2021年高考全国乙卷数学试题及答案(文科)

（全国乙卷）

一、选择题：本小题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4}，则=（    ）

A.{5}       B.{1，2}       C.{3，4}      D.{1，2，3，4}

答案：A

2.设iz=4+3i，则z=（    ）

A.-3-4i    B.-3+4i   C.3-4i    D.3+4i

答案：C

3.已知命题p：命题；命题q：，则下列命题中为真命题的是（    ）

A.        B.     C.     D.

答案：A

4.函数的最小正周期和最大值分别是（      ）

A.   B.    C.   D.  

答案：D

5.若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（      ）

A.18   B.10   C.6   D.4

答案：C

6.（     ）

A.       B.     C.    D.

答案：D

7.在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（   ）

A.       B.      C.     D.

答案：B

8.下列函数最小值为4的是（    ）

A.  B.   C.   D.y=

答案：C

9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ）

A.f（x-1）-1      B.f（x-1）+1     C.f（x+1）-1     D.f（x+1）+1

答案：B

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，p为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成角为（   ）

A.      B.    C.     D.

答案：D

11.设B是椭圆C:，点P在C上，则的最大值为

A.      B.     C.    D.2

答案：A

12.设，若x=a为函数的极大值点，则（    ）

A.   B.   C.  D.

答案：D

当，f（x）大致图像如下图左所示，易得，当，f（x）大致图像如下图右所示，易得

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a=（2,5），，若，则=            .

答案：

14.双曲线的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为             .

答案：

15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=60°，，则b=            .

答案：

16.以图①为正视图，在图②③③⑤中选择两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为            （写出符合要求的一组答案即可）.

答案：③④或②⑤

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17、（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

（1）求为，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）。

答案：（1）=10，=10.3，=0.036，=0.04

（3）由（1）中的数据可得-=10.3-10=0.3，

则0.3=，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

18.（12分）

如图，四棱锥的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.

（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；

（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD的体积；

答案：（1）略；（2）

19.（12分）设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.

（1）求和的通项公式；

（2）记分别为和的前n项和，证明：

答案：（1）设的公比为q，则

          因为，，成等差数列，所以，解得

故，

（3）由（1）得

又，则，

两边同乘，则

两式相减，得

即

整理得

，故

20.（12分）

已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足,求直线OQ斜率的最大值.

答案：（1） 

（2）设点P，，F(1,0)

则，

因为，所以

那么，

又因为点P在抛物线上，，所以，则点Q的轨迹方程为

设直线OQ的方程为y=kx，当直线OQ和曲线相切时，斜率最大，

联立直线与曲线方程，此时，得

相切时，，解得，

所以直线OQ斜率得最大值为

21.（12分）已知.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）求曲线y=f（x）过坐标原点的切线与曲线y=f（x）的公共点的坐标.

答案：（1）当时，f（x）在R上单调递增；

当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

（2）（1，1+a）和（-1，-1-a）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标xoy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1.

（1）写出⊙C的一个参数方程；

（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

答案：（1）⊙C的参数方程为

（3）

23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集.

（2）若f（x）＞-a，求a的取值范围.

答案：（1）；（2）