历年高考立体几何大题试题

1.【2015高考新课标2，理19】

如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，

11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方

形．

（1题图）

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

2.【2015江苏高考，16】 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，

1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；

（2）11AB BC ⊥.

（2题图）

（3题图）

3. 【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，

11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.

（Ⅰ）证明：1//EF B C ； （Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.

D D C

A E

F A

B

C B A

B C

D E

A

B

C

4. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且

四边形ABCD 为直角梯 形，2

ABC BAD π

∠=∠=

,2,1PA AD AB BC ====

（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；

（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长

（4题图）

G F B

A

C

D

E

（5题图）

5 .【2015高考福建，理17】如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB 平

面BEC ，BE

EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.

(Ⅰ)求证：//GF 平面ADE ； (Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．

6.【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，

2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.

（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；

（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.

P A B

C

D

Q

（6题图）

（7题图）

7.【2015高考山东，理17】如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为

,AC BC 的中点. （Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；

（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,AB BC CF DE ⊥= ，45BAC ∠= ,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.

8 .【2015高考天津，理17】 如图，在四棱柱1111ABCD

A B C D 中，侧棱

1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,

12,5AC

AA AD CD ,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.

(I)求证：//MN 平面ABCD ； (II)求二面角1

1D AC B 的正弦值；

(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为

1

3

，求线段1A E 的长

N

M

C 1

B 1

A 1

D

A

B

C

D 1

（8题图）

题（19）图

P

C

E

D B

A

（9题图）

9.【2015高考重庆，理19】 如题（19）图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面

,3,.,2

ABC PC ACB D E π

=∠=

分别为线段,AB BC 上的点，且

2,2 2.CD DE CE EB ====

（1）证明：DE ⊥平面PCD （2）求二面角A PD C --的余弦值。

10 .【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N （1）请将字母,,F G H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线//MN 平面BDH （3）求二面角A EG M --的余弦值.

（10题图）

11 .【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE

（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3

，求

DC

BC

的值． （11题图）

12 .【2015高考陕西，理18】如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2

π

∠BA =

，

C 1AB =B =，

D 2A =，

E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折

起到1∆A BE 的位置，如图2． （I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；

（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．

13.【2015高考新课标1，理18】如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.

（13题图）

O F

E

C

B

A

（14题图）

14.【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．

(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥； (Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．

15.【2015高考广东，理18】如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ，6AB ，3BC .点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、

BC 上，且2AF FB ，2CG GB ．

（1）证明：PE FG ⊥； （2）求二面角P AD C 的正切值；

（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．

（15题图）（16题图）

16。 2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是

边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上. （1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥； （2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37

，求四面体ADPQ 的体积

17. 【2015高考上海，理19】如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的正弦值.

（17题图）

图P

A

B C D E

F G