典型例题 多项式的乘法

7.3 单项式的乘法 

例1 计算 

分析：积的系数是各单项式系数的积： ；

相同字母相乘，依据同底数幂的乘法性质，得： ；

作为只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，这个因式为 ．

最后计算结果为 ．

解： 

注意：凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉．

例2  计算：

（1） 

（2） 

分析：第（1）小题只要按单项式乘法法则去做即可；第（2）小题应把 与 分别看作一个整体，那么此题也是单项式乘法，要按照单项式乘法及法则计算．

解：（1） 

  （2） 

注意：∵ 与 互为相反数，∴ 

例3  计算 

解：原式 

说明：单项式相乘是以幂的运算性质为基础的．凡有幂的乘方或积的乘方时，可先计算，最后转化为数的乘法及同底数幂的乘法．若单项式系数中既有分数，又有小数，则一般化为分数．

例4 计算：

（1） ；

（2） ；

解：（1）原式 

（2）原式 

7.4 单项式与多项式相乘

例1  计算：

（1） 

（2） 

（3） 

解：（1）原式 

（2）原式 

（3）原式 

说明：单项式乘以多项式，积仍是一个多项式，其项数与所乘多项式的项数相等，要注意积的各项符号的确定．若是混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，运算结果要检查，如有同类项要合并，结果要最简．

例2 求值： ，其中 ．

解：原式 

当 时，

说明：求值问题，应先化简，再代入求值．

例3 解方程

解：去括号，得 

  移项，合并同类项，得 

  系数化为1，得 

例4 解不等式

解：去括号，得 

移项、合并同类项，得 

系数化为1，得 

7.5 多项式的乘法

例1 计算 

解：原式 

说明：多项式乘法在展开后合并同类项前，要检查积的项数是否等于相乘的两项式项数的积，防止“重”、“漏”．

例2 计算

解：原式 

说明：本题中 前面有“－”号，进行多项式乘法运算时，应把结果写在括号里，再去括号，以防出错．

例3 利用 ，写出下列各式的结果；

（1） 

（2） 

解：（1） 

（2） 

说明：（2）题中的 即相当于公式中 

例4 计算 

解： 

说明：三个多项式相乘，可先把两个多项式相乘，再把积与剩下的一个多项式相乘．

例5 已知 ，求 的值．

分析：已知 ，而不知 值但要求 的值时，可把 看成一个整体，把 化成含 的形式．

解： 

∵ 

∴ 

即 

说明：把 化成含有 的形式变换过程中，逆向运用了同底数幂的运算： ，也逆向运用了乘方对加法的分配律及添括号法则．