2019-2020学年重庆市两江新区八年级(上)期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（4分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．（4分）在代数式，，，a+中，分式的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

3．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．b5÷b3＝b2    B．（b5）2＝b7    

C．b2•b4＝b8    D．a•（a﹣2b）＝a2+2ab

4．（4分）在直角坐标系中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A．（2，1）    B．（﹣2，1）    C．（2，﹣1）    D．（﹣2，﹣1）

5．（4分）现有5cm，6cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，不可以围成一个三角形的是（　　）

A．11cm    B．5cm    C．4cm    D．3cm

6．（4分）某多边形的每个内角均为120°，则此多边形的边数为（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

7．（4分）已知a+b＝7，a﹣b＝8，则a2﹣b2的值是（　　）

A．11    B．15    C．56    D．60

8．（4分）若x2﹣axy+9y2是一个整式完全平方后的结果，则a值为（　　）

A．3    B．6    C．±6    D．±3

9．（4分）已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（　　）

A．12cm    B．16cm    C．16cm或20cm    D．20cm

10．（4分）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

11．（4分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A．140°    B．100°    C．50°    D．40°

12．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝（　　）

A．    B．2    C．    D．

二、填空题（本大题6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）

13．（4分）分解因式：2ax﹣6ay＝　   　．

14．（4分）计算：＝　   　．

15．（4分）如果分式的值大于0，那么m的取值范围是　   　．

16．（4分）如图，在△ABC中，DB和DC分别平分∠ABC和∠ACB，过D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若EF＝5，BE＝3，则线段CF的长为　   　．

17．（4分）若关于x的方程无解，则a的值为　   　．

18．（4分）已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为　   　．

三、解答题：本大题7个小题，每小题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连结AD，点E是BC延长线上一点，CF平分∠ACE，连结AF，且AF＝AC．

（1）若∠CAD＝36°，求∠B的度数；

（2）求证：AF∥BE．

20．（10分）在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．

（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其中A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，不写作法）．

（2）直接写出A1、B1、C1三点的坐标：A1　   　、B1　   　、C1　   　；

（3）求出△ABC的面积．

21．（10分）（1）分解因式：ax2﹣4axy+4ay2；

（2）解分式方程：＝1

22．（10分）（1）计算：4（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）

（2）先化简，再求值：，其中x＝2

23．（10分）为提倡绿色出行，某公司在我区A、B两个街区分别投放了一批“共享汽车”，“共享汽车”有甲、乙不同款型．

（1）该公司在我区A街区早期试点时共投放甲、乙两种型号的“共享汽车”各20辆，投放成本共计划110万，其中甲型汽车的成本单价比乙型汽车少0.5万元，求甲、乙两型“共享汽车”的单价各是多少？

（2）该公司采取了如下的投放方式：A街区每2000人投放a辆“共享汽车”，B街区每2000人投放辆“共享汽车”，按照这种设放方式，A街区共投放150辆，B街区共投放120辆，如果两个街区共有6万人，试求a的值．

24．（10分）如图，△ABC与△DBC有公共边BC，且AC＝BC，BC＝DC，∠ACB＝90°，∠BCD＝150°，∠ACB的角平分线CE交BD于点E，连接AE．

（1）求∠AEB的度数；

（2）若AE＝6，S△AEB＝9，求CE的长．

25．（10分）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．

（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；

（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0；

（3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b．

四、解答题：本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

26．（8分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；

（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．

2019-2020学年重庆市两江新区八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是，

故选：A．

2．【解答】解：代数式，是分式，共2个，

故选：B．

3．【解答】解：A、b5÷b3＝b2，正确；

B、（b5）2＝b10，错误；

C、b2•b4＝b6，错误；

D、a•（a﹣2b）＝a2﹣2ab，错误；

故选：A．

4．【解答】解：点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣1），

故选：C．

5．【解答】解：设第三边的长度为xcm，由题意得：

6﹣5＜x＜5+6，

即：1＜x＜11，

只有A选项不在范围内．

故选：A．

6．【解答】解：180°﹣120°＝60°，

360°÷60°＝6．

故选：B．

7．【解答】解：∵a+b＝7，a﹣b＝8，

∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7×8＝56．

故选：C．

8．【解答】解：∵x2﹣axy+9y2是完全平方式，

∴﹣axy＝±2×3y•x，

解得k＝±6．

故选：C．

9．【解答】解：当腰为4cm时，4+4＝8，不能构成三角形，因此这种情况不成立．

当腰为8cm时，8＜8+4，能构成三角形；

此时等腰三角形的周长为8+8+4＝20cm．

故选：D．

10．【解答】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：，实际用时为：．

所列方程为：﹣＝4，

故选：C．

11．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则

OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，

根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则

△PMN的周长的最小值＝P1P2，

∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，

∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，

∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，

故选：B．

12．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，∠BAC＝∠B＝60°，

在△ABE和△CAD中

∴△ABE≌△CAD （SAS），

∴∠BAE＝∠ACD，

∴∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，

∵AG⊥CD，

∴∠AGF＝90°，

∴∠FAG＝30°，

∴sin30°＝＝，

即＝．

二、填空题（本大题6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）

13．【解答】解：2ax﹣6ay＝2a（x﹣3y）．

故答案为：2a（x﹣3y）．

14．【解答】解：原式＝﹣×x2y÷xy

＝﹣x．

故答案为：﹣x．

15．【解答】解：∵分式的值大于0，

∴m﹣2＜0，

解得：m＜2；

故答案为：m＜2．

16．【解答】解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵EF∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠EDB，

∴BE＝ED，

同理DF＝CF，

∴EF＝3+CF＝5，

∴CF＝2，

故答案为：2．

17．【解答】解：方程两边同时乘以x﹣3，得

x+a﹣2a＝3x﹣9，

解得：x＝，

∵方程无解，

∴＝3，

∴a＝3，

故答案为3．

18．【解答】解：连接CF，

∵等边△ABC，

∴AB＝BC，

∵线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，

∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

F点在直线CF上运动，

∴CF＝AE，∠BCF＝30°，

∴F点在直线CF上运动，

当DF⊥CF时，DF最小，

∵CD＝3，

∴CF＝，

∴AE＝，

∵AD＝3，

∴DE＝，

故答案为．

三、解答题：本大题7个小题，每小题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19．【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣36°＝54°，

∴∠B＝∠ACB＝54°；

（2）∵CF平分∠ACE，

∴∠ACF＝∠ECF，

∵AF＝AC，

∴∠ACF＝∠F，

∴∠ECF＝∠F，

∴AF∥BE．

20．【解答】解；

（1）如图即为△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）A1、B1、C1三点的坐标：A1（﹣2，3）、B1（﹣4，2）、C1（1，﹣4）；

故答案为：（﹣2，3）、（﹣4，2）、（1，﹣4）；

（3）△ABC的面积为：

35﹣×2×1﹣﹣

＝35﹣1﹣﹣15

＝．

答：△ABC的面积为．

21．【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣4xy+4y2）＝a（x﹣2y）2；

（2）去分母得：x2+2x+1＝x2+3x+2，

解得：x＝﹣1，

经检验x＝﹣1是增根，分式方程无解．

22．【解答】解：（1）原式＝4（x2﹣4x+4）﹣（4x2﹣9）

＝4x2﹣16x+16﹣4x2+9

＝﹣16x+25；

（2）原式＝•

＝，

当x＝2时，原式＝＝．

23．【解答】解：（1）设甲型“共享汽车”的单价是x万元，则乙型“共享汽车”的单价是（x+0.5）万元，依题意得

20x+20（x+0.5）＝110，

解得x＝2.5，

则x+0.5＝2.5+0.5＝3．

答：甲型“共享汽车”的单价是2.5万元，乙型“共享汽车”的单价是3万元；

（2）由题意可得×2000+×2000＝60000，

解得a＝6，

经检验：a＝6是所列方程的解．

故a的值为6．

24．【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵BC＝DC，∠BCD＝150°，

∴∠CBD＝∠D＝（180°﹣150°）＝15°，

∵CE平分∠ACB，而∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝∠BCE＝45°，

在△ACE和△BCE中

，

∴△ACE≌△BCE（SAS），

∴AE＝BE，

∴∠EAB＝∠EBA，

∵∠EBA＝∠CBA﹣∠CBD＝45°﹣15°＝30°，

∴∠AEB＝180°﹣30°﹣30°＝120°；

（2）延长CE交AB于F，如图，

∵CA＝CB，EA＝EB，

∴CF垂直平分AB，

在Rt△AEF中，∵∠EAF＝30°，

∴EF＝AE＝3，AF＝EF＝3，

∴CF＝AF＝3，

∴CE＝CF﹣EF＝3﹣3．

25．【解答】解：（1）∵c＝ab+a+b

＝2×（﹣1）+2+（﹣1）

＝﹣1．

∴a，b的“如意数”c是﹣1．

（2）c＝（m﹣4）（﹣m）+m﹣4﹣m

＝﹣m2+4m﹣4

＝﹣（m2﹣4m+4）

＝﹣（m﹣2）2

∵（m﹣2）2≥0，

∴﹣（m﹣2）2≤0．

（3）∵c＝x2×b+x2+b＝x4+4x2+2

∴b（x2+1）＝x4+3x2+2

∵x2+1≠0，

∴b＝

＝

＝x2+2．

四、解答题：本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

26．【解答】解：（1）图象如图所示；

（2）在等边△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°，

由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，

∴AB＝AD，

∴∠ABD＝∠D，

∵∠PAC＝20°，

∴∠PAD＝20°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC+∠PAD＝100°，

∴，

∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°．

（3）结论：CE+AE＝BE．

理由：在BE上取点M使ME＝AE，

在等边△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°

由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，

设∠EAC＝∠DAE＝x．

∵AD＝AC＝AB，

∴，

∴∠AEB＝60﹣x+x＝60°．

∴△AME为等边三角形，

易证：△AEC≌△AMB，

∴CE＝BM，

∴CE+AE＝BE．