c c <8．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为的正六边形硬6
纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为
的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．14472
3624
二、多选题
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为
()22
2:109
x y C a a -=>12,F F ，为上一点，则以下说法正确的是（ ）
3
4
y x =
P C A ．的实轴长为B ．的离心率为
C 8C 53
C ．
D ．的焦距为218
PF PF -=C 10
10．已知函数则下列结论正确的是（ ）
21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+=⎨<⎩
，
， A ．是偶函数B ．()f x 31
2f f π⎛⎫
⎛⎫-
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．是增函数
D ．的值域为()f x ()f x [1,)
-+∞11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各136层球数构成一个数列，则（
）
{}n a
A ．
B ．
C ．412a =11n n a a n +=++1005050
a =D ．12
2n n n a a a ++=⋅12．已知实数满足，且，则下列结论正确的是,,x y z 1x y z ++=2221x y z ++=（
）
A ．
B ．的最大值为
0xy yz xz ++=z 12
C ．的最小值为
D ．的最小值为z 13
-
xyz 427
-
三、填空题
13．已知正方形ABCD 的边长为1，，则AB a = BC b = AC c = a b c
++
=________.
14．写出一个存在极值的奇函数_______________________．
()f x =15．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，垂直于2:4C y x =F l P C PQ l 点，与轴交于点为坐标原点，且，则Q QF y ,T O 2OT =PF =_______________________．
16．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为，
OAB 10，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当60,PBA QAB AQ QP PB ∠=∠=== OP
最长时，该奖杯比较美观，此时_______________________．
AOB ∠=
四、解答题
17．在①函数的图象关于直线对称，②函数的图象关于点
()y f x =3
x π
=
()y f x =对称，③函数的图象经过点这三个条件中任选一个，,06P π⎛⎫ ⎪⎝⎭()y f x =2,13Q π⎛⎫- ⎪⎝⎭
补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数最小正周期为，()sin cos cos sin 0,||2f x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
π且 ，判断函数在上是否存在最大值？若存在，()f x ,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
求出最大值及此时的值；若不存在，说明理由．
x 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知数列的前项和为．{}n a n 211
,6,12
n n n S a S a +==
+（1）证明：数列为等比数列，并求出．{}1n S -n S （2）求数列的前项和．1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
n n T 19．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，P ABCD -PAD ABCD ，，是棱上的动点（除端点外），//AD BC AB AD ⊥ 24AB BC ==E PD F M
分别为，的中点．
AB CE
（1）求证：平面；
//FM PAD （2）若直线与平面所成的最大角为，求平面与平面所成锐二EF PAD 30 CEF PAD 面角的余弦值．
20．在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，其中表示年龄，表()(),1,2,,20,2565i i i x y i x =<< i x i y 示脂肪含量，并计算得到
，
20
2
1
48280i
i x
==∑
．
20
20
21
1
15480,27220,48,27 4.7i
i i i i y
x y x y ======≈∑∑（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并
y x 求关于的线性回归方程（的计算结果保留两位小数）；
y x y a bx =+ ,a b （2）科学健身能降低人体脂肪含量，下表是甲，乙两款健身器材的使用年限（整年）统计表：
使用年限台数款式
年5年6年7年
8合计
甲款
520151050
乙款152010550
某健身机构准备购进其中--款健身器材，以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，该机构选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？
参考公式：相关系数
r =
=
对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜
()(),1,2,...,i i x y i n =y bx a =+ 率和截距的最小二乘估计分别为：．()()
()
1
2
1
ˆˆˆ,n
i
i
i n
i i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑21．已知函数．
()()22sin x a
f x a x
-=-∈R （1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；()y f x =,22f ππ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
a （2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．
0a >()f x (0,)x π∈22．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，直线相12,A A ()()2,0,2,0-12,A M A M 交于点且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线．M 3
4
-M E （1）求曲线的方程；
E （2）过点作直线交曲线于两点，且点位于轴上方，记直线
()1,0F l E ,P Q P x 的斜率分别为．
12,AQ A P 12,k k ①证明：
为定值；1
2
k k ②设点关于轴的对称点为，求面积的最大值．
Q x 1Q 1PFQ △
参
1．B
【分析】
由题得, 再判断得解.
{0,2}B =【详解】
由题得, 所以，，不是的子集，
{0,2}B =A B ≠{}0A B ⋂=A B A ≠ A B 故选：B
2．C
【分析】
由复数模的几何含义，知.1z -=
【详解】
由题意知：，
1|cos 1sin |z i θθ-=-+=
=∴当时，的最大值为.
cos 1θ=-1z -2故选：C
3．D
【分析】
在坐标系中画出点，根据点的特征进行判断即可.
【详解】
根据点在坐标系中的特征可以知道，
当自变量每增加1时，y 的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A ；
由图象不具有反比例函数特征，排除B ；
因为自变量有负值，排除C ；
当自变量增加到3时，y 增加的很多，所以符合指数的增加特征，D 正确，
故选：D.
4．D
【分析】
由三点共线判断A ；由线面、线线位置关系判断B ；根据等角定理判断C ；由线面平行和垂直的判定以及性质判断D.
【详解】
当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A 错误；
平行于同一平面的两直线可能相交，故B 错误；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C 错误；
如果两个相交平面垂直于同一个平面，且，则在平面、内分别存在,αβγl αβ= αβ直线垂直于平面，由线面垂直的性质可知，再由线面平行的判定定理得，,m n γ//n m //m β由线面平行的性质得出，则，故D 正确；
//m l l γ⊥故选：D
5．A
【分析】
最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用重复试验的概率和1互斥事件的概率求解.
【详解】
由题得最多人被感染的概率为.1041344414256256512()()()555625625
C C ++=
=故选：A
【点睛】
方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、事件的概率、重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.
6．C
【分析】
首先原式，分两部分求的系数.()()()()()()2123123x
x x x x x x =+++++++3x 【详解】
原式，所以展开式中含的项包含()()()()()()2123123x x x x x x x =+++++++3x 中项为 ，和中()()()123x x x +++x 12231311x x x x ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=()()()123x x x +++的项为，这两项的系数和为.
3x 3x 11112+=故选：C
7．D
【分析】
由题意知，根据各选项并结合对应函数的区间单调性，即可判断指01,01b a c <<<<<对数式的大小关系.
【详解】
由题意知：，而 ，
20202021log 20211log 20200a b =>>=>0ln 21c <=<∴在定义域内单调减，故，则B 错误；
log c y x =log 0log c c a b <<，故A 错误；11log 0log log log a b c c c c a b
=<<=在第一象限的单调递增知，故C 错误；
c y x =c c a b >定义域内单调递减，即，故D 正确；
x y c =a b c c <故选：D
8．B
【分析】
利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边周长，再根据棱柱的体积：即可求解.
V S h =⋅底【详解】
如图：由正六边形的每个内角为，23
π
BF =所以 1tan 60BF BE ==
可得正六棱柱底边边长，
6214AB =-⨯=
所以正六棱柱体积：.14722V =⨯
⨯⨯=故选：B
9．AD
【分析】
根据双曲线方程及一条渐近线求出，写出双曲线方程，根据双曲线的定义、性质即可4a =判断各项的正误.
【详解】
由双曲线方程知：渐近线方程为，而一条渐近线方程为，3y x a
=±34y x =∴，故，4a =22
:1169
x y C -=
∴双曲线：实轴长，离心率为，由于可能在不同分支上则28a =54c e a ===P C
有，焦距为.
21||8PF PF -=210c ==∴A 、D 正确，B 、C 错误.
故选：AD
10．BD
【分析】
利用反例可判断AC 错误，结合函数的解析式可判断BD 为正确，从而可得正确的选项.
【详解】
，而，故不是偶函数，故A 错误.
()12f =()()1cos11f f -=<()f x 因为，故不是增函数，故C 错误.77cos cos 3333f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()f x ，故B 正确.()3012f f f π⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当时，当时，
0x <()[]1,1f x ∈-0x ≥()[)1,f x ∈+∞故的值域为，故D 正确.
()f x [1,)-+∞故选：BD.
11．BC
【分析】
根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得，即1(1)2n n n n a a n -+=+=
可判断各项的正误.
【详解】
由题意知：，故，12311,3,6,...,n n a a a a a n -====+(1)2n n n a +=
∴，故A 错误；44(41)102
a ⨯+==，故B 正确；
11n n a a n +=++，故C 正确；100100(1001)50502
a ⨯+=
=，显然，故D 错误；12(1)n a n n +=+2(1)(2)(3)4n n n n n n a a ++++=⋅122n n n a a a ++≠⋅故选：BC
12．ACD
【分析】
将两边平方后结合可得A 正确，利用基本不等式可判断BC 的1x y z ++=2221x y z ++=正误，利用导数求出的最小值后可判断D 的正误.
xyz 【详解】
因为，故，
1x y z ++=()2
1x y z ++=所以，因为，故，2222221x y z xy yz xz +++++=2221x y z ++=0xy yz xz ++=故A 正确.
又可化为即，
2221x y z ++=()2221x y xy z +-+=()22121z xy z --+=所以，2xy z z =-而，故，整理得到，故，22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2
212z z z -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭23210z z --≤113z -≤≤当且仅当时；当且仅当时；23
x y ==
13z =-0x y ==1z =故的最小值为，的最大值为1，故B 错误，C 正确.z 13
-z 又，其中.()232xyz z z z z z =-=-113
z -≤≤令，()32f z z z =-113z -≤≤故，()()2
3232f z z z z z '=-=-当时，当时，103z -
<<()0f z '>203z <<()0f z '<当时，213
z <<()0f z '>故在为增函数，在为减函数，为增函数，()f z 1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
故，故D 正确.()min 124min ,3327f z f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎨⎬ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：
多元不等式的最值的问题，可利用基本不等式构建目标变量的不等式，从而可求目标变量的取值范围或最值（注意检验），也可以利用消元法结合导数求最值.
13．【分析】
由向量的加法可得，再求解正方形的对角线即可.AB BC AC +=
【详解】
由题意可得，是正方形的对角线长，故，
AC AC = 又AB BC AC +=
所以2a b c AC ++==
故答案为：【点睛】
本题考查向量的加法，以及模长的求解，属向量基础题.
14．（不唯一）
sin x 【分析】
举出正弦函数即可.
【详解】
由于正弦函数为奇函数，且存在极值
()sin f x x =故答案为：sin x
15．5
【分析】
依题意，即可得到为的中点，从而求出的纵坐标，再代入抛物线TMQ TOF ≌T OM P 方程求出的横坐标，最后根据焦半径公式计算可得；
P 【详解】
解：依题意可得，根据抛物线的定义可知，设与轴相()1,0F :1l x =-PQ PF =PQ y 交于点，因为，又，所以，所以为的中点，M 2OT =OF QM =TMQ TOF ≌T OM 所以即的纵坐标为，在中令，得，所以
4OM =P 424y x =4y =4x =，所以4152
p PQ x =+=+=5PF =故答案为：5
16．2
π
【分析】
作交于，交于，且，设，求出、OM QP ⊥QP M AB C OC AB ⊥AOC θ∠=AB ，设，作交于，交于，可得出OC AQ QP BP x ===⊥QE AB AB E PF AB ⊥AB F
，由勾股定理可得
10sin x θ=10cos OM OC CM θθ=+=+
然后求最值可得答案.()()22
22210cos 5sin OP OM MP θθ
θ=+=++【详解】
作交于，交于，且，设，
OM QP ⊥QP M AB C OC AB ⊥AOC θ∠=则，
20sin θ=AB 10cos OC θ=设，作交于，交于，
AQ QP BP x ===⊥QE AB AB E PF AB ⊥AB F
因为，所以，60PBA QAB ∠=∠= 12AE BF x ==CM PF x ==，所以，所以，即，
EF QP x ==2AB x =20sin 2AB x θ==10sin x θ=
，10cos 10cos OM OC CM x θθθ=+=+
=+
所以()()22
22210cos 5sin OP OM MP θθθ=+=++
，
222100cos 75sin cos 25sin 1002θθθθθθ=+++=+因为，所以当即时最大，[]sin 21,1θ∈-sin 21θ=4πθ=
2OP 也就是最长时.OP 2AOB π∠=
故答案为：
.2π【点睛】
本题考查了用三角函数解决几何问题，关键点是作出辅助线利用勾股定理求出，考查2OP 了学生分析问题、解决问题的能力.
17．答案不唯一，具体见解析
【分析】
先对函数化简得，由函数的最小正周期为，可得，则()sin()f x x ωϕ=+π2ω=，若选①，则有，从而可求出的值，进
()sin(2)f x x ϕ=+2()32k k π
π
ϕπ⨯+=+∈Z ϕ而可求出函数的解析式，再利用换元法可求得最值；若选②，则有，
2()6k k πϕπ⨯
+=∈Z 从而可求出的值，然后利用换元法可求得最值；若选③，则有ϕ，从而可求出的值，再利用换元法可求最值即可222()32
k k ππϕπ⨯+=-∈Z ϕ【详解】
解：，
()sin cos cos sin sin()f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+由已知函数的周期，
()f x 2T ππω=
=求得，
2ω=所以，()sin(2)f x x ϕ=+
若选①，则有，2()32k k ππϕπ⨯
+=+∈Z 解得，()6k k πϕπ=-
∈Z 又因为，所以，
2π
ϕ<0,6k π
ϕ==-所以，()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
当时，,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
52,666t x πππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以当，即时，函数取得最大值，最大值为．
2t π
=3x π
=()f x 1若选②，则有，2()6k k πϕπ⨯
+=∈Z 解得，()3k k πϕπ=-
∈Z 又因为，所以，
2π
ϕ<0,3k π
ϕ==-所以，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭当时，,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭220,33t x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
所以当，即时，函数取得最大值，最大值为．2t π=512
x π=
()f x 1若选③，则有，解得，222()32k k ππϕπ⨯+=-∈Z 112()6
k k πϕπ=-∈Z 又因为，所以，2πϕ<1,6k πϕ==所以，()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
当时，,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
72,626t x πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭显然，函数在该区间上没有最大值．
()f x 【点睛】
关键点点睛：此题考查利用三角函数的性质求函数解析式，考查求三角函数的最值，考查计
算能力，解题的关键是根据题意正确的求出函数的解析式，再利用换元法求函数的最值，属于中档题
18．（1）证明见解析；；（2）．31n n S =+111243n n T -=
-⨯【分析】
（1）根据递推关系及等比数列的定义证明；
（2）由（1）可得，根据关系求解通项，根据等比数列求和公式计算即可.
31n n S =+,n n S a 【详解】
（1）由已知，()1112
n n n S S S +=-+整理得，
132n n S S +=-所以，
()1131n n S S +-=-令，得，所以，1n =121142
S a =+=113S -=所以是以为首项，为公比的等比数列，
{}1n S -33所以，()11113
3n n n S S --=-⨯=所以；
31n n S =+（2）由（1）知，
31n n S =+当时，
2n ()111313
123n n n n n n a S S ---=-=+-+=⨯当时，1n =114a S ==所以14,1,23,2,
n n n a n -=⎧=⎨⨯⎩ 所以11,1,4111,2,23n n n a n -⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⨯ ⎪⎪⎝⎭
⎩ 所以．1112111111111631424313
n n n n T a a a --⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++=+=-⨯-
19．（1）证明见解析；（2【分析】（1）取的中点，连结，证明平面平面，再用面面平行的CD N FN MN //MFN PAD 性质定理证明即可；
（2）作出直线与平面所成角的平面角，通过最大角为，确定长度，建立EF PAD 30 AD 空间直角坐标系，用向量法计算二面角余弦值.
【详解】
（1）证明：取的中点，连结，
CD N FN MN 因为，分别为，的中点，
F N AB CD 所以，
//FN AD 又因为平面，平面，
FN ⊄PAD AD ⊂PAD 所以平面，
//FN PAD 同理，平面，
//MN PAD 又因为，
FN MN N ⋂=所以平面平面，
//MFN PAD 又因为平面，
FM ⊂MFN 所以平面．
//FM PAD
（2）因为平面平面，
PAD ⊥ABCD AB AD ⊥所以平面，
AB ⊥PAD 所以即为直线与平面所成的角，AEF ∠EF PAD 且，2tan AF AEF AE AE
∠==
当最小，即为中点时，AE E PD AE PD ⊥此时最大为，AEF ∠30 又因为，
2AF =所以
．AE =4=AD 取的中点，连结，AD O PO OC 易知平面，PO ⊥ABCD 因为且，//AO BC AO BC =所以四边形为平行四边形，ABCO 所以，
AO OC ⊥以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
O OC
x O xyz -则，，，
(0,0,0)O (4,0,0)
C (0,2,0)
D (0,0,
P E (2,2,0)F -
，
(CE =- (2,2,0)FC =
设为平面的法向量，
1(,,)n x y z =
CEF 则，1100C FC n E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即220,40,
x y x y +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩
可取
．
1n =
设平面的法向量为，
PAD ()21,0,0n
=
所以
121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅
所以平面与平面
CEF PAD
【点睛】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
20．（1）答案见解析；；（2）该机构购买甲款健身器材更划算．ˆ0.59 1.37y
x =-【分析】
（1）根据提供数据，计算相关系数，确定相关性，求线性回归方程即可；（2）以频率估计概率，列出甲、乙款的分布列，计算期望，比较大小即可.【详解】
（1），
，
22304,729x y ==20
1
201300i i
i x y xy =-=∑，
20
2
2
1
202200i
i x
x =-=∑221
20900n
i i y y =-=∑
，
0.92r =
≈因为与的相关系数接近，
y x 1所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；
y x
由题可得，()()()
2020
1
1
20
20
2
22
1
1
20 13
0.59122
20i
i
i i
i i i i
i i x x y y x y x y
b
x x x
x ====---==
=
≈--∑∑∑∑ ，ˆˆ270.59148 1.37a
y bx =-=-⨯≈-所以，ˆ0.59 1.37y
x =-（2）以频率估计概率，设甲款健身器使用年限为（单位：年）
X X
567
8
p
0.10.40.3
0.2
，
()50.160.470.380.2 6.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=设乙款健身器使用年限为（单位：年）
Y Y
567
8
p
0.30.40.2
0.1
，
()50.360.470.280.1 6.1E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=因为，
()()E X E Y >所以该机构购买甲款健身器材更划算．21．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
2
24
a π=--【分析】
（1）求出函数的导数，根据导数几何意义求斜率，由切线方程求a ；
（2）原问题转化为的零点问题，求导，利用导数可得单调性，2()2sin g x x a x =--()g x 结合零点存在性即可求解.【详解】（1），()222sin cos (),sin 2x x x a x
f x f x
ππ--⎛⎫
'=
= ⎪⎝⎭
所以在点处的切线方程为，()f x ,2
2f ππ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
y x π=所以，即；
2
22
f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭222
2,2424a a πππ--==--（2）因为，()0,x π∈所以，
sin 0x >所以可转化为，
220sin x a
x
--=22sin 0x a x --=设，2()2sin g x x a x =--则()22cos g x x x '=-当时，,2x ππ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
()0g x '>所以在区间上单调递增．()g x ,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
当时，设，0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()()22cos h x g x x x '==-此时，()22sin 0h x x '=+>所以在时单调递增，()'g x 0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
又，(0)20g '=-<02g ππ⎛⎫
'=>
⎪⎝⎭
所以存在使得且时单调递减，00,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
()0g x '=()00,x x ∈()g x 时单调递增．
0,2x x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
()g x 综上，对于连续函数，在时，单调递减，()g x ()00,x x ∈()g x 在时，单调递增．()0,x x π∈()g x 又因为，
(0)0g a =-<
所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，20()g a ππ=->2a π<()g x 0(,)x π当，即时，函数在区间上无零点，20()g a ππ=-≤2a π≥()g x (0,)π综上可知，当时，函数在上有个零点；20a π<<()f x (0,)π1当时，函数在上没有零点．2a π≥()f x (0,)π【点睛】
关键点点睛：由题意可转化为在区间上的零点个数问题，求导，2()2sin g x x a x =--(0,)π利用导数可得函数单调性，在时，单调递减，在时，单调()00,x x ∈()g x ()0,x x π∈()g x 递增，分类讨论的正负即可．
(0)g a =-22．（1）；（2）①证明见解析；
．221(2)43x y x +=≠±【分析】
（1）根据条件列出方程化简即可求出曲线方程；
（2）设直线的方程为，直接表示出斜率
l ()()()1122121,,,,0,0x my P x y Q x y y y =+><，消元为关于的式子，再根据直线与椭圆联立可得的和、积，代入化简即
12,k k 12,y y 12,y y 可求证为定值；由题意坐标为，可得直线恒过点D (4,0),
1
2
k k 1Q ()22,x y -1PQ ，化简后利用均值不等式求最值.
11PFQ PFD Q FD S S S =-△△△【详解】
（1）设点坐标为，M (),x y 则直线的斜率分别为，12,A M A M ,,222
y y x x x ≠±+-依题意知
，3224
y y x x ⋅=-+-化简得；
22
1(2)43
x y x +=≠±（2）①设直线的方程为，
l ()()()1122121,,,,0,0x my P x y Q x y y y =+><
则，
()()()()()2
121212121
11222122121121121121223332y x y my y my y y y y k my y y x y k x y my y my y y my y y x ---++-+=====++++-又，消得，
22114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()
2234690m y my ++-=得122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩，因此，112221
2
11229631343434993333434
m m m
y y k m m m m m k y y m m -
++-++++===-+-+++故为定值；12k k 1
3
②坐标为，则直线方程为，
1Q ()22,x y -1PQ ()12
1112
y y y y x x x x +-=
--令解得0y =()()()2112112211212
112
121212
1121
x x y my y my y x y x y my y x x
y y y y y y y y -++++=
+=
==+++++，22
923414634
m m m m ⎛
⎫- ⎪
+⎝⎭=+=-+即直线恒过点，1PQ ()4,0D 故11PFQ PFD Q FD
S S S =-△△△1211
3322
y y =⨯-⨯123
||||||2y y =
-123
2
y y =+
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答案第19页，总19页236||234
m m =⨯+9
4
3||||
m m =+
，=当，即
243m =m =
此时．1PFQ △【点睛】关键点点睛：求面积的最大值，首先要表示出三角形面积，根据本题条件，转化为
1PFQ △是解题的关键，表示出三角形面积后，选择合适11PFQ PFD Q FD S S S =-△△△236||234
m S m =⨯+的方法求最大值，是解题的一个难点，本题可采用分子分母同除以后，利用均值不等式||m 求解.
