对含参函数单调性的讨论优秀教学设计

一、教材分析

高考中导数类的题目占据了重要地位，而其中对含参函数的考查必不可少。利用导数分析含参函数的单调性，进而分析极值，最值，零点及趋势图像是解题的基础。高二选修课教材中给出了对具体函数单调性的求解范例，对含参函数论述较少。含参函数因加入了参数使得确定的函数变得不确定，对于含参函数的单调性求解一般要进行分类讨论，分类讨论的关键是要明确分类讨论的依据，做到分类准确恰当，不重不漏。

二、学情分析

本节课是高三的一轮复习课。高三的学生虽然经过高二的学习，但面对含参函数时常常思路不够清晰，特别在思考分类次序，明确分类依据，准确划分类别等方面存在困难，难以做到分类准确恰当，不重不漏。本节课以题组的形式对两大类常见题型给予针对性讲解和训练，以期突破难点。

三、教学目标

1、知识与技能：利用分类讨论思想进行含参函数单调性的讨论

2、过程与方法：分类讨论思想的应用

3、情态与价值：探究问题与解决问题的意识与能力

三、教学重难点

教学重点：利用分类讨论思想进行含参函数单调性的讨论

教学难点：明确分类讨论的依据

四、课时安排：1课时

五、教学策略：题组探究，分类总结

六、教学设计：

1、提出问题

含参函数因加入了参数使得确定的函数变得不确定，对于含参函数的单调性求解一般要进行分类讨论，分类讨论最难就是要做到不重不漏，今天我们重点来看看如何把握常见的含参函数单调性的分类讨论依据。

问题1、回顾具体函数的单调性的求解步骤是什么？

[设计意图] 引导学生回顾具体函数单调性求解的解题步骤，有助于学生思考比较含参函数在求解过程中所遇到的不确定性，明确为什么要进行分类讨论。

2、方法统领，明确方向

问题2、含参函数相对于具体函数而言，不确定的因素可能存在于哪里？我们讨论的次序是怎样的？

[设计意图] 此处预留空间让学生思考，讨论，激发学生的探究热情。即使学生回答得不全面也没有关系，教师后面可做补充，并概述要讨论的四个方面。

3、题组探究，分类总结

问题3、对于以下题组，观察参数在导函数中的位置，思考：不确定的因素可能在哪里？要分多少个层次进行讨论，每个层次分类的依据是什么？是否能做到不重不漏？题组一、导函数是非二次函数型

例1、（2016.山东卷节选），2

()ln (2-1),f x x x ax a x a R =-+∈设'()(),()

g x f x g x =令求的

单调区间

例2、（2017全国I 卷节选）2()(),0,()x x f x e e a a x a f x =--≤其中参数讨论的单调性例3、（2016全国I 卷改编）2()(2)(1),()

x f x x e a x f x =-+-已知函数讨论的单调性调性

[师生活动]学生思考,尝试完成以上各题，小组交流，展示思考及解题过程，教师给予完善和评价。

[设计意图] 根据高考题的出题形式，对于复杂的函数可大致划分为两种类型，先设置导函数是非二次函数型的题组，通过导函数为单项式的简单类型为范例，使学生明确讨论的四个方面和大致顺序。

分析：例1、()ln 22,(0,)

g x x ax a x =-+∈+∞ '112()2ax g x a x x

-=-= '00

g a a ≤>(x)的分母恒为正，分子为单项式，当导函数没有变号零点，当时1,2a

有变号零点为且它确定在定义域内，导数的符号确定为左正右负。此题只需分两类。

'2()2(2)1(1)(21)

x x x x f x ae a e ae e =+--=-+例2、a x

参数只位于第一个因式的含项中，是否有变号零点00

a a ≤>正数，因此以导函数是否有变号零点为依据分和两种情况讨论（略）'()(1)2(1)(1)(2)

x x f x x e a x x e a =-+-=-+例3、0x a e >第一个因式确定有变号零点，参数位于第二个因式中常数项的位置上，且00a a ≥<因此第一个层次的分类，是以第二个因式是否有变号零点为依据分和'0,()01ln(2)

a f x x x a <===-两种情况讨论,接下来，当时由得或，方程有两根，由于两根的大小关系不确定，接下去要进行第二层次的划分，应按两根的大小关系分三种情况讨论，注意不能忽略两根相等的情况。

问题4、对题组一进行归纳小结，说一说我们分类讨论的次序和依据

（1）导函数可先通过通分或分解因式，将导函数化为积商的形式。整体观察导函数的形式结构，判断导函数各因式是否一定有变号零点。若存在参数取值能使得导函数值在定义域内恒有，则需就此作为分类依据进行讨论。切忌不观察直接求解方程

。（2）导函数有变号零点时求解的根，讨论根与定义域的关系（3）

讨论根左右两侧区间内导数的符号（4）若在定义域内有多个根还要讨论根的大小。题组二、导函数是二次函数或类二次函数型

例4、21()=(1)ln ,2

f x x ax a x -+-已知函数的单调性例5、2()ln ,()

f x x x a x f x =-+已知函数讨论在定义域上的单调性例6、(2015.山东改编)2()ln(1)(),

,f x x a x x a R =++-∈设函数其中讨论函数单调性例7、2()(1)ln 1()

f x a x ax f x =+++设函数，讨论函数的单调性[设计意图] 导函数是二次函数或类二次函数型，难度比上一个类型上升了一个台阶。这个题组设计的四个例题由浅入深，分别代表参数在不同位置或不同的呈现形式。通过这四个不同类型的例题，旨在帮助学生梳理和总结出导函数为二次型的分类讨论的依据和层次。分析：2'

14()0+()x ax a f x f x x -+-∞=例、定义域为（，），导函数中参数出现在非最高次项的系数上，分子为二次函数且能直接分解因式，'()01

f x a =-因此必有两根1和，两根大小不确定，只需对两根大方程小关系分三类情况讨论。2'

2()(0)x x a f x x x -+=>例5、导函数的分子为二次函数，但不能直接分解因式，此时要先对导函数分子是否有变号零点进

=1-80=1-80

a a ∆≤∆>

行讨论，即分和两种情况讨论'121=1-80,()08a a f x x x ∆><===当时，令，得12

10,x x x >>导函数有两个变号零点，接下来两根与定义域的关系不确定，显然且2+x ∞

因此第二层次的分类依据应按是否在定义域（0，）内分两种情况进行划分。2'

6(-1+121()(21)11f x ax ax a f x a x x x ∞

+-+=+-=++例、）的定义域为（，）导函数分子二次项系数中含有参数，分子不能直接定性为二次函数，a 当=0时，分子为非二次函数，0a ≠当时，才是二次函数2a

，此时的正负决定了图像的开口方向，

也就决定了根的左右两侧导数的符号，因此第一个层次的分类依据是针对二次0,0,00

a a a a a =><≠项的系数2的符号进行，分三类。接着，当时，再考虑导8(98)00,9

a a a a ∆=-≥<>函数是否有变号零点，由，可得或所以第二层次的分880099

a a a ∆><≤>类标准是按的符号进行，在这类中应分和两种情况，最后对于121280,-+9

a a x x x x ><<∞和这两类情况下又应考察两根()与定义域（1，）的关系，本11281019

a x a x x >>-<<-<题可分析出当时，当时。2'

21()0+()ax a f x f x x ++∞=例7、的定义域为（，），'0()a f x ≥虽然分子二次项系数含参，但由于分子部分符号相同，容易判断时恒为正数000

a a a ≥<<所以第一层次可划分和两大类，接下来对于的情况则可按有无变号零点为标'1-101()

-10

a a a f x a ≤-<<≤-<<进行划分，第二层次可分和两类，当时恒为负，当时

问题5、对题组二进行归纳小结，说一说我们分类讨论的次序和依据

若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否等于零进行讨论（如果二次函数的各项符号均相同，可直接判定），若二次项系数不为零或不含参时看二次式是否能分解因式，求出两根，若不能，则需对根的判别式进行讨论。最后求出的根后'()0f x =要注意讨论根与定义域的关系，定义域内若有多个根还要讨论根的大小及根左右两侧区间内导数的符号。

七、课后小结：

本节课的设计能达到教学目标，所设置的的两个题组和选配的例题，具有典型性，难度适中切合本班学生实际。从学生的掌握情况来看，取得较好的教学效果。不足的是教学时间太紧张，导致学生思考不够充分。若能延长为一节半课时，会更为理想。