2020-2021学年辽宁省辽阳市高三上学期期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（　　）

A．{x|0＜x＜2}    B．{x|0≤x＜2}    C．{x|0＜x＜1}    D．{x|0≤x＜1}

2．已知复数z＝，则z的共轭复数＝（　　）

A．﹣2+i    B．﹣2﹣i    C．2+i    D．2﹣i

3．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，则双曲线C的离心率是（　　）

A．    B．    C．    D．2

4．“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼•保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是中国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养．已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己的能力，只能为每个孩童择四艺进行培养．若令商贾和两个孩童都满意，其余二艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

5．“a∈（1，4）”是“直线x+y﹣a＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2相交”的（　　）

A．充分不必要条件    B．充要条件    

C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件

6．在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝4，CD＝3，BD＝5，点E在棱AD上，且AE＝2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

7．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+4）是偶函数，f（6）＝3，f（x）在（﹣∞，4]上单调递减，则不等式f（2x﹣4）＜3的解集为（　　）

A．（4，6）    B．（﹣∞，4）∪（6，+∞）    

C．（﹣∞，3）∪（5，+∞）    D．（3，5）

8．已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象在（0，1）处的切线方程为y＝2x+1，若f（x）≥mx+x恒成立，则m的取值范围为（　　）

A．[﹣1，2e﹣1]    B．（﹣∞，2e﹣1]    C．[﹣1，e﹣1]    D．（﹣∞，e﹣1]

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知x＞1，则的值可以为（　　）

A．9    B．10    C．11    D．12

10．下列函数中是奇函数，且值域为R的有（　　）

A．f（x）＝x3    B．f（x）＝x+    

C．f（x）＝x+sinx    D．f（x）＝x﹣5

11．已知函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x﹣1，则（　　）

A．f（x）图象的一条对称轴为x＝    

B．f（x）图象的一个对称中心是（，0）    

C．将曲线y＝2sin（x﹣）上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移两个单位长度，可以得到y＝f（x）的图象    

D．将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称

12．设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝．过点M（﹣2，1）的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有（　　）

A．椭圆的方程为＝1    

B．椭圆的焦距为    

C．椭圆上存在4个点Q，使得•＝0    

D．直线l的方程为8x﹣9y+25＝0

三、填空题（共4小题）.

13．已知向量＝（m，3），＝（1，﹣2），且（+）⊥，则m＝　   　．

14．在（x﹣2）6的展开式中，含x4项的系数为　   　．

15．函数f（x）＝sinx+cos2x的最大值是　   　．

16．已知底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，PA⊥AD，PA＝AB，PB＝AB，且BC＝2．若球O的体积为，则AB＝　   　，棱PB的中点到平面PCD的距离为　   　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在递增的等比数列{an}中，a3＝9，a2+a4＝30．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝log3a2n，求数列{bn}的前n项和Sn．

18．（12分）在①c（cosA+sinA）＝b，②csinB+bcosC＝b，③sinB+tanCcosB＝sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＝，△ABC的面积是56且____，求△ABC的周长．

19．（12分）为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系，农业农村部对160城镇当月的猪肉价格（元/千克）与居民人均收入（元/月）进行了随机调研得到如下表格：

猪肉价格（元/千克）

人均收入（元/月）	（0，40]	（40，50]	（50，60]
（0，3000]	6	15	0
（3000，4000]	2	27	5
（4000，5000]	9	45	16
（5000，6000]	0	16	19

（1）估计全国各地猪肉价格在（50，60]（元/千克）内的概率；

（2）估计这160个城镇的居民人均收人（元/月）的中位数（计算结果保留整数）；

（3）根据所给数据完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．

猪肉价格（元/千克）

人均收入（元/月）	（0，50]	（50，60]	合计
（0，4000]
（4000，6000]
合计

附：，其中n＝a+b+c+d．

P（K2≥k）	0.05	0.010	0.005
k	3.841	6.635	7.879

20．（12分）如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于O，∠BAD＝60°，点E不在平面ABCD内，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，OF⊥平面ABCD，BC＝CE＝DE＝2EF＝2．

（1）证明：EF∥AD；

（2）求平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值．

21．（12分）已知函数f（x）＝ax+x2﹣a2lnx，其中a＞0．

（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与直线x﹣3y+4＝0垂直，求函数f（x）的单调区间；

（2）设函数f（x）的最小值为g（a），求函数g（a）的最大值．

22．（12分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：y2＝4x上两个不同的点，C的焦点为F．

（1）若直线AB过焦点F，且y12+y22＝32，求|AB|的值；

（2）已知点P（﹣2，2），记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且kPA+kPB＝﹣1，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足•＝0，求点D的轨迹方程．

参

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（　　）

A．{x|0＜x＜2}    B．{x|0≤x＜2}    C．{x|0＜x＜1}    D．{x|0≤x＜1}

【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．

解：∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|0＜x＜2}，

∴A∩B＝{x|0＜x＜2}．

故选：A．

2．已知复数z＝，则z的共轭复数＝（　　）

A．﹣2+i    B．﹣2﹣i    C．2+i    D．2﹣i

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．

解：z＝＝﹣2+，

＝﹣2+，

＝﹣2+i，

则＝﹣2﹣i．

故选：B．

3．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，则双曲线C的离心率是（　　）

A．    B．    C．    D．2

【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解离心率即可．

解：由题意可知：＝，

所以e＝＝＝．

故选：C．

4．“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼•保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是中国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养．已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己的能力，只能为每个孩童择四艺进行培养．若令商贾和两个孩童都满意，其余二艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】先由题设求得两个孩童都不选“御”的概率，再利用对立事件的概率计算公式求得结果即可．

解：依题意可知，“礼”“数”为必选，因此两个孩童都不选“御”的概率为，

故两个孩童至少有一个选到“御”的概率为，

故选：B．

5．“a∈（1，4）”是“直线x+y﹣a＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2相交”的（　　）

A．充分不必要条件    B．充要条件    

C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件

【分析】根据直线与圆相交的等价条件求出a的取值范围，即可判断逻辑关系．

解：若直线与圆相交，则圆心（1，2）到直线的距离d＝，

即|3﹣a|＜2，得1＜a＜5，

∵（1，4）⫋（1，5），

∴“a∈（1，4）”是“直线x+y﹣a＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2相交”的充分不必要条件．

故选：A．

6．在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝4，CD＝3，BD＝5，点E在棱AD上，且AE＝2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，过B作BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解：∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝4，CD＝3，BD＝5，

∴以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，过B作BA为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2），B（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣3，4，0），

∵点E在棱AD上，且AE＝2ED，

∴＝＝（﹣2，，﹣），＝＝（﹣2，，），＝（﹣3，0，0），

设异面直线BE与CD所成角为θ，

则cosθ＝＝＝．

∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为．

故选：D．

7．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+4）是偶函数，f（6）＝3，f（x）在（﹣∞，4]上单调递减，则不等式f（2x﹣4）＜3的解集为（　　）

A．（4，6）    B．（﹣∞，4）∪（6，+∞）    

C．（﹣∞，3）∪（5，+∞）    D．（3，5）

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

解：因为f（x+4）是偶函数，

所以f（x）的图象关于x＝4对称，

则f（6）＝f（2）＝3，

因为f（x）在（﹣∞，4]上单调递减，

所以f（x）在[4，+∞）上单调递增，

由f（2x﹣4）＜3可得，2＜2x﹣4＜6，

解得，3＜x＜5．

故选：D．

8．已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象在（0，1）处的切线方程为y＝2x+1，若f（x）≥mx+x恒成立，则m的取值范围为（　　）

A．[﹣1，2e﹣1]    B．（﹣∞，2e﹣1]    C．[﹣1，e﹣1]    D．（﹣∞，e﹣1]

【分析】由题意求得a，代入函数解析式，把问题转化为e2x≥mx+x恒成立，对x分类讨论，分离参数m，再由导数求最值得答案．

解：∵f（x）＝ax，∴f′（x）＝axlna，

又函数f（x）在（0，1）处的切线方程为y＝2x+1，

∴f′（0）＝a0lna＝2，即a＝e2，则f（x）＝e2x，

∵f（x）≥mx+x恒成立，∴e2x≥mx+x恒成立，

当x＝0时，e0≥0成立．

当x≠0时，令g（x）＝，则g′（x）＝，

当x∈（﹣∞，0）∪（0，）时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0）和（0，）上

单调递减，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

当x＞0时，m≤恒成立，∴m≤；

当x＜0时，m≥恒成立，而＜﹣1，则m≥﹣1．

综上，﹣1≤m≤2e﹣1．

∴m的取值范围为[﹣1，2e﹣1]．

故选：A．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知x＞1，则的值可以为（　　）

A．9    B．10    C．11    D．12

【分析】由x＞1，得x﹣1＞0，所以＝（x﹣1）++1，再利用基本不等式的性质即可求得答案．

解：由x＞1，得x﹣1＞0，

所以＝（x﹣1）++1≥2+1＝11，

当且仅当x﹣1＝时等号成立，

故选：CD．

10．下列函数中是奇函数，且值域为R的有（　　）

A．f（x）＝x3    B．f（x）＝x+    

C．f（x）＝x+sinx    D．f（x）＝x﹣5

【分析】结合基本初等函数的奇偶性及值域分别检验各选项即可判断．

解：根据幂函数性质知，f（x）＝x3，f（x）＝x+sinx为奇函数，且值域为R，符合题意；

f（x）＝x+的值域（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），不符合题意，

f（x）＝x﹣5的值域{y|y≠0}，不符合题意．

故选：AC．

11．已知函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x﹣1，则（　　）

A．f（x）图象的一条对称轴为x＝    

B．f（x）图象的一个对称中心是（，0）    

C．将曲线y＝2sin（x﹣）上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移两个单位长度，可以得到y＝f（x）的图象    

D．将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称

【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用三角函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解：函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x﹣1＝sin2x﹣cos2x﹣2＝2sin（2x﹣）﹣2，

令x＝，求得f（x）＝﹣3，不是最值，故不A正确．

令x＝，求得f（x）＝﹣2，故f（x）图象的一个对称中心为 （，﹣2），故B不正确．

将曲线y＝2sin（x﹣）上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得y＝2sin（2x﹣）的图象；

再向下平移两个单位长度，可以得到y＝2sin（2x﹣）﹣2＝f（x）的图象，故C正确．

将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到 y＝2sin（2x﹣﹣）﹣2＝﹣2cos2x﹣2图象，

显然，由于所得函数为偶函数，故它 的曲线关于y轴对称，故D正确．

故选：CD．

12．设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝．过点M（﹣2，1）的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有（　　）

A．椭圆的方程为＝1    

B．椭圆的焦距为    

C．椭圆上存在4个点Q，使得•＝0    

D．直线l的方程为8x﹣9y+25＝0

【分析】由椭圆的定义求出a的值，再利用勾股定理求出c的值，进而可以求出椭圆的方程，即可判断A，B是否正确，再由知∠F1QF2＝90°，故点Q在以F1F2为直径的圆上，即可判断C是否正确，选项D，设出A，B的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求出直线AB的方程，进而可以求解．

解：由椭圆的定义知2a＝|PF1|+|PF2|＝6，故a＝3，

因为PF1⊥F1F2，所以|F，所以c＝，b＝2，

所以椭圆的方程为，

所以椭圆的焦距为2c＝2，则A正确，B错误，

由知∠F1QF2＝90°，故点Q在以F1F2为直径的圆上，

由c＞b知圆与椭圆有4个交点，C正确，

依题意知点M（﹣2，1）为弦AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，两式作差可得，

因为x1+x2＝﹣4，y1+y2＝2，所以kAB＝，

故直线l的方程为：y﹣1＝，即8x﹣9y+25＝0，D正确，

故选：ACD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知向量＝（m，3），＝（1，﹣2），且（+）⊥，则m＝　1　．

【分析】根据题意，求出向量+的坐标，进而由数量积的计算公式可得（+）•＝m+1﹣2＝0，解可得m的值，即可得答案．

解：根据题意，向量＝（m，3），＝（1，﹣2），则．

因为，所以（+）•＝m+1﹣2＝0，解得m＝1，

故答案为：1．

14．在（x﹣2）6的展开式中，含x4项的系数为　60　．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4，即可得含x4的项的系数．

解：（x﹣2）6展开式的通项为Tr+1＝（﹣2）rC6rx6﹣r，

令6﹣r＝4，可得r＝2，

∴含x4的项的系数是（﹣2）2C62＝60．

故答案为：60．

15．函数f（x）＝sinx+cos2x的最大值是　　．

【分析】利用二倍角公式将函数f（x）化简，利用换元法及二次函数的性质即可求得最大值，

解：f（x）＝sinx+cos2x＝﹣2sin2x+sinx+1，

设t＝sinx∈[﹣1，1]，

则y＝﹣2t2+t+1＝﹣2（t﹣）2+，

所以当t＝时，函数取得最大值为．

故答案为：．

16．已知底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，PA⊥AD，PA＝AB，PB＝AB，且BC＝2．若球O的体积为，则AB＝　2　，棱PB的中点到平面PCD的距离为　　．

【分析】由题意画出图形，可证侧棱PC为球O的直径，由球O的体积求得AC，再由长方体的对角线长与棱长的关系列式求解AB；过A作AG⊥PD于G，取棱PA的中点F，PB的中点E，连接EF，把问题转化为求F到平面PCD的距离，然后利用等面积法求解．

解：如图，

∵PA＝AB，PB＝，∴PA⊥AB，

又PA⊥AD，AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD，

∵底面ABCD为矩形，∴侧棱PC为球O的直径．

设球O的半径为R，则，即R＝2，

又R＝，解得AB＝2．

过A作AG⊥PD于G，取棱PA的中点F，PB的中点E，连接EF，

可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AG，从而AG⊥平面PCD，

由等面积法可得，AG＝，则F到平面PCD的距离为．

∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，

故棱PB的中点到平面PCD的距离为．

故答案为：2；．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在递增的等比数列{an}中，a3＝9，a2+a4＝30．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝log3a2n，求数列{bn}的前n项和Sn．

【分析】（1）根据题意，由等比数列的通项公式可得，解可得a1与q，即可得答案，

（2）由对数的运算性质可得bn＝log3a2n＝2n﹣1，由等差数列的前n项和公式计算可得答案．

解：（1）根据题意，设等比数列{an}的公比为q，

则有，

解可得a1＝1，q＝3，

故an＝3n﹣1，

（2）由（1）可得，则bn＝log3a2n＝2n﹣1，

故．

18．（12分）在①c（cosA+sinA）＝b，②csinB+bcosC＝b，③sinB+tanCcosB＝sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＝，△ABC的面积是56且____，求△ABC的周长．

【分析】选择条件①：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、正弦的两角和公式与同角三角函数的商数关系，可得tanC＝1，sinA＝，然后利用正弦定理可推出a：b：c的值，最后根据三角形的面积公式，求得三条边的长，得解；

选择条件②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合辅助角公式，求出角C，接下来同条件①；

选择条件③：结合同角三角函数的商数关系、辅助角公式与三角形的内角和定理，可推出cosC＝，从而得C＝，接下来同条件①．

解：选择条件①：

由正弦定理知，＝＝，

∵c（cosA+sinA）＝b，

∴sinC（cosA+sinA）＝sinB，

∵A+B+C＝π，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，

∴sinCsinA＝sinAcosC，

∵sinA≠0，∴tanC＝1，

∵C∈（0，π），∴C＝．

∵cosB＝，且B∈（0，π），∴sinB＝，

∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝×+×＝，

由正弦定理知，＝＝，

∴a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝：：＝7：：5，

不妨设a＝7t，b＝t，c＝5t，

∴△ABC的面积S＝absinC＝×7t×t×＝56，解得t＝2，

∴a＝14，b＝，c＝10，

故△ABC的周长为a+b+c＝14++10＝24+．

选择条件②：

由正弦定理知，＝＝，

∵csinB+bcosC＝b，

∴sinCsinB+sinBcosC＝sinB，

∵sinB≠0，

∴sinC+cosC＝，即sin（C+）＝，

∵C∈（0，π），∴C＝．

以下步骤同①．

选择条件③：

∵sinB+tanCcosB＝sinA，

∴sinB+•cosB＝sinA，即sinBcosC+sinCcosB＝sinAcosC，

∴sin（B+C）＝sinAcosC，

∵A+B+C＝π，∴sin（B+C）＝sinA＝sinAcosC，

∵sinA≠0，∴cosC＝，

∵C∈（0，π），∴C＝．

以下步骤同①．

19．（12分）为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系，农业农村部对160城镇当月的猪肉价格（元/千克）与居民人均收入（元/月）进行了随机调研得到如下表格：

猪肉价格（元/千克）

人均收入（元/月）	（0，40]	（40，50]	（50，60]
（0，3000]	6	15	0
（3000，4000]	2	27	5
（4000，5000]	9	45	16
（5000，6000]	0	16	19

（1）估计全国各地猪肉价格在（50，60]（元/千克）内的概率；

（2）估计这160个城镇的居民人均收人（元/月）的中位数（计算结果保留整数）；

（3）根据所给数据完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．

猪肉价格（元/千克）

人均收入（元/月）	（0，50]	（50，60]	合计
（0，4000]
（4000，6000]
合计

附：，其中n＝a+b+c+d．

P（K2≥k）	0.05	0.010	0.005
k	3.841	6.635	7.879

【分析】（1）根据频率的定义即可求出样本的频率，即可估计全国各地猪肉价格在（50，60]（元/千克）内的概率，

（2）根据中位数的定义即可求出，

（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．

解：（1）因为这160个城镇的猪肉价格在（50.60]（元/千克）内的频率为，

所以据此得全国各地猪肉价格在（50.60]（元/千克）内的概率约为，

（2）因为居民人均收入（元/月）在（0，4000]的频率为，

居民人均收入（元/月）在（0，5000]内的频率为，

所以居民人均收入（元/月）的中位数在（4000，5000]之间，

因为．

所以中位数约为4357．

（3）列联表如下：

猪肉价格（元/千克）

人均收人（元/月）	（0，50]	（50.60]	合计
（0，4000]	50	5	55
（4000，6000]	70	35	105
合计	120	40	160

因为，

所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．

20．（12分）如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于O，∠BAD＝60°，点E不在平面ABCD内，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，OF⊥平面ABCD，BC＝CE＝DE＝2EF＝2．

（1）证明：EF∥AD；

（2）求平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值．

【分析】（1）推导出AD∥BC，从而AD∥平面BCEF，由此能证明EF∥AD．

（2）推导出AC⊥BD，以O为坐标原点，直线OA，OB，OF分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，取CD的中点M，连接EM，OM，利用向量法能求出平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值．

解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，

∵AD⊄平面BCEF，BC⊂平面BCEF，

∴AD∥平面BCEF，

∵平面ADEF∩平面BCEF＝EF，AD⊂平面ADEF，

∴EF∥AD．

（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，

∵OF⊥平面ABCD，∴以O为坐标原点，直线OA，OB，OF分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，

取CD的中点M，连接EM，OM，

∵∠BAD＝60°，BC＝2，∴OA＝OC＝，OB＝OD＝1，

∵BC＝CD＝CE＝DE＝2，∴△CDE为正三角形，EM＝，

∵OM∥BC，OM＝BC，EF∥BC，EF＝BC，

∴EF∥OM，EF＝OM，∴OF∥EM，OF＝EM，

∴A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），E（﹣，﹣，），

＝（﹣，﹣1，0），＝（，﹣，﹣），＝（﹣，﹣1，0），＝（﹣），

设平面ADEF的一个法向量为＝（x，y，z），

则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），

设平面BCEF的一个法向量＝（a，b，c），

则，取a＝1，得＝（1，﹣，﹣1），

∴cos＜＞＝＝，

∴平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为．

21．（12分）已知函数f（x）＝ax+x2﹣a2lnx，其中a＞0．

（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与直线x﹣3y+4＝0垂直，求函数f（x）的单调区间；

（2）设函数f（x）的最小值为g（a），求函数g（a）的最大值．

【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（2）＝﹣3，得到关于a的方程，解出判断即可；

（2）求出函数的单调区间，求出函数的最小值和最大值即可．

解：（1）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），

且f′（x）＝a+x﹣＝，

∵f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与直线x﹣3y+4＝9垂直，

故f′（2）＝﹣3＝a+2﹣，即a2﹣3a﹣10＝0，解得：a＝5或a＝﹣2，

∵a＞0，∴a＝5，

此时f′（x）＝，

令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故函数f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；

（2）由（1）知f′（x）＝，

令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，

故f（x）min＝f（）＝a2﹣a2ln，故g（a）＝a2﹣a2ln，

又g′（a）＝a（﹣2ln），令g′（a）＝0，解得：a＝2，

故g（a）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，

故当a＝2时，g（a）max＝g（2）＝2．

22．（12分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：y2＝4x上两个不同的点，C的焦点为F．

（1）若直线AB过焦点F，且y12+y22＝32，求|AB|的值；

（2）已知点P（﹣2，2），记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且kPA+kPB＝﹣1，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足•＝0，求点D的轨迹方程．

【分析】（1）设直线AB的方程为x＝ty+1，与抛物线方程联立，由根与系数关系的关系及y12+y22＝32即可求得m值，从而可求得|AB|的值；

（2）设A（，y1），B（，y2），直线AB过定点（m，0），联立直线AB的方程y＝kx﹣km和抛物线的方程，运用韦达定理，直线的斜率公式，化简整理可得m＝2，再由向量垂直的条件和联立两条直线方程可得所求轨迹方程．

解：（1）抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为F（1，0），

若直线AB过焦点F，设直线AB的方程为x＝ty+1，

与抛物线方程联立，消去x，可得y2﹣4ty﹣4＝0，

则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，x1+x2

所以y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝16t2+8＝32，

解得t＝±，

所以|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝t（y1+y2）+2＝4t2+2＝11；

（2）设A（，y1），B（，y2），直线AB过定点（m，0），直线AB的方程为y＝k（x﹣m），

由可得ky2﹣4y﹣4km＝0，

则y1+y2＝，y1y2＝﹣4m，

△＝16+16k2m＞0，

又kPA+kPB＝﹣1，即+＝﹣1，

化为y1y2（y1+y2）+2（y1+y2）﹣4+＝0，

即为﹣m•+﹣4+m2＝0，

上式对k≠0恒成立可得m＝2，

由•＝0，可得PD⊥AB，

可得直线PD的方程为y﹣2＝﹣（x+2），与方程y＝kx﹣2k联立，

消去k，可得x2+y2﹣2y﹣4＝0，

上式即为D的轨迹方程．