2017届河南省新乡市高三第二次模拟测试 数学(理)试卷(带解析)

2017届河南省新乡市高三第二次模拟测试 数学（理）试卷（带解析）

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

A.     B.     C.     D. 

2．设，若复数（是虚数单位）的实部为2，则复数的虚部为（    ）

A. 7    B. -7    C. 1    D. -1

3．已知向量，，若，则实数等于（    ）

A. -4    B. 4    C. -2    D. 2

4．设，，，则的大小关系是（     ）

A.     B.     C.     D. 

5．执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）

A.     B.     C.     D. 

6．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（    ）

A. 100,8    B. 80,20    C. 100,20    D. 80,8

7．已知双曲线：的右焦点为，点是虚轴上的一个顶点，线段与双曲线的右支交于点，若，且，则双曲线的方程为（     ）

A.     B.     C.     D. 

8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A.      B.     C.     D. 

9．设函数，若方程恰好有三个根，分别为（），则的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D. 

10．若实数满足，且的最小值为，则等于（    ）

A.     B.     C. 1    D. 

11．已知正三角形的三个顶点都在球心为、半径为3的球面上，且三棱锥的高为2，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D. 

12．函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”．设曲线上不同的两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是（     ）

A.     B.     C.     D. 

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

14．已知点是抛物线上的两点，，点是它的焦点，若，则的值为__________．

15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题: “今有人持金出五关，前二关而税一，次关而三税，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.  问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的关所收税金之和，恰好重斤. 问原本持金多少? ” 若将題中“关所收税金之和恰好重斤，问原本持金多少? ”改成““假设这个人原本持金为，按此規律通过第关” ，则第关需收税金为__________．

16．在中，角所对的边分别是，，且，则面积的最大值为__________．

（1）求数列的通项公式以及；

（2）若，，成等差数列，求实数的值．

18．如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．

（1）求证：；

（2）若，的中点为，求二面角的余弦值．

19．在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”，某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：

（1）求数学成绩关于物理成绩的线性回归方程（精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；

（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量的分布列及数学期望．

（参考公式：，）

参考数据：，

.

20．设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且恰好是线段的中点．

（1）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若正实数满足，证明：．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．

参

1．B

【解析】因为，所以，应选答案B。

2．D

【解析】因为，所以由题设可得，即，则其虚部为，应选答案D。

3．C

【解析】由题设可得，即共线（平行），所以，应选答案C。

点睛：本题旨在考查平面向量及平行位置关系等有关知识的综合运用，检测等价化归与转化的数学思想运算求解能力和分析问题解决问题的能力。

4．B

【解析】由于，所以三数的大小关系是，应选答案B。

5．C

【解析】由题设中提供的算法流程图中算法程序可知：因， 故；又，故；因，故；因，故；由于，运算程序结束，应输出，应选答案C。

6．A

【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是，其中对四居室满意的人数为，应选答案A。

7．D

【解析】设，则，故由题设可得，即代入椭圆方程可得：，又，故，即，所以，应选答案D。

点睛：本题以双曲线的的有关知识为背景，旨在考查双曲线的标准方程与几何性质等基础知识的综合运用及掌握程度，求解时先借助题设条件中的向量满足的条件，运用向量的坐标形式建立方程，最后通过解方程使得问题获解。

8．C

【解析】由题设中三视图提供的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与一个等高三棱锥的组合体，其中三棱柱与三棱锥的底面都是直角边长为的等腰直角三角形，所以其体积，应选答案C。

9．B

【解析】因为，所以，则由题意可知，即，同时，即，故，即，应选答案B。

点睛：解答本题的关键是要充分借助题设条件信息及方程的三个实数根的几何特征，巧妙借助图形的对称性与直观性，建立不等式使得问题巧妙获解。

10．C

【解析】

画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线经过点时，动直线在轴上的截距最大，取得最小值，即，应选答案C。

11．A

【解析】

如图，设正三角形的边长为，中心为，由题设可知，则，即，又由实际意义可知以为圆心为半径的圆的截面的面积最小，其最小值为，应选答案A。

点睛：解答本题的关键是充分借助题设条件，先正三角形的边长，进而求出该三角形的外接圆的半径，借助球心距、截面圆的半径、球半径之间的关系求出等边三角形的边长，依据实际意义求出截面面积的最小值。

12．A

【解析】因为，所以；又因为，所以，则，应选答案A。

点睛：本题中新定义了一个“弯曲度”这一新信息与新概念。求解时要充分借助这一新概念的外延与内涵。逐步探求不等式恒成立的条件，最终求出参数的取值范围使得问题获解。

13．-2

【解析】因二项式定理的通项公式为，则，故，应填答案。

14．10

【解析】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故，应填答案。

15． 

【解析】由题设可知第一关需收税金，第二关需收税金，第三关需收税金，则以此规律可推测到第八关时，应收税金为，应填答案。

16． 

【解析】由题设及余弦定理可得，又由余弦定理可得，即，又因为，所以，由可得，所以三角形的面积，应填答案。

点睛：解答本题时，要充分利用题设中的有效信息，先运用余弦定理将三角形角的关系转化为边的关系，建立方程求出边，进而又借助余弦定理建立边的方程，运用基本不等式求出三角形面积函数的最大值使得问题获解。

17．（1）；（2）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用错位相减求和法进行求解；（2）借助题设条件建立方程分析探求：

（1）由，得，

又，故，从而.

，

，

两式相减并整理得：.

（2）由（1）可得：，，，

又因为成等差数列，

所以，解得：.

18．（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：证明线线垂可寻求证明线面垂直，取取中点，连接，，利用条件证明平面.以为坐标原点，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值. 

试题解析：

（1）证明：连接，，则和皆为正三角形．

取中点，连接，，则，，从而平面，．

（2）解：由（1）知，，又满足所以，平面．

如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的法向量为，因为，，

所以取．

设平面的法向量为，因为，，

同理可取．

则，因为二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为．

【点睛】证明线线垂直一般来说寻求线面垂直，利用线面垂直的性质定理，说明线线垂直，另外也可由面面垂直得到，证明垂直问题时，要寻求垂直方面的条件，除了根据有关垂直的定理、性质外，有时还需要数据计算利用勾股定理判断垂直关系.建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角属于常规方法，考生应在“熟练+准确”上下功夫.

19．（1），当时，;

（2）所以随机变量的分布列为

【解析】（【试题分析】（1）依据题设条件线性回归方程的知识求解；（2）借助题设条件运用随机变量的概率分布及随机变量的数学期望公式求解：

1），，

，

，

所以，当时，.

（2）随机变量的可能取值为1,2,3，

而，，，

所以随机变量的分布列为

20．（1）；（2）为定值，且定值为.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程求解；（2）运用直线与椭圆的位置关系进行分析推证：

解析：（1）由题意知：，是线段的中点，设，，则，因为，

所以.

由题意知：外接圆的圆心为斜边的中点，半径等于.

因为过三点的圆恰好与直线相切，所以到直线的距离等于半径，即，解得，，，

所以，椭圆的方程为.

（2）设，直线的方程为，由消去得：

，

所以，，

由三点共线可知：，即，

同理可得：，所以，

因为，

所以，故为定值，且定值为

点睛：椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高考重点考查的圆锥曲线之一。解答本题的第一问时，充分利用题设条件建立方程，通过解方程使得问题获解；求解第二问时，先假设问题的成立，然后借助直线与椭圆的位置关系进行分析推证，从而使得问题简捷、巧妙获解。

21．（1）;（2）见解析.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用导数的几何意义求解；（2）先将不等式进行转化，再构造函数运用导数进行求解；（3）先将问题进行等价转化再构造函数运用导数知识求解：

（1）因为，，，

所以切线方程为，即.

（2）令，

所以，

当时，因为，所以，所以是上的递增函数，

又因为，所以关于的不等式不能恒成立.

当时，，

令，得，所以当时，；当时，，

因此函数在上是增函数，在上是减函数，故函数的最大值为.

令，

则在上是减函数，

因为，，

所以当时，，所以整数的最小值为2．

（3）由，得

，

从而，

令，则由，得，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，所以，又，

因此成立.

点睛：本题以函数解析表达式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，依据题设条件运用导数的几何意义求解；第二问的求解则是先将题设中的不等式进行转化，再构造函数运用导数进行求解；第三问的求解则是先将问题进行等价转化，再构造函数运用导数知识求解，从而使得问题简捷、巧妙地获解。

22．（1）的普通方程为，的直角坐标方程为;（2）8．

【解析】（1）由消去得：，

所以直线的普通方程为，

由，得，

把，代入上式，得，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程代入，得，

设两点对应的参数分别为，

则，，

所以，

当时，的最小值为8．

23．（1）;（2）．

【解析】（1）原不等式可化为：，即或，

由得或，

由得或，

综上，原不等式的解集为．

（2）原不等式等价于的解集非空，

令，即，

由，所以，

由，解得．