江西省赣州市赣县中学北校区2014-2015学年高一数学上学期9月月考试卷(含解析)

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）下列各组对象不能构成一个集合的是（）

    A．    不超过20的非负实数

    B．    方程x2﹣9=0在实数范围内的解

    C．    的近似值的全体

    D．    赣县中学北区2014年在校身高超过170厘米的同学

2．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA=（）

    A．    {1，2}    B．    {3，4，5}    C．    {1，2，3，4，5}    D．    ∅

3．（5分）函数的定义域为（）

    A．        B．        C．        D．    

7．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间    C．        D．    ，值域为，则m的取值范围是（）

    A．    （0，2]    B．    （2，4]    C．        D．    （0，4）

10．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）

    A．    最大值为3，最小值﹣1    B．    最大值为，无最小值

    C．    最大值为3，无最小值    D．    既无最大值，也无最小值

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填入答题卡上）

11．（5分）将二次函数y=﹣2x2的顶点移到（﹣3，2）后，得到的函数的解析式为 ．

12．（5分）已知，则f{f}等于．

13．（5分）已知集合A={x|x≥2}，B={x|x≥m}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是．

14．（5分）已知集合，则A∩B=．

15．（5分）给出下列四个命题：其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）

①函数y=|x|与函数y=（）2表示同一个函数；

②正比例函数的图象一定通过直角坐标系的原点；

③若函数f（x）的定义域为，则函数f（2x）的定义域为；

④已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤）

16．（12分）解不等式

（1）x2﹣3x﹣18≤0；

（2）≥0．

17．（12分）已知：A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣2或x＞4}，若A∩B=∅，求a的取值范围．

18．（12分）求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（0，+∞）上是单调增函数．

19．（12分）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．

（1）求f（x）；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+2，x∈．

（1）当a=﹣5时，求f（x）的最大值和最小值；

（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间上是单调函数．

21．（14分）已知增函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足f（x）+f（x﹣3）≤2的x的范围．

江西省赣州市赣县中学北校区2014-2015学年高一上学期9月月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）下列各组对象不能构成一个集合的是（）

    A．    不超过20的非负实数

    B．    方程x2﹣9=0在实数范围内的解

    C．    的近似值的全体

    D．    赣县中学北区2014年在校身高超过170厘米的同学

考点：    集合的含义． 

专题：    常规题型；集合．

分析：    判断一个总体是不是集合，主要应用集合内的元素的确定性：即给定一个总体，总体内的每个元素在不在总体内是确定的．

解答：    解：A，B，D都是集合，∵的近似值的全体不满足确定性，不是集合；

故选C．

点评：    本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性（即给定一个总体，总体内的每个元素在不在总体内是确定的），无序性，互异性；属于基础题．

2．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA=（）

    A．    {1，2}    B．    {3，4，5}    C．    {1，2，3，4，5}    D．    ∅

考点：    补集及其运算． 

专题：    计算题．

分析：    由题意，直接根据补集的定义求出∁UA，即可选出正确选项

解答：    解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}

所以∁UA={3，4，5}

故选B

点评：    本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键

3．（5分）函数的定义域为（）

    A．    

对于③，f（x）=x0与g（x）=，两个函数的定义域相同，对应法则相同，故是同一个函数；

对于④，f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．的定义域相同，对应法则相同，故是同一个函数．

故选：C．

点评：    本题给出几组函数，要我们找到同一函数的一组，着重考查了函数的定义域、对应法则等函数的基本概念等知识，属于基础题．

5．（5分）已知（x，y）在映射下的象是（x+y，x﹣y），则象（1，7）在f下的原象为（）

    A．    （8，﹣6 ）    B．    （4，﹣3）    C．    （﹣3，4）    D．    （﹣6，8）

考点：    映射． 

专题：    规律型；函数的性质及应用．

分析：    根据映射的定义，解方程即可．

解答：    解：∵（x，y）在映射下的象是（x+y，x﹣y），

∴由，

即，

即象（1，7）在f下的原象为（4，﹣3），

故选：B．

点评：    本题主要考查映射的定义，根据映射条件解方程即可，比较基础．

6．（5分）函数y=x2+x （﹣1≤x≤3 ）的值域是（）

    A．        B．        C．        D．    

考点：    二次函数在闭区间上的最值． 

专题：    计算题．

分析：    先将二次函数配方，确定函数在指定区间上的单调性，从而可求函数的值域．

解答：    解：由y=x2+x得，

∴函数的对称轴为直线

∵﹣1≤x≤3，

∴函数在上为减函数，在上为增函数

∴x=时，函数的最小值为

x=3时，函数的最大值为12

∴≤y≤12．

故值域是

故选B．

点评：    本题重点考查二次函数在指定区间上的值域，解题的关键是配方，确定函数的单调性，属于基础题．

7．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间    C．        D．    ，故函数y=的增区间为，

故选：B

点评：    本题考查二次函数的图象的特征，图象形状、单调性及单调区间，体现了转化的数学思想，属于基础题．

9．（5分）若函数y=x2﹣4x﹣4的定义域为，值域为，则m的取值范围是（）

    A．    （0，2]    B．    （2，4]    C．        D．    （0，4）

考点：    函数的值域；函数的定义域及其求法． 

专题：    数形结合；数形结合法．

分析：    根据二次函数的图象和性质可得：函数f（x）=x2﹣4x﹣4的图象是开口向上，且以直线x=2为对称轴的抛物线，故f（0）=f（4）=﹣4，f（2）=﹣8，可得m的取值范围．

解答：    解：函数f（x）=x2﹣4x﹣4的图象是开口向上，且以直线x=2为对称轴的抛物线

∴f（0）=f（4）=﹣4，f（2）=﹣8

∵函数f（x）=x2﹣4x﹣4的定义域为，值域为，

∴2≤m≤4

即m的取值范围是

故选：C

点评：    本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

10．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）

    A．    最大值为3，最小值﹣1    B．    最大值为，无最小值

    C．    最大值为3，无最小值    D．    既无最大值，也无最小值

考点：    函数的最值及其几何意义；二次函数在闭区间上的最值． 

专题：    计算题．

分析：    将函数f（x）化简，去掉绝对值后，分别解不等式f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x），得到相应的x的取值范围．最后得到函数F（x）在三个不同区间内分段函数的表达式，然后分别在三个区间内根据单调性，求出相应式子的值域，最后得到函数F（x）在R上的值域，从而得到函数有最大值而无最小值．

解答：    解：f（x）=3﹣2|x|=

①当x≥0时，解f（x）≥g（x），得3﹣2x≥x2﹣2x⇒0≤x≤；

解f（x）＜g（x），得3﹣2x＜x2﹣2x⇒x＞．

②当x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x2﹣2x⇒2﹣≤x＜0；

解f（x）＜g（x），得3+2x＜x2﹣2x⇒x＜2﹣；

综上所述，得

分三种情况讨论：

①当x＜2﹣时，函数为y=3+2x，在区间（﹣∞，2﹣）是单调增函数，故F（x）＜F（2﹣）=7﹣2；

②当2﹣≤x≤时，函数为y=x2﹣2x，在（2﹣，1）是单调增函数，在（1，）是单调减函数，

故﹣1≤F（x）≤2﹣

③当x＞时，函数为y=3﹣2x，在区间（，+∞）是单调减函数，故F（x）＜F（）=3﹣2＜0；

∴函数F（x）的值域为（﹣∞，7﹣2]，可得函数F（x）最大值为F（2﹣）=7﹣2，没有最小值．

故选B

点评：    本题以含有绝对值的函数和分段函数为载体，考查了函数的值域与最值的求法、基本初等函数的单调性和值域等知识点，属于中档题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填入答题卡上）

11．（5分）将二次函数y=﹣2x2的顶点移到（﹣3，2）后，得到的函数的解析式为 y=﹣2（x+3）2+2=﹣2x2﹣12x﹣16．

考点：    二次函数的性质；函数的表示方法． 

专题：    规律型．

分析：    用平移变换的知识，得到整个图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位可得结论．

解答：    解：由平移变换可知，整个图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位

即x变为x+3，y变为y﹣2代入y=﹣2x2得：y=﹣2（x+3）2+2

点评：    本题主要考查函数图象中的平移变换知识．

12．（5分）已知，则f{f}等于﹣5．

考点：    函数的值． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    利用分段函数在不同区间的对应法则不同即可计算出其函数值．

解答：    解：∵5＞0，∴f（5）=0；∴f（0）=﹣1；∵﹣1＜0，∴f（﹣1）=2（﹣1）﹣3=﹣5．

因此f{f}=﹣5．

故答案为﹣5．

点评：    正确理解分段函数的意义是解题的关键．

13．（5分）已知集合A={x|x≥2}，B={x|x≥m}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是，则函数f（2x）的定义域为；

④已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个．

考点：    命题的真假判断与应用． 

专题：    阅读型；函数的性质及应用．

分析：    ①只有定义域和对应法则完全相同，才是相同的函数，求出定义域即可判断；

②由正比例函数y=kx（k≠0）的图象，即可判断；

③若函数f（x）的定义域为，则令0≤2x≤2，解得0≤x≤1，即可判断；

④列举出映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射有f（a）=﹣1，f（b）=0或f（a）=0，f（b）=0或f（a）=1，f（b）=0，即可判断．

解答：    解：①函数y=|x|与函数y=（）2=x（x＞0），定义域不一样，它们不是同一函数，故①错；

②正比例函数y=kx（k≠0）的图象一定通过直角坐标系的原点，故②对；

③若函数f（x）的定义域为，则令0≤2x≤2，解得0≤x≤1，

则函数f（2x）的定义域是，故③错；

④已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射有

f（a）=﹣1，f（b）=0或f（a）=0，f（b）=0或f（a）=1，f（b）=0，共3个，故④对．

故答案为：②④

点评：    本题考查抽象函数的定义域，同一函数的概念，只有定义域和对应法则完全相同，才是相同的函数，同时考查映射的概念，是一道基础题，也是易错题．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤）

16．（12分）解不等式

（1）x2﹣3x﹣18≤0；

（2）≥0．

考点：    其他不等式的解法；一元二次不等式的解法． 

专题：    不等式的解法及应用．

分析：    （1）结合二次函数和二次方程求解．

（2）转化为二次不等式组求解．

解答：    解：（1）解方程x2﹣3x﹣18=0，得x1=6，x2=﹣3

根据二次方程和不等式的关系可得；

不等式x2﹣3x﹣18≤0的解集为{x|﹣3≤x≤6}

（2）把不等式≥0转化为不等式组：  解得或

即x＞1或﹣2≤x＜﹣1

不等式 ≥0的解集为：{x|x＞1或﹣2≤x＜﹣1}

点评：    本题考查了二次不等式的解法，转化的方法分式不等式．

17．（12分）已知：A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣2或x＞4}，若A∩B=∅，求a的取值范围．

考点：    交集及其运算． 

专题：    计算题．

分析：    根据A与B交集为空集，分A为空集和A不为空集两种情况考虑，分别求出a的范围，找出两范围的并集即可．

解答：    解：由A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣2或x＞4}，

根据A∩B=∅分两种情况考虑：

若A=∅，则有2a＞a+3，解得：a＞3，满足条件．

若A≠∅，则有，

解得：﹣1≤a≤1，此时亦符合题意，

则a的取值范围是∪（3， +∞）．

点评：    此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

18．（12分）求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（0，+∞）上是单调增函数．

考点：    函数单调性的判断与证明． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    首先，设两个自变量，然后，比较它们函数值的大小，最后，得到结论．

解答：    解：任设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，

∴f（x1）﹣f（x2）

=

=，

∵x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴在区间（0，+∞）上是单调增函数．

点评：    本题重点考查函数的单调性的定义，属于容易题，注意证明格式和步骤．

19．（12分）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．

（1）求f（x）；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

考点：    二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质． 

专题：    计算题．

分析：    （1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b，根据对应项的系数相等可分别求a，b，c．

（2）对函数进行配方，结合二次函数在上的单调性可分别求解函数的最值．

解答：    解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，

则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b

∴由题恒成立

∴

∴f（x）=x2﹣x+1

（2）f（x）=x2﹣x+1=在单调递减，在单调递增

∴，f（x）max=f（﹣1）=3

点评：    本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．

20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+2，x∈．

（1）当a=﹣5时，求f（x）的最大值和最小值；

（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间上是单调函数．

考点：    二次函数的性质． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    （1）由题意得出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题；（2）找出函数的对称轴，从而得出a的范围．

解答：    解（1）当a=﹣5时，f（x）=x2+10x+2=（x+5）2﹣23，x∈，

又因为二次函数开口向上，且对称轴为x=﹣5，

函数f（x）在上递增，

所以当x=﹣3时，f（x）min=﹣19，

当x=3时，f（x）max=41．

（2）函数f（x）=（x﹣a）2+2﹣a2的图象的对称轴为x=a，

因为f（x）在上是单调函数，

所以a≤﹣3或a≥3．

点评：    本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．

21．（14分）已知增函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足f（x）+f（x﹣3）≤2的x的范围．

考点：    抽象函数及其应用． 

专题：    计算题；函数的性质及应用．

分析：    由条件求出f（4）=2，再将f（x）+f（x﹣3）≤2转化为f≤f（4），由单调性得到x＞0，x﹣3＞0，且x（x﹣3）≤4，求出交集即可．

解答：    解：由f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知，

2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），

所以f（x）+f（x﹣3）≤2等价于

f（x）+f（x﹣3）≤f（4），

因为f（xy）=f（x）+f（y），

所以f（x）+f（x﹣3）=f，

所以f≤f（4）．

又因为y=f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．

所以x＞0，x﹣3＞0，且x（x﹣3）≤4，

解得：3＜x≤4．

故满足的实数x的取值范围是（3，4]．

点评：    本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性及运用，注意函数的定义域，属于易错题．