2022年全国高考乙卷数学(文)试题(解析版)

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合{}{}

2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）

A.{2,4}【分析】根据集合的交集运算即可解出．

【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = 【答案】A

D.C.B.{2,4,6}

{2,4,6,8}

{2,4,6,8,10}

【解析】

．故选：A.

2.设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）

【答案】A 【解析A.a =1,b =-1

B.a =1,b =1

D.a =-1,b =-C.a =-1,b =1

1

】

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．

【详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.

3.已知向量(2,1)(2,4)a b ==-

，则a b -r r （

）A.2 B.3

C.4

D.5

【答案】D 【解析】

【分析】先求得a b -

，然后求得a b -r r .

【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以

5-= a b .

故选：D

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是（）

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C 【解析】

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A 选项，7.37.5

7.42

+=，A 选项结论正确.

对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3

7.47.6

8.18.28.28.58.68.68.68.6

9.09.29.39.810.1

16

+++++++++++++++对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值=8.50625>8，

B 选项结论正确.

对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值16

6

=0.375<0.4，C 选项结论错误.

13

0.81250.616

=>，D 选项结论正确.故选：C

5.若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +⎧⎪

+⎨⎪⎩

则2z x y =-的最大值是（

）

A.2-

B.4

C.8

D.12

【答案】C 【解析】

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，

上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.

6.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）

A.2

B. C.3

D.【答案】B 【解析】

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，

即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，

不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，

所以AB ==故选：B

7.执行下边的程序框图，输出的n =（

）

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】B 【解析】

【分析】根据框图循环计算即可.

【详解】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，

312,12a b a n n =-=-==+=，

222231220.0124

b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，

725,13a b a n n =-=-==+=，

222271220.01525

b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，

17512,14a b a n n =-=-==+=，

2222171220.0112144

b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B

8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（

）

A.3231x x y -+=

+ B.32

1

x x

y x -=+ C.22cos 1

x x y x =

+ D.【答案】22si 1

n x x y =

+A 【解析】

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设()321

x x

f x x -=+，则()10f =，故排除B;

设()2

2cos 1x x h x x =

+，当π0,2x ⎛∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()22

2cos 2111

x x x

h x x x =<≤++，故排除C;设()2

2sin 1x g x x =+，则()2sin 3

3010

g =>，故排除D.故选：A.

9.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）

A.平面1B EF ⊥平面1BDD

B.平面1B EF ⊥平面1A BD

C.平面1//B EF 平面1A AC

D.平面1//B EF 平面11AC D

【答案】A 【解析】

【分析】证明EF ⊥平面1BDD ，即可判断A ；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，

x

设2AB =，分别求出平面1B EF ，1A BD ，11AC D 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD .

【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥且1DD ⊥平面ABCD ，

又EF ⊂平面ABCD ，所以1EF DD ⊥，因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以EF AC ，所以EF BD ⊥，又1BD DD D = ，所以EF ⊥平面1BDD ，又EF ⊂平面1B EF ，

所以平面1B EF ⊥平面1BDD ，故A 正确；

如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，

则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，

()10,2,2C ，则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-= ，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==

，()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,

AA AC A C ==-=-

设平面1B EF 的法向量为()111,,m x y z =

，

则有11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪

⎨⋅=+=⎪⎩

，可取()2,2,1m =- ，同理可得平面1A BD 的法向量为()11,1,1n =--

，

平面1A AC 的法向量为()21,1,0n =

，

平面11AC D 的法向量为()31,1,1n =-

，则122110m n ⋅=-+=≠

，

所以平面1B EF 与平面1A BD 不垂直，故B 错误；

因为m 与2n u

u r 不平行，

所以平面1B EF 与平面1A AC 不平行，故C 错误；

因为m 与3n

不平行，

所以平面1B EF 与平面11AC D 不平行，故D 错误，故选：

A.

10.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）

A.14

B.12

C.6

D.3

【答案】D 【解析】

【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，

则()

311234

25

111168142a q a a a q

a a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5

613a a q ==.故选：D .

11.函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）

A.ππ

22

-，

3ππ22

B.-

，2

C.-

22， D.3π2-

2π+2

，

【答案】D 【解析】

【分析】利用导数求得()f x 的单调区间，从而判断出()f x 在区间[]0,2π上的最小值和最大值.

【详解】()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+，

所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π

,2π2⎛⎫

⎪⎝⎭

上()0f x '>，即()f x 单调递增；在区间π3π,22⎛⎫

⎪⎝⎭

上()0f x '<，即()f x 单调递减，又()()02π2f f ==，ππ

222

f ⎛⎫=+

⎪⎝⎭，3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫

=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

所以()f x 在区间[]0,2π上的最小值为3π2-，最大值为π

22

+.故选：D

12.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.

1

3

B.

12

C.

33

D.

22

【答案】C 【解析】

【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111

sin 222222

ABCD S AC BD AC BD r r r α=

⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又22r h 1+=

则212327O ABCD

V r h -=⋅⋅=

当且仅当222r h =即h =时等号成立，

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．【答案】2【解析】

【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.

【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =.故答案为：2.

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】3

10

或0.3【解析】

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为3

5C 10=甲、乙都入选的方法数为1

3C 3=，所以甲、乙都入选的概率310

P =故答案为：

310

15.过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()

2

2

2313x y -+-=或()()2

2

215x y -+-=或2

2

4765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭或()2

281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪

⎝⎭

；【解析】

【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，

若过()0,0，()4,0，()1,1-，则010110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪

=-⎨⎪=-⎩

，

所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()2

2

2313x y -+-=；

若过()0,0，()4,0，()4,2，则0101420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪

=-⎨⎪=-⎩

，

所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()2

2

215x y -+-=；

若过()0,0，()4,2，()1,1-，则01101420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得0

83143F D E ⎧

⎪=⎪

⎪

=-⎨⎪

⎪

=-⎪⎩，

所以圆的方程为2

2

814033x y x y +--=，即2

2

4765

339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则110101420

D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=，解得1651652

F D E ⎧

=-⎪⎪

⎪

=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，

所以圆的方程为2

2

16162055x y x y +---=，即()2

2

81691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝

⎭；故答案为：()()

22

2313x y -+-=或()()2

2

215x y -+-=或22

4765339x y ⎛

⎫⎛⎫-+-=

⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭或()2

281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝

⎭；

16.若()1

ln 1f x a b x

++-=是奇函数，则=a _____，b =______．【答案】①.12

-

；②.ln 2．

【解析】

【分析】根据奇函数的定义即可求出．

【详解】因为函数()1

ln 1f x a b x

++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x +

≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12

a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2

b =．即

()111ln ln 2ln 211x f x x x

+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．

故答案为：1

2

-

；ln 2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知

()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．

（1）若2A B =，求C ；（2）证明：2222a b c =+【答案】（1）

5π

8

；（2）证明见解析．【解析】

【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得

()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余

弦定理化简即可证出．【小问1详解】

由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π

02

B <<

，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，

而2A B =，πA B C ++=，所以5π

8

C =

．【小问2详解】

由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，

()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，

()()()()2222222222221111

2222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立．

18.如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC

的中点．

（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；

（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥

F ABC -的体积．

【答案】（1）证明详见解析（2）

34

【解析】

【分析】（1）通过证明AC ⊥平面BED 来证得平面BED ⊥平面ACD .

（2）首先判断出三角形AFC 的面积最小时F 点的位置，然后求得F 到平面ABC 的距离，从而求得三棱锥F ABC -的体积.【小问1详解】

由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.

由于AD CD

BD BD ADB CDB =⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

，所以ADB CDB ≅△△，

所以AB CB =，故AC BD ⊥，

由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，

由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .【小问2详解】

依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，

所以2,1,AC AE CE BE ====

由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.

222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，

由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，

由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

，所以FBA FBC ≅ ，

所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于1

2

AFC S AC EF =

⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小值.过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，

1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅

，解得2

EF =，

所以13

,222DF BF DF ===-=，所以

3

4BF BD =.

过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且3

4

FH BF DE BD ==，所以34

FH =

,

所以11133

233244

F ABC ABC V S FH -=

⋅⋅=⨯⨯=

.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材

积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

总

和

根部横截面积

i

x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量i y 0.250.40

0.220.54

0.510.340.360.460.420.40

3.9

并计算得

10

10

10

22

i

i

i i i=1

i=1

i=1

0.038, 1.6158,0.2474x

y x y ===∑∑∑．

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数i

i

( 1.377)

n

x x y y r --=

≈∑．

【答案】（1）20.06m ；30.39m （2）0.97（3）31209m 【解析】

【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．

【小问1详解】

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.6

0.0610

x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.9

0.3910

y =

=

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为3

0.39m 【小问2详解】

()()

10

10

i

i

i i

10x x y y x y xy

r ---=

∑

∑

0.0134

0.970.01377=

≈则0.97r ≈【小问3详解】

设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得

0.06186

=0.39Y

，解之得3=1209m Y ．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m 20.已知函数1

()(1)ln f x ax a x x

=-

-+．（1）当0a =时，求()f x 的最大值；

（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）1-（2）()0,+∞【解析】

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得()()()2

11ax x f x x --'=

，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单

调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1详解】当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-

->，则()22111x

f x x x x

-'=-=，当()0,1∈x 时，()

0f x ¢>，()f x 单调递增；

当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；

所以()()max 11f x f ==-；

【小问2详解】

()()11ln ,0f x ax a x x x =-

-+>，则()()()221111ax x a f x a x x x

--+'=+-=，当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，()

0f x ¢>，()f x 单调递增；

当()1,x ∈+∞时，()

0f x ¢<，()f x 单调递减；

所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意；当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在11,

a ⎛⎫

⎪⎝⎭

上，()0f x ¢<，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，

所以()f x 仅在1,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

有唯一零点，符合题意；

当1a =时，()

()2

2

10x f x x

-'=

≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=，

所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，

11a <，在()10,,1,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫

⎪⎝⎭上，()0f x ¢<，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a a

a

-⎛⎫=-++

⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a

⎛⎫

⎪⎝⎭

趋近负无穷，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

无零点，

所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.

21.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()3

0,2,,12

A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭

两点．（1）求E 的方程；

（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于

点T ，点H 满足MT TH =

．证明：直线HN 过定点．

【答案】（1）22

1

43

y x +=（2）(0,2)-【解析】

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】

解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()3

0,2,,12

A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭

，

则41

914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1

3m =，14n =，

所以椭圆E 的方程为：22

143

y x +=.

【小问2详解】

3

(0,2),(,1)2

A B --，所以2:23+=AB y x ，

①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22

134

x y

+=，

可得(1,

)3M

，(1,3N -，代入AB 方程223y x =-

，可得

263,)3T ，由MT TH =

得到26

5,3

H +.求得HN 方程：26

(223

y x =-

-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.

联立22

(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪

⎨+=⎪

⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)34

3(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，1222

2228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩

，

且122122434

(1)

k

x y x y k -+=

+联立1

,2

23y y y x =⎧⎪

⎨=-⎪⎩

可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时12

22112

:()36y y HN y y x x y x x --=

-+--，

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将

(1)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然

成立，

综上，可得直线HN 过定点(0,-2).

.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]

22.在直角坐标系

xOy 中，曲线

的参数方程为22sin x t

y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛

⎫

⎪⎝

+⎭

+=．（1）写出l 的直角坐标方程；

（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】（1

20++=y m （2）195122

-

≤≤m 【解析】

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；

（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可.【小问1详解】因为l ：sin 03m πρθ⎛

⎫ ⎪⎝

+⎭+

=

，所以1sin cos 022

ρθρθ⋅+

⋅+=m ，

又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为13022

++=y x m ，

整理得l 20++=y m 【小问2详解】

联立l 与C 的方程，即将2=

x t ，2sin y t =代入

20++=y m

中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，

所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，

要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，

令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为1

6

a =

，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=max f f a ，

min 11219

(()36666

==--=-f f a ，

所以19

256

-

≤≤m m 的取值范围为195122

-

≤≤m .[选修4—5：不等式选讲]

23.已知a ，b ，c 都是正数，且3

332

2

2

1a b c ++=，证明：

（1）19

abc ≤

；（2）

a b c b c a c a b ++≤+++；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【小问1详解】

证明：因为0a >，0b >，0c >，则

3

2

a >，

32

b >，

32

0c >，

所以333222

3

a b c ++≥，

即()12

13abc ≤

，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==，即a b c ===时取等号．【小问2详解】

证明：因为0a >，0b >，0c >，

所以b c +≥，a c +≥a b +≥，所以

32

a b c ≤=

+32b a c ≤=+32

c a b ≤=+3333332

2

2

2

2

2

a b c b c a c a b ++≤+++当且仅当a b c ==时取等号．