2020年山东省烟台市中考数学试题和答案

一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．

1．（3分）4的平方根是（　　）

A．2    B．﹣2    C．±2    D．

2．（3分）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（　　）

A．a    B．b    C．c    D．无法确定

4．（3分）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A．    B．    

C．    D．

5．（3分）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（　　）

A．众数改变，方差改变    

B．众数不变，平均数改变    

C．中位数改变，方差不变    

D．中位数不变，平均数不变

6．（3分）系统找不到该试题

7．（3分）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（　　）

A．（）n    B．（）n﹣1    C．（）n    D．（）n﹣1

8．（3分）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（　　）

A．60°    B．70°    C．80°    D．85°

9．（3分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

10．（3分）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（　　）

A．1.7    B．1.8    C．2.2    D．2.4

11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

12．（3分）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1    B．﹣0.5＜x＜0或x＞1    

C．0＜x＜1    D．x＜﹣1或0＜x＜1

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）5G是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为　   　．

14．（3分）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为　   　．

15．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　   　．

16．（3分）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为　   　．

17．（3分）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为　   　．

18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．

其中正确结论的序号是　   　．

三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）

19．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1，y＝﹣1．

20．（8分）奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了多少名学生？

（2）将条形统计图补充完整；

（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．

21．（9分）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．

（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；

（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？

22．（9分）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．

（1）求证：EC是⊙O的切线；

（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．

23．（9分）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：

（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．

（参考数据表）

【问题解决】

如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；

【类比探究】

如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

25．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

 答案 

一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．

1．参：解：4的平方根是±2．

故选：C．

2．参：解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．

故选：A．

3．参：解：有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，

这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．

故选：A．

4．参：解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．

故选：B．

5．参：解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，

故选：C．

6．

7．参：解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，

∴OA2＝；

∵△OA2A3为等腰直角三角形，

∴OA3＝2＝；

∵△OA3A4为等腰直角三角形，

∴OA4＝2＝．

∵△OA4A5为等腰直角三角形，

∴OA5＝4＝，

……

∴OAn的长度为（）n﹣1．

故选：B．

8．参：解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，

∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，

∵∠AOC＝60°，

∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，

故选：C．

9．参：解：最小的等腰直角三角形的面积＝××42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则

A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；

B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；

C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；

D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．

故选：D．

10．参：解：∵点G为△ABC的重心，

∴AE＝BE，BF＝CF，

∴EF＝＝1.7，

故选：A．

11．参：解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，

∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，

∴AF＝AD＝5，EF＝DE，

在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，

∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，

设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x

在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，

∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，

∴DE＝EF＝3﹣x＝，

∴tan∠DAE＝＝＝，

故选：D．

12．参：解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，

所以若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．

故选：D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

13．参：解：将数据1300000用科学记数法可表示为：1.3×106．

故答案为：1.3×106．

14．参：解：∵正n边形的每个外角相等，且其和为360°，

∴＝40°，

解得n＝9．

∴（9﹣2）×180°＝1260°，

即这个正多边形的内角和为1260°．

故答案为：1260°．

15．参：解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，

解得m＞0且m≠1．

故答案为：m＞0且m≠1．

16．参：解：∵﹣3＜﹣1，

把x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，

故答案为：18．

17．参：解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）．

故答案为（4，2）．

18．参：解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，

∴ab＜0，故①错误；

②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），

∴c＝﹣1，

∴a+b﹣1＝0，故②正确；

③∵a+b﹣1＝0，

∴a﹣1＝﹣b，

∵b＜0，

∴a﹣1＞0，

∴a＞1，故③正确；

④∵抛物线与与y轴的交点为（0，﹣1），

∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，

∵抛物线与x轴的交点为（1，0），

∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣，故④正确；

故答案为②③④．

三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）

19．参：解：（﹣）÷，

＝[﹣]÷，

＝×，

＝，

当x＝+1，y＝﹣1时，

原式＝＝2﹣．

20．参：解：（1）此次共调查的学生有：40÷＝200（名）；

（2）足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人），补全统计图如下：

（3）根据题意画树状图如下：

共用25种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有20种，

则他俩选择不同项目的概率是＝．

21．参：解：设销售A型口罩x只，销售B型口罩y只，根据题意得：

，解得，

经检验，x＝4000，y＝5000是原方程组的解，

∴每只A型口罩的销售利润为：（元），每只B型口罩的销售利润为：0.5×1.2＝0.6（元）．

答：每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元．

（2）根据题意得，W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000，

10000﹣m≤1.5m，解得m≥4000，

∵﹣0.1＜0，

∴W随m的增大而减小，

∵m为正整数，

∴当m＝4000时，W取最大值，则﹣0.1×4000+6000＝5600，

即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600元．

22．参：（1）证明：连接OB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D＝60°，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝30°，

∵BE＝AB，

∴∠E＝∠BAE，

∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，

∴∠E＝∠BAE＝30°，

∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠OAB＝30°，

∴∠OBC＝30°+60°＝90°，

∴OB⊥CE，

∴EC是⊙O的切线；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝2，

过O作OH⊥AM于H，

则四边形OBCH是矩形，

∴OH＝BC＝2，

∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，

∴的长度＝＝．

23．参：解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用1厘米．

故答案为176，1．

（2）如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，

∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，

由题意FC＝10cm，

∴tan∠FAC＝＝＝5，

∴∠FAC＝78.7°，

∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，

答：两臂杆的夹角为157.4°

24．参：【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ECH＝60°，

∴△CEH是等边三角形，

∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝FE，∠DEF＝60°，

∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，

∴∠DEH＝∠FEC，

在△DEH和△FEC中，

，

∴△DEH≌△FEC（SAS），

∴DH＝CF，

∴CD＝CH+DH＝CE+CF，

∴CE+CF＝CD；

【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，

过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：

∵GD∥AB，

∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，

∴∠GDC＝∠DGC＝60°，

∴△GCD为等边三角形，

∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，

∵△EDF为等边三角形，

∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，

∴∠EDG＝∠FDC，

在△EGD和△FCD中，

，

∴△EGD≌△FCD（SAS），

∴EG＝FC，

∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．

25．参：解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），

则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，

故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，

解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，

设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），

则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，

∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1，

∴点D（1，2）；

（3）存在，理由：

点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，

以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，

则，即＝2或，即＝2或，

解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），

故m＝1或．