排列组合等知识点

一、两个原理.

乘法原理、加法原理.

二、排列.

1.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

⑵相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

⑶排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.

⑷排列数公式：，规定：0! = 1       

2. 含有可重元素的排列问题.

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于.     

例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.  

三、组合.

1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

⑵组合数公式：规定

⑶两个公式：①  ②

⑷排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

⑸①常用组合数公式

②常用的证明组合等式方法例.

i. 裂项求和法. 如：（利用）

ii. 递推法（即用递推）如：.  iii. 数学归纳法.   iv. 构造二项式. 

例：证明：这里构造二项式其中的系数，左边为

，而右边

四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：

①直接法.  ②捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”.

又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为.   

②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.

③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.

注：①③区别在于①是确定的座位，有种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性. ③插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤时有意义.

④隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图                  所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.

注意：若为非负数解的x个数，即用中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为 .

II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.

2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以.

例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为

②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为

例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：种.

若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有种

③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为.

例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为 

④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为…

例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为.

五、二项式定理.

1. ⑴二项式定理：.

展开式具有以下特点：展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

⑵二项展开式的通项：第项为：.

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数最大.

③系数和：    

附：一般来说为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当时，一般采用解不等式组的系数或系数的绝对值）的办法来求解.

⑷如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.

2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计。类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.

典型例题：

1、某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有

（A）30种                                    （B）36种

（C）42种                                    （D）48种

【答案】C

【解析】法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法 即=42

      法二：分两类

           甲、乙同组，则只能排在15日，有=6种排法

           甲、乙不同组，有=36种排法，故共有42种方法.

2、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A） 12种       (B) 18种       (C) 36种         (D) 54种

【解析】B：∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有

3、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

（A）6种       （B）12种    （C）24种     （D）30种

  答案：C

解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为=6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。

4、的展开式中常数项是    （  A  ）

    A．14    B．－14    C．42    D．－42

5、已知展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是    （C）  A．28    B．38    C．1或38    D．1或28  

6、在的展开式中的系数是B

（A）-14         （B）14            （C）-28         （D）28

数学探索©版权所有www.delve.cn概率  知识要点

1. 概率：

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.

3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.注意：i.对立事件的概率和等于1：. 

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响。P(A·B)=P(A)·P(B).

推广：若事件相互，则.

注意：i. 一般地，如果事件A与B相互，那么A 与与B，与也都相互.

ii. 必然事件与任何事件都是相互的.

iii. 事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是事件.

④重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.

4. 对任何两个事件都有

概率与统计  知识要点

一、随机变量.

1、设离散型随机变量ξ可能取的值为：

ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

2、⑴二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中]  

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n，p）

⑵二项分布的判断与应用： n次重复试验，且每次试验只有两种结果

3、几何分布：“”表示在第k次重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.

二、数学期望与方差.

1. 期望的含义： 为ξ的数学期望或平均数、均值

2. ⑴ ；，

⑶二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）

⑷几何分布：  其分布列为～.（P为发生的概率）

3.方差、标准差的定义： 为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差。反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度。越小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴.（a、b均为常数）

⑶二项分布：

⑷几何分布：

5. 期望与方差的关系.

⑴如果和都存在，则

⑵设ξ和是互相的两个随机变量，则

⑶期望与方差的转化：  

⑷.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.可简记为，密度曲线为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差： .

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线对称，当时曲线处于最高点， “中间高、两边低”

③当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中

3. ⑴标准正态分布，即～有，，而P（a＜≤b）的计算则是.

注意：当X=0时，有，当X大于0的数时，有.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：. 

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）