数据模型案例

数据、模型与决策案例

案例1  降低咖啡屋的成本

 大学的咖啡屋每个星期四的中午准时提供一道特殊的莱，这种想来十分美味的菜是一种炖菜，包含有炒过的洋葱、煮熟的土豆片、绿豆和蘑菇汤。不幸的是学生们没有能够看到这道菜的特殊质量。他们为这道莱起了一个令人讨厌的名字——杀手炖菜。学生们很不情愿吃这道菜，但是咖啡屋对星期四的午餐只提供了有限的选择(也就是炖菜)。

 咖啡屋的经理MariaGonzalez希望明年可以降低成本。她相信降低成本的一种当然的方法是购买较为便宜而质量可能比较低的配料。由于这种炖菜是每星期咖啡屋菜单中的重要组成部分，因此她认为如果她能够降低为制作这种炖菜所购买的配料的成本，整个咖啡屋的营运成本将大大降低。因此她决定花一些时间看看在保持营养和口味要求的情况下如何将成本降到最低。

 集中研究降低这种炖菜的两种主要配料——土豆和绿豆的成本。这两种配料占据了大多数的成本和营养成分，是影响口味的主要因素。

 每星期从一个批发商那里购买土豆和绿豆。土豆的成本是每磅0．4美元，绿豆的成本是每磅1美元。    

 大学规定了每一个咖啡屋的主菜都必须达到的营养要求。这道菜必须包含'180克的蛋质、80毫克的铁、1050毫克的维生素C(1磅相当于454克，1克等于1000毫克)。为了简化计划，Maria假设这道炖菜中只有土豆和绿豆提供了营养。

因为Maria在一个开放式的技术大学中工作，因此它可以从网络中获得大量的资源。她决定在网络上搜索土豆和绿豆营养成分的信息。通过搜索她得到了以下关于两种配料营养成分的信息：

 表1  两种配料营养成分的信息

土  豆 绿  豆

蛋白质 1.5克／100克 5.67克／10盎司  铁 毫克／100克 毫克／10盎司  维生素C毫克／100克 毫克／10盎司

 1盎司相当于28.35克)

 是咖啡屋的厨师．非常注重于口味。她告诉Maria为了使得炖菜可口，土豆和绿豆的总量比至少应当是6：5。

在得到了在咖啡屋就餐的学生数之后，Maria得知她必须购买足够数量的土豆和绿豆，为每星期至少10公斤的炖菜做好准备(1公斤等于1000克)。为了简化计划，她假设只有土豆和绿豆决定了能够准备的炖菜的数量。Maria没有为需要准备的炖莱设置上限．因为所有剩下的莱可以供应好几天，或者创造性地作为其他主莱的原料。

a．在满足营养、口味和需求量要求的前提下，确定了准备炖莱Maria所需要准备的土豆和绿豆的数量，使得配科的成本最小。    

在进行最后决策之前，Maria计划独自解决下面的问题，除非问题自身表明需要合作解决。

b．Maria没有大多地考虑炖菜的口味。她只考虑了满足营养需求和削减成本。因此她要求Edson改变配方，使得土豆和绿豆最低重量比可以为1：2。在这种新的配方下，确定Maria每个星期需要购买的土豆和绿豆的数量。

c．由于Maria认为其他配料，如洋葱和蘑菇汤，也含有铁，因此她决定将铁含量的要求降低到65毫克。在这种新的铁含量的要求下，确定Maria每个星期需要购买的土豆和绿豆的数量。

d．Maria得知批发商有多余的绿豆，因此绿豆的价格降低到0．5美元每磅。使用c中对铁含量的要求和新的绿豆价格，确定Maria每个星期需要购买的土豆和绿豆的数量。

e．由于利马豆比绿豆便宜而且含有更多的蛋白质和铁，因此Maria决定用利马豆代替绿豆。她使用独有的权力要求F_．．dBon改变配方，用利马豆取代绿豆。Maria可以从批发商那里以每磅0．6美元的价格买到利马豆。每10盎司利马豆含有22．68克蛋白质和6．804毫克铁，但是不舍有维生素C。使用利马豆的成本和营养成分，在满足营养、口味和需求量要求的前提下确定Maria每个星期需要购买的土豆和利马豆的数量。营养要求包括c中对铁含量降低了的要求。    

f．Edson是否会对e的解决方案感到满意?为什么?

g．一个All-State大学学生工作组在All-State大学“重视健康周”期间召开会议。他们认为学校对于铁含量的要求大低而对维生素C含量的要求有些浪费。工作组说服学校改变，要求每一种主菜铁的含量至少是120毫克，维生素C的含量至少是,500毫克。使用土豆和利马豆作为配料，在新的营养要求下确定Maria每个星期需要购买的土豆和绿豆的数量。

案例2  分配学生和学校

斯普林菲尔德(Springfield)学校董事会打算在年底关闭它的一所中学(包括6年级、7年级和8年级)，并在下一年将这些年级的学生分配到另外三所中学去。学校为离校距离超过1英里的所有学生提供上下课的接送服务，因此，为了节省公交费用，学校将对学生进行分配。从该城市的6个居住区到各所学校，每个学生一年的公交费用如下表所示(表中还给出了下一年的其他一些基本数据)。其中，0表示不需要公交服务，而—表示这种分配不可能。

地区	学生数量	6年级的比例	7年级的比例	8年级的比例	每学生的公交成本（美元）
					学校1	学校2	学校3
1 2 3 4 5 6	450 600 550 350 500 450	32 37 30 28 39 34	38 28 32 40 34 28	30 35 38 32 27 38	300 — 600 200 0 500	0 400 300 500 — 300	700 500 200 — 400 0
学校容量     900       1100       1000

学校的董事会规定每个学校里，每一年级的学生人数必须在总人数的30％—36％之间，上表显示了第二年每个地区学校的各年级的学生比例。可以划出学生上学的地区界限，以便于在多所学校之间分配学生。但是，不管如何分配，上表所要求的每所学校的各年级的比例必须保持。

假设学校雇用你作为管理科学的顾问，帮助学校决定如何在各所学校之间分配学生。

a．为该问题建立线性规划模型并求解。

b．你给学校董事会的最终建议是什么?

在看了你的建议之后，学校董事会对将所有的居民区都在各个学校间划分开来这一点表示疑虑，他们认为，应该尽可能的让邻里的学生在同一所学校里。

c．根据这一点调整你的建议，使同一个地区的学生尽可能分配在同一所学校里(加入这一可能会使你不得不取消另外一些约束)。这样做会增加多少公交成本?(在案例9.4中将会对这一类分析进行进一步探讨)

学校董事会正考虑减少一些公交以减低成本，选项1是仅仅取消1—1.5英里的学生的公交服务，这些学生的单位成本如上表所示为2田美元。选项2是同时取消1.5—2英里距离的学生的公交服务，这些学生的估计年成本为300美元。

d．将a中的模型加入选项1重，新考虑，并求解。将结果与b中的结果相比较，包括公交总成本的减少。

e．以选项2代替选项1重复步骤d。

现在，学校董事会将在三种计划(目前的这一选项，以及选项1、选项2)中作出选择，其中，最重要的因素是成本。但是，学校对另一个因素也给予了同等的重视，即，因为迫使一些学生步行或骑车上学(超过l英里，特别是超过1．5英里)所引起的不方便和安全问题。因此，学校决定选择能使两个因素达到最好的平衡的计划。 ，

f．从b、d、e的结果中总结出与学校董事会要作出决策的两个因素有联系的重要的信息。

g．你认为应该作出怎样的决策，为什么?

案例3      纪念9．11

艾德琳·乔纳森在2001年9月11日世贸中心坍塌的时候失去了两位好朋友。她们是两位充满活力的女性，而现在她们离开了人世，留下她们的丈夫和孩子沉浸在无尽的悲伤中。这是多么可怕的失去。过去的每一天艾德琳都在想念她的朋友们，并对那些毫无意义的感到愤恨。现在，她感到有一种真实的使命感，要做一些事情。她被要求担任新组建的交通安全局的高层管理者，这是多么令人高兴的一件事。当她被告知这份工作将涉及领导一支

航空安全特别工作组时，她毫不犹豫地接受了这个职位。她之前很享受作为航空业管理科学顾问的工作。因为可以帮助多家航空公司节约大量的资金是一件让人满足的事。但是，她现在感受到了更强烈的愿望。她希望可以运用她在管理科学的专业知识帮助拯救生命。她没有办法让朋友再回到身边，但最起码她可以尽可能地避免不幸的事情再次发生。

艾德琳正在真正地实现她的使命。紧接2001年9月11日的惨剧之后，美国国会制定了紧急立法，提供全美400多个机场的保安措施是交通部的首要责任。于是在交通部里产生了交通安全局来实现这个职责。艾德琳的特别工作组接到的一个任务就是调查研究在预算的下哪些先进的安全技术应当被开发和在机场的检查站被使用，以使有效性最大化。

早在2001年之前，对安全检查站用来检查每个乘客的两种基本类型的检查系统，飞机乘客已经非常熟悉。一个在人口处，当乘客通过时可以检查隐藏的武器。另一个是筛选系统，用来扫描乘客的手提行李。已经有许多关于先进安全技术的各种不同的提议，可以用来改善这两种系统。艾德琳的特别工作组现在需要对下一代检查系统应如何发展做出建议。

特别工作组被告知了新型入口系统的功能性要求，即它必须能够检查出即使是一盎司的爆炸性的和危险的液体，以及乘客隐藏的金属武器。实现这个功能所需要的技术包括四极矩共振(与医学上所使用的磁共振技术非常接近)和磷传感器。利用这种技术来设计人口有很多种方法，都可以良好地满足功能性要求。但是．不同的设计在错误警报出现的频率上、以及人口的购买成本和维护成本上，都有很大的差别。错误警报的出现频率是关键的考虑因素，因为这对乘客队列行进的效率有很大的声响。而且更重要的是，错误警报出现频率过高会减少保安人员检查到确实隐藏破坏性装备的极少数时的警戒性。

满足功能性要求的最基本型的入口系统的购买价格是90000美元，并且平均每年的维护成本为15000美元；这个系统的缺点在于它的错误警报出现频率大约为乘客的lO％。使用更昂贵的人口系统可以降低错误警报率。人口系统的成本每增加15000美元，就可以将错误警报率降低一个百分点，同时会使每年的维修成本增加1500美元。最贵的人口系统的价值为210000美元，而它的错误警报率只有顾客的2％，年维修成本为27000美元。

对于手提行李的新型筛选系统，其功能性要求是必须能够清楚地显示小到瑞士军刀一样的可疑物体。满足这一要求所需要技术结合了X射线成像、热中子扫描器和计算机X线断层成像(可用来将可疑物体与已知的高危险性材料进行密度和其他物理特性的比较)。据估计，能够良好地满足功能性要求的最基本系统的成本为60000美元，每年的维护成本为9000美元。与最基本的人口系统一起，这个筛选系统的缺点在于它不能有效地区分有破坏性和无

危害的可疑物体。因此，这个系统产生的错误警报大约为顾客的6％。除了会浪费时间和延缓乘客之外，这么高的错误警报率将会使筛选系统操作者很难在极少数正确警报发生时保持必要的警觉性。但是，较为昂贵的筛选系统就具有相当高的识别力。具体来说，系统成本每增加30000美元就能减少1％的错误警报率，同时每年的维护成本也要增加1200美元。因此，最昂贵的筛选系统的成本高达150000美元，可以使错误警报率降到3％，每年的维护成本也增加到12600美元。

特别工作组被给定了两个预算方针：

第一预算方针：在每个安全检查点，入口系统和手提行李筛选系统的总支出为250000美元。

第二预算方针：在每个安全检查点，两个系统的平均总维护成本控制在30000美元以下。

这两个预算方针限定了不可能使用最昂贵的人口系统和手提行李筛选系统。因此，特别工作组需要决定，在财政允许的情况下两个系统分别用什么型号才能够将筛选乘客的有效性最大化。完成这一决定，首先要从交通安全委员会的最高管理层获得有关输入信息：有效性的测算方法是什么?管理层的目标，以及获得很高的有效性与满足预算方针两者之间的优先级别如何?

优先级1：两种新系统的功能性要求必须满足(在特别工作组考虑范围之内的各种型号的系统都满足这个目标)。

优先级2：两个系统的总错误警报宰不能超过每个乘客0.1。

优先级3：满足第一个预算方针。

优先级4：满足第二个预算方针。

现在已经获得了所有需要的管理输人，特别工作组准备开始进行分析。

a．明确两个需要做出的决策，并为每一个决策定义决策变量。

b．利用a中定义的决策变量给出每个目标的数量化表达式，解释为什么这个问题是优先目标规划问题?

c．画出一个两维的图形，其中两个轴代表a中所定义的决策变量。按照优先级顺序依次考虑每个目标，利用b中获得的该目标的数量化表达式，在图上做出一条表示完全满足该目标的决策变量值的曲线。在完成所有目标的曲线之后，利用该图形来决定这个优先目标规划的最优解。 ：

d．利用优先目标规划建立一个电子表格模型，并求解。

e．如果除了优先级最低的目标不能满足之外，所有其他目标都可以完全满足，那么可以先建立一个包括了除最后一个目标之外的所有目标作为约束条件的线性规划模型并求解，这样就能很快解决一个优先目标规划问题，接着利用目标函数尽量朝优先级最低的目标努力。为这个问题在电子表格上建立这样的一个线性规划模型，并求解。如果该线性规划模型没有可行解，应该如何解释这个优先目标规划问题?

f．在忽视第二个预算方针但必须完全满足第一个预算方针的情况下，通过决定每位乘客的总错误警报率可以降到何种程度(甚至可能低于目标)，做一些what-if分析。

g．为了给最高管理层提供作出合理决策所需的信息，有关每位乘客总错误警报率的最佳平衡、每个安全检查点的两种新安全系统的总支出、每个安全检查点两个新系统的年维护总成本，你认为还需要做那些what-if分析?

案例4  明智的选择

当厄尔尼诺正在加州北部倾泻大雨时，夏洛特·罗斯坦，克雷布罗索夫特(Cerebrosoft)的创建人，主要股东，CEO，坐在她的办公室里，考虑对她的公司的新产品Brainet的决策问题。这是一个非常困难的决策。Brainet可能会成为焦点并热销。然而，夏洛特正在考虑涉及到的风险。她是否应当继续前进，组织营销攻势?或者放弃这个产品?或者在决定推出产品前从一个当地的市场调查公司购买更多的市场调查信息?必须尽快地作出决策，因此当她在慢慢地喝高蛋白生素桔子汁时，她想起了过去几年的事。

Cerebrosoft是由夏洛特和两个朋友在从商学院毕业后建立起来的。这个公司位于硅谷的中心。夏洛特和她的两个朋友使得公司在第二年开始盈利并且保持到现在。Cerebrosoft是第一批在万维网上销售软件的公司之一，并且为多媒体部件开发了基于PC的软件工具。公司的两种产品创造了80%的收入：Audiatur和Videatur。去年每一种产品的销售量都超过了100000个单位。业务是在网上进行的：顾客可以下载软件堕蔼逛迪厶在试用后如果顾客对

他们所看到的表示满意，他们可以购买产品(通过使用一个口令停止试用版中吐回耸孕器的工作)。这两种产品的售价都为75．95美元，全部在网上销售。

尽管万维网连接不同类型、使用不同软件的计算机，一个计算机间的标准化的协议使得它们可以互相通信。使用者可以在网上冲浪．访问几千英里外的计算机，在网页上获得信息：使用者还可以在网上发布信息，这就是Cerebrosoft开展销售的途径。在网上销售软件消除了许多消费晶的传统成本：包装、存储、分销、雇用销售力量等，潜在顾客可以下载试用版，在使用期限结束前了解一下(也就是使用产品)，然后决定是否购买。此外，Cerebrosoft总是能够提供给顾客最新的文件．免去分销渠道中过时软件产生的问题；

夏洛特被杰妮·可恩的到来打断了思路。杰妮负责管理在线营销，并且从一开始她就对Brunet特别关注。她早已经准备好为夏洛特提供所需的建议。“夏洛特，我认为我们真的应当推出Brainet。软件工程师们已经使我确信现在的版本非常有用．我们需要尽可能快地抢占市场!从过去两年我们推出产品的有关数据来看，我们可以得到市场对新产品反应的相当可靠的估计。Q；不这样认为吗?看看这个。”她拿出一些作陈述用的幻灯片。“在那一个时期里我们总共推出了12种新产品，其中4种产品的销售量在头六个月就超过了30000个单位!还有更好的：我们推出的最后两种产品的销售量在头两个季度甚至超过了40000个拷贝!”夏洛特和杰妮同样清楚这些数据。毕竟这些产品中有两种是在她的亲自帮助下开发推出的。但她对这个产品的推出没有把握。在过去三年公司快速发展，财务能力已经相当有限。Brainet的推出失败会使公司损失大量的钱，由于Cerebrosoft目前的投资，这样的损失是公司无法承担的。 

下午晚些时候，夏洛特与瑞杰·赖纷，生产经理，一个万事通，进行了会晤，瑞杰在他的领域有相当不错的记录，夏洛特想知道他对Brainet项目的看法。

“夏洛特，坦白地说，我认为这个项目的成功与三个主要因素有关：竞争、销售量、成本——啊，当然，我们的定价，你已经定好了价格了吗?”

“我还在考虑三种战略中哪一种可以为我们带来最大的收益。以50美元的价格销售，使收入最大化——或者以30美元的价格销售，使市场份额最大化。当然还有第三个选择：以40美元销售．使二者兼得。”

这时，瑞杰正聚精会神于他面前的一张纸。“我仍然认为以40美元的价格销售的选择是最好的。考虑到成本。我检查了一下记录。我们必须在销售中分摊我们花在Brainet面上的开发费用。到目前为止，我们已经花费了800000美元，我们估计每年还需要花费50000美元用于支持和运送CD到需要软件硬拷贝的顾客那里。”瑞杰接下来给了夏洛特一份报告。“我们有一些这个行业的数据。我昨天才得到，刚刚出版的。让我们看看能从行业中得到什么启示。”他给夏洛特看了一些重要部分。瑞杰同意将这份报告中的相关信息整理一下，第二天早上给夏洛特。他一直干到深夜，从这份报告中搜集数据。最后他总结出三个表格，每一个表格用于一种定俭战，L每一个表格显示了在其他公司的竞争影响下(激烈、中等、温和)不同的销售量对应的概率。

表1    50美元销量的概率分布

销售量	竞争水平
	激烈	中等	温和
50000个单位 30000个单位 20000个单位	1.2 1.25 0.55	1.25 1.3 0.45	1.3 1.35 0.35

表2    40美元销量的概率分布

销售量	竞争水平
	激烈	中等	温和
50000个单位 30000个单位 20000个单位	0.25 0.35 0.4	0.3 0.4 0.3	0.4 0.5 0.1

表3    30美元销量的概率分布

销售量	竞争水平
	激烈	中等	温和
50000个单位 30000个单位 20000个单位	0.35 0.4 0.25	0.4 0.5 0.1	0.5 0.45 0.05

第二天早晨，夏洛特正在喝另一种机能饮料，杰妮和瑞杰马上就会到办公室来，在他们的帮助下，她将要对如何处理Brainet做出决策。他们是否应该推出这个产品?如果推出，价格应该定在什么水平上?

当杰妮和瑞杰一走进办公室，杰妮马上告诉夏洛特：“伙伴们，我刚刚联系过我们的营销调查公司他们说他们能够在一星期内为我们提供关于推出Brainet面临的竞争状况和销售结果的研究报告，”

他们为这个研究开价多少?

“我知道你要问这个，瑞杰。他们要10000美元。我认为这是一笔合算的交易。”

这时夏洛特加入了谈话。“我们有这家营销调查公司的工作质量数据吗?”

“是的，我这里有一些报告。通过对他们的分析，我得出结论，这家营销调查公司的预测相当不错：对于激烈竞争的情况，他们有80％的慨率能够准确预测，有15％的概率预测为中等竞争水平。对于中等竞争水平的情况．他们有80％的概率能够准确预测，有15％的概率预测为激烈竞争。最后，对于温和竞争的情况，他们有90％的概率能够准确预测，有7％的概率预测为中等竞争水平，有7%的概率预测为激烈竞争。”

夏洛特对这些数据感到厌烦：“我们就没有一个关于市场反应的简单估计吗?”

“你是说一些简单的先验概率?当然有．从我们过去的经验来看，面对激烈竞争的可能性是20％，70%的可能性是中等水平的竞争，10％的可能性是温和的竞争。”杰妮总是能够在需要的时候提供数据

现在坐下来完成下面的工作：

a．对于原始的分析，不考虑雇用营销调查公司获得更多的信息。明确备择方案和自然状态，构建损益表。然后用一个决策树将这个决策问题表示出来。明确区分决策节点和事件节点并包含所有的相关数据。

b．如果夏洛特使田最大可能性准则，她的决策是什么?使用等可能性准则呢?

c．如果夏洛特使用贝叶斯决策规则，她的决策是什么?

d．现在考虑进行市场调查的可能性。做出相应的决策树。计算相关的概率并分析决策树。Cerebrosoft是否应当花10000美元进行营销调查?总的最优策略是什么?