实验报告 用动态法测定金属的杨氏模量

物理科学与技术学院  13级弘毅班吴雨桥  2013301020142

【实验原理】

对于长度L≫直径d、两段自由地做微小横振动的均匀细棒，其振动满足方程

+=0

式中，ρ为棒的密度，S为棒的截面积，J=dS称为惯量矩（取决于截面的形状），E为杨氏模量，y为棒振动的位移，x为位置坐标，t为时间变量。

用分离变量法解方程，令y（x，t）=X(t)T(t)代入方程，有

=

解得该振动方程的通解为

y（x，t）=（B1chKx+B2shKx+B3cosKx+B4sinKx）Acos（ωt+φ）

式中

ω = 

称为频率公式。频率公式对任意形状的截面、不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K，带入特定截面的惯量矩J，就可以得到具体条件下的计算公式。如果悬线悬挂在试样的节点（处在共振状态的棒中，位移恒为零的位置）附近，则棒的两端均处于自由状态。此时其边界条件为自由端横向作用力F和弯矩M均为零，即

  F=- =- EJ=0

弯矩

M=EJ=0

故有

|x=0=0  |x=l=0  |x=0=0  |x=l=0

将通解代入边界条件，可以得到cosKl*chKl=1，可用数值解法求得本征值K和棒长l应满足Kl=0，4.730，7.853，10.996，14.137。。

一般将K1l=4.730所对应的频率称为基频频率。

试样在做基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面为0.224l和0.776l处。将第一本征值K1=代入频率表达式，得到自由振动的固有圆频率（基频）

ω = 

解出杨氏模量

 E=7.8870*

对于直径为d的圆形棒，惯量矩

J=dS=S(=

代入上式可得

E=1.6067

式中，l为棒长，d为棒的直径，m为棒的质量，f为试样共振频率。在国际单位制中杨氏模量E的单位为N.

实际上，E还和试样的直径与长度之比d/l的大小有关，所以乘以一个修正因子R，则有

E=1.6067R

当l≫d时，R≈1；当l≫d不成立时，圆棒的R可查表

试样R与d/l的关系

实验中，由于细丝对试样的阻尼，所检测的共振频率大小是随悬挂点的位置而变的。理论上，测量试样的基频振动时，悬挂点应在节点处，即悬点距端点0.224l和0.776l处。但是在这种情况下，棒的振动无法被激发，振幅为零，在示波器上只能看到一条直线。欲激发棒的振动，悬点必须离开节点位置，故采用外延法测量试样的基频，即测量节点周围的点的振动频率，利用他们作图延伸至节点位置，从图像上得到试样的基频。（外延法：指所需要的数据在测量范围之外，一般较难测量，为了求得这个值，利用已得的数据绘制出曲线，再将曲线按原规律延长到待求值范围，在延长线部分求得所需的值。此方法只适用于在所研究范围内没有突变的情况。）

【实验仪器】

功率函数信号发生器、换能器(两个)、示波器、温控器、天平、游标卡尺、螺旋测微器、测试架、待测试样等。

本实验的基本问题是测量在一定温度下试样的共振频率f。实验中采用悬挂法。由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在换能器1上。通过换能器把电信号转变成机械振动，再由悬线（或支撑物）把机械振动传给试样，使试样做横向振动。试样另一端的悬线（或支撑物）把机械振动传给换能器2，这时机械振动又转变成电信号。该信号输入示波器中显示。

当信号发生器的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有波形和波形很小。当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，示波器的波形突然增大，这时频率计上读出的频率就是试样在该温度下的共振频率f。将此f值代入，即可计算出该温度下的杨氏模量。

若将试样置于可控温加热炉中，不断改变加热炉的温度，即可测出不同温度下的杨氏模量。

【实验内容】

1.测量试样的长度l、直径d和质量m

用米尺测量试样的长度l；用游标卡尺测量试样的直径d（注意在不同的部位和不同的方向多次测量）；用电子天平称量试样的质量m。为提高测量精度，以上各量至少测量5次，记入表中。

2.测量试样在室温时的共振频率f

(1)室温下铜和不锈钢的杨氏模量分别为1.2*N*和2*N*，估算出共振频率f，以便寻找共振点。

(2)安装试样棒，对称悬挂并保持试样水平，悬丝与试样垂直，选择适当的悬丝长度。

(3)将仪器连接好，并调整仪器到正常状态。

(4)从试样端点开始，两悬点同时向中间移动，每间隔5mm测量一次共振频率f，记录在表中。每次测量时，调节信号发生器的输出频率，使示波器上观察到的共振峰的幅度达到最大值，此时信号发生器的输出频率即为该点的共振频率。

(5)真假共振峰的判别（鉴频）

在寻找共振频率时，调节信号发生器要极其缓慢，到共振频率附近时改用“频率微调”旋钮调节，换能器及整个系统都有自己的共振频率，换能器2的输入伴随有许多次极大值，故测量时一定要找到真的共振峰进行测量。

1）峰宽判别法。真的共振峰的频率范围很窄，细微地改变信号发生器的输出频率，共振峰的幅度就会发生突变：假的共振峰频率范围很宽。

2）幅度判别法。用手将试样托起，如果是干扰信号，则示波器上正弦波幅度不变；如果是共振信号，则共振信号的周期不变，幅度逐渐衰减。

3）声音判别法。发生共振时，拾振器会发生尖锐的啸叫。

3.测杨氏模量

将试样棒放入到加热炉中，升温后测出不同温度下的共振频率。

【数据处理】

 Fe

回归方程f=0.009286x^2-0.36x+751

所以Cu的共振频率为f1=751Hz

回归方程f=-0.0002x^3+0.023x^2-0.839x+842.7

所以Fe的基频f1=842.7Hz

对于Cu，Ur=0.001674   E平均=9.875*1010  Ue=Ur*E平均=1.653*108E=E平均±Ue=9.875*1010±1.653*108

对于Fe，Ur=0.0068   E平均=2.02*1011Ue=Ur*E平均=1.374*109E=E平均±Ue=2.02*1011±1.374*109

【误差分析】

1.系统误差

(1)仪器误差：

1）m、l、d、f的测量因为仪器的精度问题有一定的不确定度。

  2）金属棒上的标定刻度线有一定误差。

  (2)理论误差

1）理论中使用了近似估计

2）理论中用了图像法，必定会产生一定的误差。

 2.随机误差

 1）读数时有一定的误差。

2）温度等对各个物理量的大小有一定的影响

【注意事项】

1.试样不可随意乱放，一定要保持清洁。

2.悬挂试样时，悬丝必须将试样捆紧。测量时应尽量避免试样摆动。

3.实验中拿放东西要轻，不可敲击桌面和大声说话，以免对实验造成影响。