若有极大值，求的取值范围；

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）当时，，，，则，讨论单调性易知当时，，在上单调递增，故，即

（2）.由有极大值得有解，且，，则，然后分别对其单调性以及极值最值的讨论，求得的取值范围为

【详解】（1）证明：当时，，，

令，则.

∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.

∴当时，.

∴当时，，在上单调递增.

∴当时，，即.

（2）解：由题设得.由有极大值得有解，且.

令，则.由得.

∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.

∴.

当，即时，，即，此时，在上单调递增，无极值；

当，即时，

∴，.

由（1）知：，即.

∴存在，，使.

∴当时，，即单调递增；当时，，

即单调递减；当时，，即单调递增.

∴是唯一的极大值点.

综上所述，所求的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了导函数的应用，两个小问都会运用到二次求导，所以对于二次求导以及极值最值的应用是解题的关键，第二问也能用参变分离，会更简单一些，学生可以下来自行解决一下，属于中档偏上题目.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，点在曲线：（为参数）上，对应参数为.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为.

（1）直接写出点的直角坐标和曲线的极坐标方程；

（2）设，是曲线上的两个动点，且，求的最小值.

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】

（1）由极坐标公式可得的直角坐标为，将点代入求得k=1，m=2，则曲线方程，求得极坐标方程；

（2）设，，易知，，所以，时，的最小值为.

【详解】解：（1）点的直角坐标为，

曲线的极坐标方程为.

（2）由（1）知曲线：.

由，是曲线上的两个动点，且，

不妨设，，且，

.

∴

.

当时，.

∴的最小值为.

【点睛】本题考查了参数方程与极坐标方程的综合知识，熟悉方程之间的转化以及极坐标方程的定义是解题的关键，属于中档题.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）设，若关于的不等式的解集非空，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由题，可得，解得答案解集为；

（2）的解集非空，即有解，分，，三种情况讨论求解即可.

【详解】解：（1）由得，即或.

解得或.

由得，不成立.

∴无实数解.

∴原不等式的解集为.

（2）∵的解集非空，即有解，

当时，由得，，

∴当时，无解.

①当时，不等式化为.

∵函数在上为单调递减函数，

∴当时，的最小值为.

∴.

②当时，由得，

而（时，等号成立）

即的最小值为4.

∴.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】本题考查了不等式的选讲，绝对值不等式的解法以及不等式恒成立的问题，属于中档题.