乘法公式在计算题中的运用

达维中学   周志明

乘法公式是初中数学重要的内容之一，也是中考考点之一，应用非常广泛。现在介绍一下乘法公式一些常用的技巧和方法。

一，套用

弄清楚公式中的数和字母，对号入座，套用公式。

例1：计算：（2x3－7y2）（2x3＋7y2）

分析：将2x3和7y2 分别看着平方差公式中的a和b，直接套用平方差公式。

解：原式=（2x3）2－（7y2)2

           =4x6－49y4

二，选用

有的题目能用几个公式解决，这就需要仔细观察，全盘考虑，选用合理的公式，才能使计算更简便。

例2：计算：（x－y）（x＋y）（x2－xy+y2）（x2＋xy+y2）

分析：如果直接先用平方差公式计算，后面计算就比较复杂了，而先用立方和与立方差公式，再用平方差公式就相当比较简单了。

解：原式=（x＋y）（x2－xy+y2）（x－y）（x2＋xy+y2）

        =（x3+y3）（x3－y3）

        =x6－y6

三，连用

连续使用同一个公式或者连续使用两个及以上的公式来计算。

例3：（x－y）（x＋y）（x2+y2）（x4＋y4）

分析：前面两个括号里的因式使用平方差公式后，立即会出现第二个平方差公式的特征，连续使用三次公式即可。

解：原式=（x2－y2）（x2+y2）（x4＋y4）

        =（x4－y4）（x4＋y4）

        =x8－y8

四，逆用

有些题目如果正向考虑解题往往比较麻烦，若针对题目特征，逆用公式来解，往往显得比较简单。

例4：已知：x＋y=1，求x3＋y3+3xy的值。

分析：如果直接去计算会很麻烦，如果能逆用立方和公式就比较简单了。

解：x3＋y3+3xy

    =（x＋y）（x2－xy+y2）+3xy

    =x2－xy+y2+3xy

    =x2+2xy+y2

      =（x＋y）2

    =1

五，变用

通过变形后再运用公式，有时可以避繁就简，找到捷径。

例5：(x+y+6z)(x+y－2z)

解：原式=(x+y+2z+4z)(x+y+2z－4z)

        =(x+y+2z)2－(4z)2

        =x2+y2－12z2+2xy+4xz+4yz

六，活用

将公式巧妙变形，灵活运用来解决题目。

例6：已知实数x，y，z满足x+y=5z2=xy+y-9,.求x+2y+3z的值。

分析：初看此题无从着手，如果利用两个完全平方公式可得

xy= [（x+y）2－（x－y）2 ]，再代入条件中便能解决。

解：∵xy= [（x+y）2－（x－y）2 ]，x+y=5，z2=xy+y－9

∴z2= [（x+y）2－（x－y）2 ]+y－9

    = [52－（5－2y）2 ]+y－9

    =－（5－2y）2 +y－9

    =－y2 +6y－9

    =－（y－3）2

∴z2=－（y－3）2

∴z2+（y－3）2=0

∴z=0，y－3=0

∴z=0，y=3

∴x=2

∴x+2y+3z=2+6+0=8

七，增添

在不改变原式的值的情况下增添因式，使其能运用乘法公式计算。

例7：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

分析：在原式前添一个因式（2－1），就可以连续的用平方差公式计算。

解：原式=（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

        =（22－1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

        =（24－1）（24+1）（28+1）+1

        =（28－1）（28+1）+1

        =216－1+1

        =216

八，拆分

将题目中一些项有目的拆开，使其满足乘法公式计算。

例8：计算（x－1）（2+x+x2）

分析：这道题初看可以直接去计算,但是相对比较麻烦，如果把2拆成1+1，就能变得能用立方差公式计算。

解：原式=（x－1）（1+1+x+x2）

        =（x－1）+（x－1）（1+x+x2）

        =x－1+x3+1

        =x3+x

2012年12月